leetcode-421 数组中两个数的最大异或值 前缀树

leetcode-421 数组中两个数的最大异或值 前缀树

1. 题目

给你一个整数数组 nums ，返回 nums[i] XOR nums[j] 的最大运算结果，其中 0 ≤ i ≤ j < n 。

2. 思路

• 暴力解法通过双层for循环求出最大的异或结果，时间复杂度为\(O(n^2)\) 超时

• 前缀树

  一个整数的二进制串只有0和1，因此可以将所有位放在一颗前缀树中，在一棵前缀树中查找某个树的复杂度为O(logn),因此已知一棵字典树，查找树中与它最大异或值最大的复杂度为O(logn)

  求异或值的最大值，应该让该结果中的每一个尽可能为1

  查找过程：

  输入数字不超过2^31，因此遍历该数的每一位，

  • 如果该位为1，则在树中选择的节点为0，建立前缀树时，0作为左树，1作为右数，如果没有左树，则选择右树

  • 如果该位为0，则在树中选择右树，若没有右树则选择左树

    在查找时，如果选择的时不同的值，即\(0\bigoplus 1\),此时的异或结果为\(x=x*2+1\)，增加了一位，且末位为1，

    若是\(0\bigoplus 0\)和\(1\bigoplus 1\)，此时的\(x=x*2\)

  

  如图，对于25，和前缀树相比，第一位时1，则在前缀树第一层选择（0），第二位是1，前缀树中选择（0，0），第三位时0，前缀树中选择（0，0，1），第四位是0，前缀树中第四位本应选择1，但此时节点只有左节点，因此前缀树中选择（0，0，1，1），第五位是1，前缀树中选择（0，0，1，0，1）

3. Code

• 暴力解法

  class Solution:
      def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
          res=float("-inf")
          length=len(nums)
          for i in range(length):
              for j in range(i,length):
                  res=max(res,nums[i]^nums[j])
          return res
  

• 前缀树

  class TreeNode:
      def __init__(self,left=None, right=None):
          self.left = left
          self.right = right
  class Solution:
      def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
          root=TreeNode() 
          def add(n):
              cur=root
              for k in range(30,-1,-1):
                  bit=(n>>k)&1
                  if bit==0:
                      if not cur.left:
                          cur.left=TreeNode()
                      cur=cur.left
                  else:
                      if not cur.right:
                          cur.right=TreeNode()
                      cur=cur.right
          def check(num):
              cur=root
              x=0
              for i in range(30,-1,-1):
                  bit=(num>>i)&1
                  if bit==0:
                      if cur.right:
                          cur=cur.right
                          x=x*2+1
                      else:
                          cur=cur.left
                          x*=2
                  else:
                      if cur.left:
                          cur=cur.left
                          x=x*2+1
                      else:
                          cur=cur.right
                          x*=2
              return x
          x=0
          for i in range(1,len(nums)):
              add(nums[i-1])
              x=max(x,check(nums[i]))
          return x