Luogu P2727 【01串 Stringsobits】

看到题解里好像都是用$DP$解决的，本着禁止DP的原则，我来提供一发纯数学其实和DP本质相同的题解，前两天刚反演题，脑子炸了，本来说换换脑子，结果还是数学

首先受进制思想启发，我们不妨按位考虑，考虑这一位选一对排列编号造成的影响——即让整个数的编号向后推移了多少

容易想到，这一位选一，编号增加了之后几位满足条件任选的方案数,即第$i$位选一，$cnt$表示前几位选了几个一

$$id+=\sum_{j=0}^{min(i-1,L-cnt)}calc(i-1,j)$$

$clac(x,y)$表示前面$y$位，选$x$位为一的方案数，这个就是一个可重集排列问题，即

$$clac(x,y)=\frac{y!}{x!*(y-x)!}$$

因为$n!$太大会爆$long~long$，所以我们可以使用唯一素数分解定理把阶乘拆成质因子的乘积，然后再乘起来

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
int pr[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
int n,k,rk,cnt,ans[50],cp[20];
void add(int x,int c)
{
    //唯一素数分解
    for(int i=1;i<=x;i++)
        for(int tmp=i,j=0;j<10&&tmp>1;j++)
            while(tmp%pr[j]==0)
                tmp/=pr[j],cp[j]+=c;
}
int make(int x,int y)
{
    //可重集排列
    int ret=1;
    memset(cp,0,sizeof(cp));
    add(x,1),add(y,-1),add(x-y,-1);
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=1;j<=cp[i];j++)
            ret*=pr[i];
    return ret;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&rk);
    rk--;    //因为有=0的情况，所以rk-1
    if(!rk)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("0");
        printf("\n");
        return 0;
    }
    for(int i=n;i;i--)
    {
        //按位考虑选或不选
        int sum=0;
        for(int j=0;j<=min(i-1,k-cnt);j++)
            sum+=make(i-1,max(j,i-1-j));
        if(rk>=sum)
            rk-=sum,ans[i]=1,cnt++;
    }
    for(int i=n;i;i--)
        printf("%lld",ans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}