扩展欧几里得算法

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用类似辗转相除法，求二元一次不定方程{\textstyle 47x+30y=1}的整数解。

  • {\displaystyle 47=30\times 1+17}
  • {\displaystyle 30=17\times 1+13}
  • {\displaystyle 17=13\times 1+4}
  • {\displaystyle 13=4\times 3+1}

然后把它们改写成“余数等于”的形式

  • {\displaystyle 17=47\times 1+30\times (-1)} //式1
  • {\displaystyle 13=30\times 1+17\times (-1)} //式2
  • {\displaystyle 4=17\times 1+13\times (-1)} //式3
  • {\displaystyle 1=13\times 1+4\times (-3)}

然后把它们“倒回去”

  • {\displaystyle 1=13\times 1+4\times (-3)}
  • {\displaystyle 1=13\times 1+[17\times 1+13\times (-1)]*(-3)} //应用式3
  • {\displaystyle 1=17\times (-3)+13\times 4}
  • {\displaystyle 1=17\times (-3)+[30\times 1+17\times (-1)]\times 4}//应用式2
  • {\displaystyle 1=30\times 4+17\times (-7)}
  • {\displaystyle 1=30\times 4+[47\times 1+30\times (-1)]\times (-7)} //应用式1
  • {\displaystyle 1=47\times (-7)+30\times 11}

得解 {\displaystyle x=-7,y=11}。

这个过程可以用矩阵表示（其中q表示商，r表示余数）

\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \prod_{i=0}^{N} \begin{pmatrix} q_{i} & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{N-1} \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 47 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 47 & 11 \\ 30 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & 11 \\ 30 & -47 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 47 \\ 30 \end{pmatrix}

或者用初等变换

{\displaystyle {\begin{pmatrix}47&30\\1&0\\0&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}17&30\\1&0\\-1&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}17&13\\1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}4&13\\2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}4&1\\2&-7\\-3&11\end{pmatrix}}\Rightarrow 1=47(-7)+30(11)} [2]

 

posted @ 2018-08-29 19:17  zxyblog  阅读(138)  评论(0)  编辑  收藏  举报