离散对数和原根 欧拉定理证明

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欧拉定理证明 && 欧拉公式

源地址： http://www.cppblog.com/zoyi-zhang/articles/43456.html 
欧拉函数 ：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 

完全余数集合：
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：
对于素数 p ，φ(p) = p -1 。
对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1)  。
这是因为 Zn = {1, 2, 3,  ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1)  ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理 ：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n)  ≡ 1 mod n  。

证明：
( 1 ) 令 Zn = {x₁, x₂, ..., x_φ(n)} ， S = {a * x₁ mod n, a * x₂ mod n, ... , a * x_φ(n) mod n} ，
        则 Zn = S 。
        ① 因为 a 与 n 互质， x_i (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * x_i  与 n 互质，所以 a * x_i  mod n ∈ Zn 。
        ② 若 i ≠ j ， 那么 x_i ≠ x_j，且由 a, n互质可得 a * x_i mod n ≠ a * x_j mod n （消去律）。

( 2 )     a^φ(n) * x₁ * x₂ *... * x_φ(n) mod n 
      ≡ (a * x₁) * (a * x₂) * ... * (a * x_φ(n)) mod n
      ≡ (a * x₁ mod n) * (a * x₂ mod n) * ... * (a * x_φ(n) mod n) mod n
      ≡  x₁ * x₂ * ... * x_φ(n) mod n
      对比等式的左右两端，因为 x_i  (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n)  ≡  1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

 

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【初等数论】 05 - 指数和原根