拾遗向|线性代数之向量的理解

 

数学可以说是所有学科的工具。所有的数学问题，必须简化成线性代数问题，才能进行求解。

 

我们从向量开始

 

 

向量

 

直观的说：把数值罗列起来就是向量。

 

向量其实是把一组数放到一起研究。

 

如邮政编码。每个数值所在的位置代表它具体的含义。

 

那么向量怎么来的呢：

 

向量出现的故事---笛卡尔坐标系

 

据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。

 

向量空间（Vector Space）

 

顾名思义，向量空间就是容纳向量的空间。

 

空间内容纳的是的基础的向量，向量的相加，向量和标量的相乘。

 

这个空间就是向量空间，也叫线性空间。

 

空间的原点O：就是0向量，它的各维为0.

 

向量空间的维数（dimension）

 

空间中向量，数字的个数称为向量的维数。

 

维数 = 基向量的个数 = 坐标的分量数

 

位置向量（Position Vectors）

 

一个向量如果从空间原点开始，那么它就是一个位置向量，如下图的(3,7),(8,4)

 

位置向量的终点表示向量空间中的一个位置。

 

 

 

位置向量，其实是强调位置时的一个概念。

 

在平面向量和空间向量（初中代数）中应用广泛（物理和工科）。 主要用来描述一个点在空间的位置。

 

换句话说：用位置表示向量。

 

坐标（coordinate）

 

坐标必须依赖基底向量（basis vector)

 

如珠穆朗玛峰高8844米，那么1米就是基底向量。8844就是他的标量。各维（这里是一维，相对于海平面方向上）的标量组合起来就叫坐标。

 

所以有了坐标，我们可以省略基底向量，因为每次写基底挺麻烦的。

 

即：坐标是省略了基底的向量表示方法。

 

如：组合向量v=3e1 + 4e2 ,那么把e1和e2作为基底，向量v可以用坐标表示为(3,4)

 

粗浅的说了下向量，后面会讨论到矩阵。

 

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