最长不下降子序列nlogn算法详解

  今天花了很长时间终于弄懂了这个算法……毕竟找一个好的讲解真的太难了，所以励志我要自己写一个好的讲解QAQ

 

  这篇文章是在懂了这个问题n^2解决方案的基础上学习。

 

  解决的问题：给定一个序列，求最长不下降子序列的长度（nlogn的算法没法求出具体的序列是什么）

 

  定义：a[1..n]为原始序列，d[k]表示长度为k的不下降子序列末尾元素的最小值，len表示当前已知的最长子序列的长度。

  初始化：d[1]=a[1]; len=1; （0个元素的时候特判一下）

  现在我们已知最长的不下降子序列长度为1，末尾元素的最小值为a[1]，那么我们让i从2到n循环，依次求出前i个元素的最长不下降子序列的长度，循环的时候我们只需要维护好d这个数组还有len就可以了。

  关键问题就是怎么维护？

  可以看出我们是要用logn的复杂度维护的。实际上利用了d数组的一个性质：单调性。（长度更长了，d[k]的值是不会减小的）

  考虑新进来一个元素a[i]：

　　如果这个元素大于等于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，而且d数组也添加了一个元素。

　　如果这个元素小于d[len]呢？说明它不能接在最后一个后面了。那我们就看一下它该接在谁后面。

　　　　准确的说，并不是接在谁后面。而是替换掉谁。因为它接在前面的谁后面都是没有意义的，再接也超不过最长的len，所以是替换掉别人。那么替换掉谁呢？就是替换掉那个最该被它替换的那个。也就是在d数组中第一个大于它的。第一个意味着前面的都小于等于它。假设第一个大于它的是d[j]，说明d[1..j-1]都小于等于它，那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的不下降子序列，而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比d[j]小）。所以就替换掉它就行了，也就是d[j]=a[i]。其实这个位置也是它唯一能够替换的位置（前面的替了不满足d[k]最小值的定义，后面替换了不满足不下降序列）

　　至于第一个大于它的怎么找……STL upper_bound。每次复杂度logn。

 

  至此，我们就神奇的解决了这个问题。按照这个思路，如果需要求严格递增的子序列怎么办？

  仍然考虑新进来一个元素a[i]：

　　如果这个元素大于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，而且d数组也添加了一个元素。

　　如果这个元素小于等于d[len]呢？说明它不能接在最后一个后面了。那我们就看一下它该接在谁后面。

　　　　同样的道理，只是换成lower_bound即可。每次复杂度logn。

--------2018.4.14更新--------

很久没看，没想到这篇文章有这么多人阅读了，感觉最长递增子序列这里讲的不是太清楚，因此补充一下。

最长递增子序列和最长不下降子序列的不同之处在于，d数组的单调性更严格了：一定是单调递增的。

可以用反证法来证明这一点：假设有d[i]=d[i+1]，也就是长度为i+1的子序列最后一位最小是d[i+1]，那假设这个子序列是a[1], a[2], ..., a[i+1]，在这个子序列里面，a[i]<d[i+1]肯定成立，不然就不是最长递增子序列了。那也就是说a[i]<d[i]了，那a[1], a[2], ..., a[i]就构成了一个长度为i的子序列，而且最后一个数比d[i]小。那d[i]肯定就不符合定义了。

那这个性质有什么意义呢？

仍然考虑新进来一个元素a[i]：

　　如果这个元素大于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，而且d数组也添加了一个元素。

　　如果这个元素等于d[len]，那么可以保证d[1..len-1]都是小于a[i]的（根据上面的证明），因此这个元素就没有什么意义了，直接忽略就好，因为它无法接在任何一个元素d后面产生一个更有优势的子序列。

　　如果这个元素小于d[len]，那么就在d数组中找到第一个大于等于它的元素（这个元素必然存在，至少d[len]就是），把这个元素替换成a[i]即可。

　　实际上可以发现，小于等于的时候可以统一按照lower_bound替换的方式来处理。

这样做肯定是对的，而邝斌的模板上实际上是求的最长不下降子序列，而不是最长上升子序列。不信可以测试一下"1 2 3 2 3 2"这个样例。切记，不要迷信权威，学会自己思考。

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下面是最长不下降子序列的代码，注释里面说明了如何改成最长上升子序列。

//最长不下降子序列nlogn  Song 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int a[40005];
int d[40005];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    if (n==0)  //0个元素特判一下 
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    d[1]=a[1];  //初始化 
    int len=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (a[i]>=d[len]) d[++len]=a[i];  //如果可以接在len后面就接上，如果是最长上升子序列，这里变成> 
        else  //否则就找一个最该替换的替换掉 
        {
            int j=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;  //找到第一个大于它的d的下标，如果是最长上升子序列，这里变成lower_bound 
            d[j]=a[i]; 
        }
    }
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

  想了一晚上这个问题终于想通了。前面说的“最该替换的位置”实际上不是很精确，那个位置替换掉是它唯一能够替换的位置，之所以要替换，就是为了维护d这个数组，让它始终满足最初的定义。

 

  nlogn复杂度的最长上升子序列还有树状数组的写法，可以参考我的另一篇文章：https://www.cnblogs.com/acmsong/p/7231069.html。