如何手工计算平方/立方根？

https://calcpad.blog/2022/04/28/how-to-calculate-square-cubic-root-by-hand/

 

今天，技术让我们的一切变得简单快捷。有时，当我们看到古代的工程奇迹时，我们会想：“他们是如何在没有计算机的情况下设计出来的”？答案是：“凭借知识、灵感和努力”。

然而，几乎不可替代的计算机使我们越来越多的形容词。我们的大脑变得懒惰，我们正在失去一些知识和技能。这就是根的手动计算。它是如此简单和优雅，所以为了古老的数学科学，我将在这里分享它。

平方根

让我们先计算x = √ a。

对两边求平方并将a向左移动，我们得到以下等式：

x ² − a = 0

这是一个类型为f ( x ) = 0 的方程，我们可以使用牛顿法对其进行数值求解：

1. 从初始猜测开始：x ₀。最好是接近解，这样就可以使用最近的精确根。
2. 通过等式计算根的下一个近似值：x ₁ = x ₀ − f ( x ₀ )/ f ′( x ₀ )
3. 通过使用先前的结果来估计新结果来继续迭代：
   x _n+1 = x _n − f ( x _n )/ f ′( x _n )。
4. 当您达到所需的精度时停止。

在上面的公式中，f ( x ) 是函数， f ′( x ) 是一阶导数。在我们的例子中：

f ( x ) = x ² −一个

f ′( x ) = 2 x

如果我们将上述方程代入牛顿迭代公式，我们得到：

x _n+1 = x _n − ( x _n ² − a )/2 x _n

xn + ₁ = ( xn + a / _xn ) /2

现在，让我们用它来计算 √a = ?，因为a = 5。

我们将从x ₀ =√4 = 2的初始猜测开始。

第一次迭代： x ₁ = ( x ₀ + a / x ₀ )/2 = (2 + 5/2)/2 = 2.25

第二次迭代： x ₂ = ( x ₁ + a / x ₁ )/2 = (2.25 + 5/2.25)/2 = 2.2361

第 3 次迭代： x ₃ = ( x ₂ + a / x ₂ )/2= (2.2361 + 5/2.2361)/2 = 2.2361

在第二次迭代之后，我们有 5 个正确的有效数字，这对大多数情况来说已经足够了。

立方根

我们将使用相同的方法，如下所示：

f ( x ) = x ³ −一个

f ′( x ) = 3 x ²

x _n+1 = x _n − ( x _n ³ − a )/3 x _n ²

x _n+1 = (2 x _n + a / x _n ² )/3

让我们看看它如何适用于³ √7。我们的初步猜测是：x ₀ = ³ √8 = 2。

第一次迭代： x ₁ = (2 x ₀ + a / x ₀ ² )/3 = (2·2 + 7/2 ² )/3 = 1.9167

第二次迭代： x ₂ = (2 x ₁ + a / x ₁ ² )/3 = (2·1.9167 + 7/1.9167 ² )/3 = 1.9129

第 3 次迭代： x ₃ = (2 x ₂ + a / x ₂ ² )/3 = (2·1.9129 + 7/1.9129 ² )/3 = 1.9129

同样，我们在两次迭代后设法找到了它。我们还可以使用 Calcpad 为此创建一个小程序：

有趣的是，在 4 次迭代之后，牛顿法找到了 16 个正确的有效数字，这是大多数计算机的极限精度。我们还通过给出相同结果的三种不同方法计算了根。