4. 多重背包问题 I

https://www.acwing.com/problem/content/4/

有 N种物品和一个容量是 V的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100

0<vi,wi,si≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

解答
类似有多个01背包

复杂度 O(n*v*s)

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 105;
int dp[N][N];
struct NODE{
    int v,w,s;
}node[N];
int n,v;

int main(){
    cin >>n>>v;
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> node[i].v >>node[i].w>> node[i].s;
        for(int j= 0;j <=v;j++){
            for(int k=0;j>=k*node[i].v&&k<=node[i].s;k++){
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*node[i].v]+k*node[i].w);
            }   
        }
    }
    
    cout << dp[n][v]<<endl;
}

但是复杂度 O(n*v*s)，比较偏大 我们想办法优化。

上面代码中k件物品需要循环k次，但是我们将其化解为二进制，实际上只需要循环log(k)次。
比如某物品的件数位7，上面代码的循环是7次
我们在二进制下 7=2⁰⁺²1+2^2 即 7=1+2+4

可以将7件物品的多重背包 拆解成 1*v 2*v 4*v三件物品的01背包。循环次数从k降成logk

注意是从小到大逐步递增分解，不是按背包件数s的二进制数字
比如16件物品二进制是10000(二进制)，分解是 1+2+4+8+1

int idx = 1;
int v, w, s; cin >> v >> w >> s;
        int k = 1;
        while (k <= s) {
            node[idx].v = k * v;
            node[idx].w = k * w;
            idx++;
            s -= k;
            k <<= 1;
        }
        if (s > 0) {
            node[idx].v = s * v;
            node[idx].w = s * w;
            idx++;
        }

分解后按照01背包处理。 复杂度O(n*v*logk)

代码如下

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 12010, M = 2010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[M];

int a, b, s;


int main()
{
	cin >> n >> m;
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a >> b >> s;
		int k = 1;
		while (k <= s) {
			cnt++;
			v[cnt] = k * a;
			w[cnt] = k * b;
			s -= k;
			k <<= 1;
		}
		if (s > 0) {
			cnt++;
			v[cnt] = a * s;
			w[cnt] = b * s;
		}
	}

	n = cnt;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = m; j >= v[i]; j--)
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
	}
	
	cout << dp[m] << endl;

	return 0;
}