4. 多重背包问题 I
https://www.acwing.com/problem/content/4/
有 N种物品和一个容量是 V的背包。
第 i 种物品最多有 si 件,每件体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N行,每行三个整数 vi,wi,si,用空格隔开,分别表示第 i种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例:
10
解答
类似有多个01背包
复杂度 O(n*v*s)
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 105;
int dp[N][N];
struct NODE{
int v,w,s;
}node[N];
int n,v;
int main(){
cin >>n>>v;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> node[i].v >>node[i].w>> node[i].s;
for(int j= 0;j <=v;j++){
for(int k=0;j>=k*node[i].v&&k<=node[i].s;k++){
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*node[i].v]+k*node[i].w);
}
}
}
cout << dp[n][v]<<endl;
}
但是复杂度 O(n*v*s),比较偏大 我们想办法优化。
上面代码中k件物品需要循环k次,但是我们将其化解为二进制,实际上只需要循环log(k)次。
比如某物品的件数位7,上面代码的循环是7次
我们在二进制下 7=20+21+2^2 即 7=1+2+4
可以将7件物品的多重背包 拆解成 1*v 2*v 4*v三件物品的01背包。循环次数从k降成logk
注意是从小到大逐步递增分解,不是按背包件数s的二进制数字
比如16件物品二进制是10000(二进制),分解是 1+2+4+8+1
int idx = 1;
int v, w, s; cin >> v >> w >> s;
int k = 1;
while (k <= s) {
node[idx].v = k * v;
node[idx].w = k * w;
idx++;
s -= k;
k <<= 1;
}
if (s > 0) {
node[idx].v = s * v;
node[idx].w = s * w;
idx++;
}
分解后按照01背包处理。 复杂度O(n*v*logk)
代码如下
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 12010, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int dp[M];
int a, b, s;
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while (k <= s) {
cnt++;
v[cnt] = k * a;
w[cnt] = k * b;
s -= k;
k <<= 1;
}
if (s > 0) {
cnt++;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
}
cout << dp[m] << endl;
return 0;
}
作 者: itdef
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