挑战程序设计竞赛 2.6章习题 UVA - 10006 Carmichael Numbers

https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/UVA-10006

　当今计算机科学的一个重要的领域就是密码学。有些人甚至认为密码学是计算机科学中唯一重要的领域，没有密码学生命都没有意义。
　　阿尔瓦罗就是这样的一个人，它正在设计一个为西班牙杂烩菜饭加密的步骤。他在加密算法中应用了一些非常大的素数。
  然而确认一个非常大的数是不是素数并不是那么简单。一个费时的方法是用比这个数的平方根小的所有素数去除它，
  对于大整数来说，这样一定会毁掉这个杂烩菜饭的。
　　然而，一些很有信心耗时少的随机测试存在，其中一个就是费马测试。
　　在2和n-1之间随机选取一个数（n是我们要测试的数）。如果a^n mod n = a 成立，n就可能是一个素数。
　　如果一个数通过费马测试很多次那么它就很可能是一个素数。
　　不幸的是，一些数不是素数但是它们依然能通过每一个比它小的数的费马测试。这些数被称作卡迈克尔数
　　这道题要求你写一个程序去测试给定的数是不是一个卡迈克尔数。
　　完成了这个任务的队伍有希望接受来自阿尔瓦罗的西班牙杂烩菜饭23333

Input
多组输入，第一行给一个n （2 < n < 65000) 。n = 0 表示输入结束并不需要处理
Output
对每组输入，输出它是不是卡迈克尔数，参考样例。

Sample Input
1729
17
561
1109
431
0

Sample Output
The number 1729 is a Carmichael number.
17 is normal.
The number 561 is a Carmichael number.
1109 is normal.
431 is normal.

解答
题意是找出一些和素数性质类似，但是不是素数的卡米尔数。
对于一个数n， 如果2和n-1之间的数a（n是我们要测试的数）。a^n mod n = a 均成立，n就可能是一个素数。
如果n不是素数，他就是卡米尔数

那么我们先打表 记录数据范围内所有的素数，然后保证n在表里面，逐个检测2和n-1 是否符合a^n mod n = a .
就可以判断是不是卡米尔数了。 a^n使用快速幂计算。
代码如下

#include <iostream>
#include <unordered_set>

using namespace std;


int n;
unordered_set<int> ss;
const int N = 65010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int t) {
	for (int i = 2; i <= t; i++) {
		if (!st[i]) {
			primes[cnt++] = i;
			ss.insert(i);
		}
		for (int j = 0; primes[j] <= t / i; j++) {
			st[primes[j] * i] = true;
			if (i % primes[j] == 0) break;
		}
	}
}

int quickmi(long long a, long long b, long long m) {
	long long ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			ans = ans * a % m;
		}
		b >>= 1;
		a = a * a % m;
	}

	return ans;
}

void solve() {
	if (ss.count(n) != 0) {
		cout << n << " is normal." << endl;
		return;
	}

	for (int i = 2; i < n; i++) {
		if (quickmi(i, n, n) != i) {
			cout << n << " is normal." << endl;
			return;
		}
	}

	cout << "The number "<< n<< " is a Carmichael number." << endl;
	return;
}

int main()
{
	get_primes(N);
	while (cin >> n) {
		if (0 == n) break;
		solve();
	}

	return 0;
}