papamelong 219. 完全背包问题（挑战程序设计竞赛）

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有 n 个重量和价值分别为 wi, vi的物品。
从这些物品中挑选出总重量不超过 W 的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
在这里,每种物品可以挑选任意多件。

输入
输入数据第一行有两个整数 nn 和 WW，接下来会有 nn 行，分别表示 nn 个物品的对应的 wi和 vi
1≤n≤100
1≤wi≤100
1≤vi ≤100
1≤W≤10000
输出
输出一个整数, 表示题目要求的最大价值.
样例 1
输入
3 7
3 4
4 5
2 3
输出
10

解答
按照01背包的思考，依旧是每次考虑选择0个 1个 2个。。。k个背包。
dp[i][j]表示 前i个物品选择j的重量能获得的最大价值。

这样在 01的基础上会多出一重循环.时间复杂度是O(n*W*W).超时了

#include <iostream>

using  namespace std;


const int N = 150;
int v[N];
int w[N];
int n ,W;
int dp[N][10010];

int main()
{
	cin >> n >> W;

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= W; j++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];	//不选当前第i个物品
			for (int k = 0; k * w[i] <= W; k++) {
				if (j >= (k * w[i]))
					dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j - k * w[i]] + k*v[i]);
			}
		}
	}

	cout << dp[n][W] << endl;
}

进一步思考
dp[i][j]不考虑i-1的情况,
我们拿取k个第i个物品的情况是可以从 拿取k-1和第i个物品的情况推断的.也就是递推公式
dp[i][j-(k)*W[i]] =  dp[i][j-(k-1)*W[i]-W[i]]+V[i];
对应到代码就是
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);

#include <iostream>

using  namespace std;

const int N = 150;
int v[N];
int w[N];
int n ,W;
int dp[N][10010];

int main()
{
	cin >> n >> W;

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= W; j++) {
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];	//不选当前第i个物品
			if (j >= w[i]) {
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
	}

	cout << dp[n][W] << endl;


}