《算法竞赛进阶指南》 第一章 Acwing 91. 最短Hamilton路径

地址  https://www.acwing.com/problem/content/93/

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数 n。

接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

解法

Hamilton路径就是指定起点和终点的不重不漏的遍历每个点的路径

那么这题的暴力做法是 深度或者广度搜索出 0~n-1点的各种排列组合 然后遍历得出最短路径

复杂度过高  排列组合的复杂度是n!  计算最短路径遍历n个点  总复杂度就是 O(n*n!)

对于 0 1 2 3 4 5。 我们在计算 0-13-4后，计算 0-134-x时候 可以直接使用0-13-4的结果。

我们使用某个数据结构记录 某个路径下以x点结尾最短路径就可以避免重复计算 达到加速目的

我们使用状态压缩的方案 使用二进制数标记某点是否被经过，0表示未经过，1表示经过

那么经过一系列路径state 最后重点为x的最短路径表达为  dp[state][x]

dp[state][x] = min( dp[state][x] + distance[state二进制去除x][y]+ distance[y][x] );

某个state二进制路径下达到x的最短路径 等于 （某个二进制下没到过x停留在y的最短值记上 y到x的距离)这个集合中的最短路径

如图 注意途中dp路径要保证没有经过x

 

 

#include <iostream>
#include <memory.h>
using namespace std;

const int N = 20;
int dp[1<<N][N];
int weights[N][N];
int n;

int main(){
    cin >>n;
    for(int i =0;i<n;i++){
        for(int j = 0;j <n;j++){
            cin >> weights[i][j];
        }
    }
    
    memset(dp,0x3f,sizeof dp);
    dp[0][0] = 0;
    
    for(int i =0;i < (1<<n);i++){
        for(int j=0;j<n;j++){
            if( (i>>j) & 1 ){
            for(int k = 0;k < n;k++){
                if((i>>k)&1){
                    dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i&(~(1<<j))][k]+weights[k][j]);
                }
            }
            }
        }
    }
    
    cout <<dp[(1<<n)-1][n-1]<<endl;
    
    return 0;
}