《算法竞赛进阶指南》 第一章 Acwing 91. 最短Hamilton路径
地址 https://www.acwing.com/problem/content/93/
给定一张 n 个点的带权无向图,点从 0∼n−1 标号,求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。 Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。 输入格式 第一行输入整数 n。 接下来 n 行每行 n 个整数,其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离(记为 a[i,j])。 对于任意的 x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。 输出格式 输出一个整数,表示最短 Hamilton 路径的长度。 数据范围 1≤n≤20 0≤a[i,j]≤107 输入样例: 5 0 2 4 5 1 2 0 6 5 3 4 6 0 8 3 5 5 8 0 5 1 3 3 5 0 输出样例: 18
解法
Hamilton路径就是指定起点和终点的不重不漏的遍历每个点的路径
那么这题的暴力做法是 深度或者广度搜索出 0~n-1点的各种排列组合 然后遍历得出最短路径
复杂度过高 排列组合的复杂度是n! 计算最短路径遍历n个点 总复杂度就是 O(n*n!)
对于 0 1 2 3 4 5。 我们在计算 0-13-4后,计算 0-134-x时候 可以直接使用0-13-4的结果。
我们使用某个数据结构记录 某个路径下以x点结尾最短路径就可以避免重复计算 达到加速目的
我们使用状态压缩的方案 使用二进制数标记某点是否被经过,0表示未经过,1表示经过
那么经过一系列路径state 最后重点为x的最短路径表达为 dp[state][x]
dp[state][x] = min( dp[state][x] + distance[state二进制去除x][y]+ distance[y][x] );
某个state二进制路径下达到x的最短路径 等于 (某个二进制下没到过x停留在y的最短值记上 y到x的距离)这个集合中的最短路径
如图 注意途中dp路径要保证没有经过x
#include <iostream> #include <memory.h> using namespace std; const int N = 20; int dp[1<<N][N]; int weights[N][N]; int n; int main(){ cin >>n; for(int i =0;i<n;i++){ for(int j = 0;j <n;j++){ cin >> weights[i][j]; } } memset(dp,0x3f,sizeof dp); dp[0][0] = 0; for(int i =0;i < (1<<n);i++){ for(int j=0;j<n;j++){ if( (i>>j) & 1 ){ for(int k = 0;k < n;k++){ if((i>>k)&1){ dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i&(~(1<<j))][k]+weights[k][j]); } } } } } cout <<dp[(1<<n)-1][n-1]<<endl; return 0; }
作 者: itdef
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