Acwing 282. 石子合并 区间dp

地址 https://www.acwing.com/problem/content/284/

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式
第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式
输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
1≤N≤300
输入样例：
4
1 3 5 2
输出样例：
22

解答

首先是暴力遍历思想.尝试各种合并方式，显然不是TLE 就是MLE。

但是在暴力遍历的过程中可以发现这么一个规律

1~n的石子合并操作中  如果最后合并的点是k

 

 

最后一次的合并的成本总和是 

 dp[1][n] = max(dp[1][2]+dp[2][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本  ,   dp[1][3]+dp[4][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本,     dp[1][3]+dp[4][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本 ........ );

推导出下式  

 dp[1][n] = max(dp[1][k]+dp[k+1][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本 );  ( 1<=k <= n)

同样式子中的1~k  k+1~n 也可以看做一段距离的石子合并 且并不互相影响，那么可以使用递归逐步缩小问题规模来解决掉这个问题

#include <iostream>


using namespace std;

const int N = 310;

int arr[N];
int dp[N][N];
int n;


int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1;i <=n;i++){
        cin >> arr[i];
    }
    
    for(int i =1;i <=n;i++){
        arr[i] += arr[i-1];
    }
    //从长度为2的石子合并开始计算 为后面的3 4 5长度DP计算好需要的dp数组
    for(int len =2;len <=n;len++){
        for(int i =1;i+len-1<=n;i++){
            int j= i+len-1;
            dp[i][j] = 1e9;
            for(int k = i-1; k<=j-2;k++){
                dp[i][j]= min(dp[i][j],dp[i][k+1]+dp[k+2][j]+arr[j]-arr[i-1])  ;
            }
        }
    }
    
    cout << dp[1][n] <<endl;
    
    
    return 0;
}