【（好题）组合数+Lucas定理+公式递推（lowbit+滚动数组）+打表找规律】2017多校训练七 HDU 6129 Just do it

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6129

【题意】

• 对于一个长度为n的序列a，我们可以计算b[i]=a1^a2^......^ai，这样得到序列b
• 重复这样的操作m次，每次都是从上次求出的序列a得到一个新序列b
• 给定初始的序列，求重复m次操作后得到的序列

【方法一】

假定n=5,我们模拟一次可以发现，经过m次操作后a1在b1......bn中出现的次数为：

• m=0: 1 0 0 0 0
• m=2: 1 2 3 4 5
• m=3: 1 3 6 10 15
• m=4:1 4 10 20 35
• m=5:1 5 15 35 70

（画个杨辉三角出来就可以看出这些都是组合数）

容易推出来操作m次后，a1在答案bi中出现的次数C(m+i-2,m-1),由于是异或，我们只需知道C(m+i-2,m-1)%2

根据Lucas定理（2是素数），x=m-1,y=m+i-2,C(x,y)%2为x和y写成二进制后每一位C(xi,yi)%2的连乘，可以发现，只有C(0,1)是0，也就是C(x,y)%2==0  <=> y的二进制位置为1的集合是x的子集 <=> (x&y)==y

这道题m=1的时候是n^2的，然而这个复杂度是可以过的（奇怪）

附上AC代码

【AC】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+2;
ll a[maxn];
ll b[maxn];
int n;
ll m;
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(b,0,sizeof(b));
        scanf("%d%I64d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%I64d",&a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ll y=m-1;
            ll x=m+i-2;
            if((x&y)==y)
            {
                for(int j=i;j<=n;j++)
                {
                    b[j]^=a[j-i+1];
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i==1) printf("%I64d",b[i]);
            else printf(" %I64d",b[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

【经验】

• 把a,b二进制表达后b中1的位置是a中1的位置的子集    <=> (a&b)==b
• C(2^k-1,i)%2==1                     <=>               0<=i<=2^k-1

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【方法二】

dp(i, j)表示第i次变换第j列的数。 
dp(i, j) = dp(i, j-1)^dp(i-1, j) = dp(i, j-2)^dp(i-1, j-1)^dp(i-1, j-1)^dp(i-2, j) = dp(i, j-2)^dp(i-2, j) => dp(i, j-2^n)^dp(i-2^n, j) 
从m中的最高位或最低位开始递推。

类似于dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1],最后求dp[m][j](1<=j<=n)我们可以开一个滚动数组从前往后递推(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j+1]则是从后往前推)

for(int i=1;i<=m;i++)
{
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        dp[j]^=dp[j-1];
    }
}

计算dp[i][j]=dp[i-2^n][j]^dp[i][j-2^n]，用lowbit从右往左枚举m的每一位，每一次都对整列进行更新。

while(m)
{
    int x=lowbit(m);
    for(int j=x;j<=n;j++)
    {
        dp[j]^=dp[j-x];
    }
    m-=x;
}

【AC】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+3;
int n,m;
int dp[maxn];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&dp[i]);
        }
        while(m)
        {
            int x=m&(-m);
            for(int i=x;i<n;i++)
            {
                dp[i]^=dp[i-x];
            }
            m-=x;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(i==0) printf("%d",dp[i]);
            else printf(" %d",dp[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

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 【方法三】

http://m.blog.csdn.net/silence255713/article/details/77200056