【组合数+Lucas定理模板】HDU 3037 Saving

acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

【题意】

• m个松果，n棵树
• 求把最多m个松果分配到最多n棵树的方案数
• 方案数有可能很大，模素数p
• 1 <= n, m <= 1000000000, 1 < p < 100000

【思路】

• 答案为C(n+m,m)%p

• 对于C(n, m) mod p。这里的n，m，p（p为素数）都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。这里用到Lucas定理。

• 下面证明为什么答案是C(n+m,m):

• 把i个松果分配到最多n棵树的方案数是:C(i+n-1,i)（相当于x1+x2+......+xn=i的解的个数，用插板法,插n-1个板，共i+n-1个位置选i个1,因为xi可能是0，所以满足最多n棵树）

• 现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得

  C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)

  = C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)

  = C(n+m,m)

【AC】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,m,p;

ll fpow(ll x,ll n,ll p)
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=(res*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
ll Comb(ll n,ll m,ll p)
{
    if(n<m) return 0;
    if(n==m) return 1;
    m=min(m,n-m);
    ll lm=1,ln=1;
    for(ll i=0;i<m;i++)
    {
        lm=(lm*(m-i))%p;
        ln=(ln*(n-i))%p;
    }
    ll ans=ln*fpow(lm,p-2,p)%p;
    return ans;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(n&&m&&ans)
    {
        ans=(ans*Comb(n%p,m%p,p))%p;
        n/=p;
        m/=p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        n+=m;
        ll ans=Lucas(n,m,p);
        printf("%lld\n",ans);    
    }    
    return 0;
}