【区间DP+好题】String painter

https://www.bnuoj.com/v3/contest_show.php?cid=9149#problem/G

【题意】

给定两个长度相同的字符串A，B。每次操作都能把A中的任意一个子段变成相同的字符，问最少操作多少次A能变成B？

【思路】

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dp[i][j]表示i-j区间内的最少次数

先操作第二个字符串，我们先假设第i个字符的位置需要喷刷一次，对于所有的dp[i][j]=dp[i+1][j]+1、

在i-j区间内，如果有第k个跟第i个相同，那么就可以将i-j区间借助k分成两部分dp[i][j]=min(dp[i+1][k]+dp[k+1][j]);

处理完第2个字符串后，我们就要看第一个字符串究竟需要喷刷多少次了，用ans[i]记录0-i区间第二个字符串得出的喷刷次数，如果第一个字符串的i位置与第二个字符串的i位置相同，那么这个位置就不用喷刷了，ans[i]=ans[i-1],如果不相同，就要就要借助一个位于o-i区间内的变量来分割开。

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对于dp[i][j] 来说最差的就是1+dp[i+1][j]咯，那怎么减少呢。。。 如果(i,j]里面也有个k使得b[i] == b[k]那么得话， 可以刷[i,k]这么长的一段，那么就有可能减少1.  但是存在问题，如果有一段跨越了k怎么办。。。 嗯，这个问题是不会出现的， 因为在[i,k]刷了b[i].如果跨越了k那么之前在b[k]刷的颜色就没了，所以是不允许有跨段的， 所以要写成&&想写成 dp[i][j] = dp[i+1][k] + dp[k+1][j]。 为什么不可以跨段 可以思考  BRBR 。 然后后来的那个  一段 要么是可以分段刷的，要么是不可以分段刷的。-

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先计算出空串涂成b串的代价，用dp[i][j]存储区间[i, j]涂成和b串一样的最小代价。

因为字符都不相同，那么代价的优化点就在于b串中相同的字符。

dp[i][j] = min(dp[i+1][j]+1, dp[i+1][k]+dp[k+1][j]); (i+1<=k<=j && b[k] == b[i])

b[i]可以在涂区间[i+1, k]时顺带涂上。  处理时需要注意边界。

 

整理我们已经有的信息dp[i][j]，把空串变成b[i] - b[j]的字符串所需的最小代价。

设置ans[i]为a[0] - a[i]的字符串变成b[0] - b[i]所需的最小代价。

则状态转移：

a[i] == b[i]   ans[i] = ans[i-1];

a[i] != b[i]   ans[i] = min(ans[i], ans[j] + dp[j+1][i]); 把区间[j+1, i]当做空串来处理。

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例如zzzzzfzzzzz，长度为11，我们就将下标看做0~10

先将0~10刷一次，变成aaaaaaaaaaa

1~9刷一次，abbbbbbbbba

2~8:abcccccccba

3~7:abcdddddcba

4~6:abcdeeedcab

5:abcdefedcab

这样就6次，变成了s2串了

第二个样例也一样

先将0~10刷一次，变成ccccccccccb

1~9刷一次，cdddddddddcb

2~8:cdcccccccdcb

3~7:cdcdddddcdcb

4~6:cdcdcccdcdcb

5:cdcdcdcdcdcb

最后竟串尾未处理的刷一次

就变成了串2cdcdcdcdcdcd

所以一共7次

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【Accepted】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=1e5+20;
const int maxm=1e6;
const int inf=0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int to,next,cap,flow;
}edge[maxm];
int tol;
int head[maxn];
int gap[maxn],dep[maxn],pre[maxn],cur[maxn];
int num[1200];
void init()
{
    tol=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(num,0,sizeof(num));
}

void addedge(int u,int v,int w,int rw=0)
{
    edge[tol].to=v;
    edge[tol].cap=w;
    edge[tol].next=head[u];
    edge[tol].flow=0;
    head[u]=tol++;
    edge[tol].to=u;
    edge[tol].cap=rw;
    edge[tol].next=head[v];
    edge[tol].flow=0;
    head[v]=tol++;
}

int sap(int start,int end,int N)
{
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    int u=start;
    pre[u]=-1;
    gap[0]=N;
    int ans=0;
    while(dep[start]<N)
    {
        if(u==end)
        {
            int Min=inf;
            for(int i=pre[u];i!=-1;i=pre[edge[i^1].to])
            {
                if(Min>edge[i].cap-edge[i].flow)
                {
                    Min=edge[i].cap-edge[i].flow;
                }
            }
            for(int i=pre[u];i!=-1;i=pre[edge[i^1].to])
            {
                edge[i].flow+=Min;
                edge[i^1].flow-=Min;
            }
            u=start;
            ans+=Min;
            continue;
        }
        bool flag=false;
        int v;
        for(int i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            v=edge[i].to;
            if(edge[i].cap-edge[i].flow&&dep[v]+1==dep[u])
            {
                flag=true;
                cur[u]=pre[v]=i;
                break;
            }
        }
        if(flag)
        {
            u=v;
            continue;
        }
        int Min=N;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            if(edge[i].cap-edge[i].flow&&dep[edge[i].to]<Min)
            {
                Min=dep[edge[i].to];
                cur[u]=i;
            }
        }
        gap[dep[u]]--;
        if(!gap[dep[u]])
        {
            return ans;
        }
        dep[u]=Min+1;
        gap[dep[u]]++;
        if(u!=start)
        {
            u=edge[pre[u]^1].to;
        }
    }
    return ans;
}
int a[maxn];
int n,m;
int bit[11];

int main()
{
    bit[0]=1;
    for(int i=1;i<=10;i++)
    {
        bit[i]=bit[i-1]*2;
    }
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        init();
        int x;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int temp=0;
            for(int k=0;k<m;k++)
            {
                scanf("%d",&x);
                if(x==1)
                {
                    temp+=bit[k];
                }
            }
            num[temp]++;
        }
        int people=-inf;
        for(int i=1024;i>=0;i--)
        {
            if(num[i])
            {
                people=i;
                break;
            }
        }
        int planet=people+1;
        for(int i=0;i<=1024;i++)
        {
            if(num[i]==0)
            {
                continue;
            }
            addedge(0,i,num[i]);
            for(int k=0;k<m;k++)
            {
                if(i&(1<<k))
                {
                    addedge(i,planet+k,num[i]);
                }
            }
        }
        for(int i=planet;i<planet+m;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            addedge(i,planet+m,a[i]);    
        }
        
        if(num[0])
        {
            puts("NO");
            continue;
        }
        int res=sap(0,planet+m,planet+m+1);
        if(res==n)
        {
            puts("YES");
        }
        else
        {
            puts("NO");
        }
        getchar();
    }
    return 0;    
}