【算法系列学习一】全排列的生成算法

上节算法课提到了全排列的生成问题，今天自己在网上查找了一些资料，总结起来有一下几种方法：

一.递归类算法。

二.字典序法。

三.递增进位数制法。

四.递减进位数制法。

五.邻位交换法。

六.n进位制法。

 

下面一一介绍一下这几种算法。

一.递归类算法。

递归类算法比较简洁，实现的方法也有多种。

1.递归算法（非字典序）

#include<iostream>
#include<algorithm>


using namespace std;
int sum=0;
int a[10];
int n;
//考虑[l,n-1]区间的全排列 
void Perm(int l)
{ 
    //输出结果，总排列数加一 
    if(l==n-1)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            printf("%d ",a[i]);
        }
        printf("\n");
        sum++;
     } 
     else
     {
         //考虑[l+1,n-1]的排列 
         Perm(l+1);
         for(int i=l+1;i<n;i++)
         {
             //当前位(l)与后面的每一位(l+i)分别交换。 
             swap(a[l],a[i]);
             //当前位(l)已经确定了 ,现在考虑[l+1,n-1]的排列。 
             Perm(l+1);
             //还原 
             swap(a[l],a[i]);
         }
     }
}
int main()
{
    freopen("data.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        a[i]=i+1;
    }
    Perm(0);
    printf("共%d种排列。\n",sum);
    return 0;
}

2.回溯法。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e2;
int n;
int a[maxn];
int b[maxn];
int vis[maxn];
int sum=0;
void dfs(int cur)
{
    if(cur==n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            printf("%d ",b[i]);
        }
        printf("\n");
        sum++;
    }
    else
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!vis[i])
            {
                b[cur]=a[i];
                vis[i]=1;
                dfs(cur+1);
                vis[i]=0;
            }
        }
    }
    
}
int main()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        a[i]=i+1;
    }
    dfs(0);
    printf("共%d种\n",sum);
    return 0;
}

 

二.字典序法。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
int n;
const int maxn=1e2+10;
int a[maxn]; 
const int INF=0x3f3f3f;
bool next_perm()
{
    int k=-1;
//    for(int i=0;i<n-1;i++)
//    {
//        if(a[i]<a[i+1])
//        {
//            k=i;
//        }
//    }
    //从右往左找到满足a[i]<a[i+1]的最靠右的i,排列从这个位置开始改变 
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
    {
        if(a[i]<a[i+1])
        {
            k=i;
            break;
        }
    }
    //说明这已经是字典序最大的排列 
    if(k==-1)
    {
        return false;    
    }
    //接下来找到在[k+1,n-1]内比a[k]大的最小值，这样才满足是该排列后字典序最小的排列 
    int ans=INF;
    int index=0;
    for(int i=k+1;i<n;i++)
    {
        if(a[i]>a[k])
        {
            if(a[i]<ans)
            {
                index=i;
                ans=a[i];    
            }
        }
    }
    swap(a[k],a[index]);
    //接下来把[k+1,n-1]的数倒排 
    int i=1;
    while(1)
    {
        if(k+i>=n-i)
        {
            break;
        }
        swap(a[k+i],a[n-i]);
        i++;
    }
    return true; 
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    next_perm();
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        printf("%d ",a[i]); 
    }
    printf("\n");
    return 0;
 }