deterministic_miller_rabin 确定性米勒-拉宾素性检验

米勒-拉宾素性检验（Miller Rabin算法）

算法背景

米勒-拉宾素性检验（Miller Rabin算法），是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法，由于广义黎曼猜想并没有被证明，其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的Michael O. Rabin教授作出修改，提出了不依赖于该假设的随机化算法。
涉及知识点
- 费马小定理
  
  费马小定理就是说如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，

则有$ a^{(p-1)}≡1（mod \ p）$。

也可以写做$ a^p ≡ p (mod \ p) $.

二次探测

如果p是一个素数，那么使得$ x^2 ≡ 1 (mod \ p) $ 的 x的解只有两种可能，

就是$ x = 1 $ 或者 $ x = p-1 $。

证明如下：

$x^2 ≡ 1 (mod \ p) $可以转换为 $x^2-1 = 0（mod \ p）$ ，

然后就化为了$(x-1)(x+1) = 0 (mod p) $ ,

因此p是整除$(x-1)(x+1)$,

用数学语言也就是说 $ p|(x-1)(x+1) $ 。因此$ x = 1 $ 或者 $ x = p-1 $ 。

Miller-Rabin证明过程

假设n为奇素数，那么满足方程$ x^2 ≡ 1（mod \ n）$ 的解为x = 1 或者 x = n-1。

又已知费马小定理 $ a^n-1 ≡1（mod n）$

\[ a^{m*2^{t-1}} = 1 （mod \ n) \quad \text 或者 \quad a^{m*2^{t-1}} = n-1 （mod \ n) \]

已知n为奇数，那么$ n-1 $ 一定为偶数，

我们可以设 $n-1 = m * 2^t $。

其中 $ m $一定为奇数，否则就可以并到 $ 2^t $ 里面。

其实原本是$ n-1 = m * q^t $ 。

为了计算就给q特殊化为2了。

那么如何求 $ m $ 和 $ t $ 呢，上面其实也说了，$ m $ 一定是奇数，

所以只要给 $ n-1 $不断地除 $ 2 $，直到 $ n-1 $ 变为奇数，

那么 $ m $ 就是这个奇数，设初始$t$为0，每次(n-1)除以2后，t都加一。这样t和m都求出来了。

接下来我们从 $[1, n-1]$ 里面随机取一个a，容易得到$a^{n-1} = a^{m*2^t}$, 又由二次探索可知

不断的递归下去，不断的用二次探索定理，

直到最后 $a^m = 1(mod \ n)$ 或者$ a^m = n-1(mod n) $，

中间只要有一个不满足二次测试定理，那么这个数就一定是合数，

否则就有 $ 3/4 $ 的概率为质数。这样其实为合数的几率也不小，有$ 25 % $ 的大小。

因此我们要多取几次 $ a $ 进行计算，这样是合数的概率就变为了$（1/4）k $ 。

最后其实也就是相当与肯定是质数了。

算法流程

上面说了整体的证明，可能有一些人看到代码还是蒙，那我们就说一下算法的流程。

首先对于要判断的数 $ n $，先判断是不是 $ 2 $，是就直接返回true。
判断是不是小于 $ 2 $ 或者为偶数，是就返回false。
令 $ n-1 = m \times 2^t $，求出 $ m $ 和 $ t $ 。
利用rand随机找一个 $ a $， $ a $ 属于 $ [1，n-1] $
令$ x = (a^m) \text % n $
然后进行 $ t $ 次循环，为什么要循环 $ t $ 次呢，

上面证明是从$ 2^t $ 倒着推到 $ 2^0 $，

我们写程序完全可以正着来，上面的 $ x $ 其实就是 $ a^{m*20}$

那么在循环中每次都进行 $ y =（x*x）\text %n $ ， $ x = y $ 的操作，
最终会变为$ a^{(n-1)}$，

也就是 $ a^{m \times 2^t} $

又因为x在循环时是一定小于 $ n $ 的，所以可以用二次探测定理

运算过程中如果 $ (x^2) \text %n = 1 $, 也就是 $ y = 1 $，

假如 $ n $ 是素数，那么$ x == 1 $ 或者 $ x == n-1 $，否则n就一定不是素数，直接返回false。

整个循环结束后，程序运行到最后 $ x = a^{n-1} $, 根据费马小定理，

如果$ x $还是不等于$ 1 $，那么肯定不是素数，直接返回false。

Miller-Rabin算法正确率为75%，所以要进行大约4~8次来提高正确率。

代码

[deterministic_miller_rabin.py]{..\src\ciphers\deterministic_miller_rabin.py}

"""
Prepare
   1. sys.path 中增加 TheAlgorithms\src 子模块

"""
import sys
sys.path.append('E:\dev\AI\TheAlgorithms\src')

案例一：

判定是否素数

from ciphers.deterministic_miller_rabin import miller_rabin
    
"""
"""
n = 17
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(561)
assert miller_rabin(563)
'''
n = 561
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 563
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(838_201)
assert miller_rabin(838_207)
'''
n = 838_201
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 838_207
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(17_316_001)
assert miller_rabin(17_316_017)
'''
n = 17_316_001
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 17_316_017
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(3_078_386_641)
assert miller_rabin(3_078_386_653)
'''
n = 3_078_386_641
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 3_078_386_653
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')
'''
assert not miller_rabin(1_713_045_574_801)
assert miller_rabin(1_713_045_574_819)
'''
n = 1_713_045_574_801
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 1_713_045_574_819
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(2_779_799_728_307)
assert miller_rabin(2_779_799_728_327)
'''
n = 2_779_799_728_307
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 2_779_799_728_327
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(113_850_023_909_441)
assert miller_rabin(113_850_023_909_527)
'''
n = 113_850_023_909_441
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 113_850_023_909_527
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(1_275_041_018_848_804_351)
assert miller_rabin(1_275_041_018_848_804_391)
'''
n = 1_275_041_018_848_804_351
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 1_275_041_018_848_804_391
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(79_666_464_458_507_787_791_867)
assert miller_rabin(79_666_464_458_507_787_791_951)
'''
n = 79_666_464_458_507_787_791_867
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 79_666_464_458_507_787_791_951
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

'''
assert not miller_rabin(552_840_677_446_647_897_660_333)
assert miller_rabin(552_840_677_446_647_897_660_359)
'''
n = 552_840_677_446_647_897_660_333
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

n = 552_840_677_446_647_897_660_359
bPrime = miller_rabin(n)
print(f'{n} is Prime ? :{bPrime}')

17 is Prime ? :True
561 is Prime ? :False
563 is Prime ? :True
838201 is Prime ? :False
838207 is Prime ? :True
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3078386653 is Prime ? :True
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posted @ 2021-06-21 11:12 IT88老兵阅读(212) 评论(0) 编辑收藏举报

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