一、数据结构和算法解决的是“快”和“省”的问题,即如何让代码运行的更快,如何让代码更节省存储空间。执行效率是算法一个非常重要的考量指标。如何衡量算法的执行效率?就需要时间、空间复杂度分析。
二、代码跑一遍,通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小,这种叫做事后统计法。事后统计法有局限性,测试结果依赖测试环境、受数据规模影响大。所以我们需要一个不用具体测试数据,,就可以粗略估计算法的执行效率的方法,即时间、空间复杂度分析方法。
三、大O复杂度表示法
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int cal(int n) { 2 int sum = 0; 3 int i = 1; 4 for (; i <= n; ++i) { 5 sum = sum + i; 6 } 7 return sum; 8 }
假设每行代码的执行时间都一样,为unit_time。在这个假设基础上,这段代码的总执行时间:第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间,第4、5行都运行了n遍,所以需要2n*unit_time的执行时间,这段代码总的执行时间就是(2n+2)*unit_time。可以看出,所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int cal(int n) { 2 int sum = 0; 3 int i = 1; 4 int j = 1; 5 for (; i <= n; ++i) { 6 j = 1; 7 for (; j <= n; ++j) { 8 sum = sum + i * j; 9 } 10 } 11 }
这段代码总的执行时间是T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。
所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 f(n) 成正比。我们可以把这个规律总结成一个公式。注意,大 O 就登场了!
具体解释一下这个公式。其中,T(n) 我们已经讲过了,它表示代码执行的时间;n 表示数据规模的大小;f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度。
当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n2)。
四、时间复杂度分析
1.只关注循环执行次数最多的一段代码
我刚才说了,大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度。
示例1中,循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过,这两行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n)。
2.加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int cal(int n) { 2 int sum_1 = 0; 3 int p = 1; 4 for (; p < 100; ++p) { 5 sum_1 = sum_1 + p; 6 } 7 8 int sum_2 = 0; 9 int q = 1; 10 for (; q < n; ++q) { 11 sum_2 = sum_2 + q; 12 } 13 14 int sum_3 = 0; 15 int i = 1; 16 int j = 1; 17 for (; i <= n; ++i) { 18 j = 1; 19 for (; j <= n; ++j) { 20 sum_3 = sum_3 + i * j; 21 } 22 } 23 24 return sum_1 + sum_2 + sum_3; 25 }
这个代码分为三部分,分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢?这段代码循环执行了 100 次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关。
这里我要再强调一下,即便这段代码循环 10000 次、100000 次,只要是一个已知的数,跟 n 无关,照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候,就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响,但是回到时间复杂度的概念来说,它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势,所以不管常量的执行时间多大,我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢?答案是 O(n) 和 O(n2),你应该能容易就分析出来,我就不啰嗦了。
综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
那我们将这个规律抽象成公式就是:如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).
3.乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
公式:如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是说,假设 T1(n) = O(n),T2(n) = O(n2),则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环,我举个例子给你解释一下。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int cal(int n) { 2 int ret = 0; 3 int i = 1; 4 for (; i < n; ++i) { 5 ret = ret + f(i); 6 } 7 } 8 9 int f(int n) { 10 int sum = 0; 11 int i = 1; 12 for (; i < n; ++i) { 13 sum = sum + i; 14 } 15 return sum; 16 }
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。
五、几种常见时间复杂度实例分析
对于刚罗列的复杂度量级,我们可以粗略地分为两类,多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2n) 和 O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP(Non-Deterministic Polynomial,非确定多项式)问题。
当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此,关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1.O(1):常数阶时间复杂度
O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3)。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int i = 8; 2 int j = 6; 3 int sum = i + j;
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O(logn)、O(nlogn):对数阶时间复杂度
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 i=1; 2 while (i <= n) { 3 i = i * 2; 4 }
根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:
所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了,我就不多说了。x=log2n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
现在,我把代码稍微改下,你再看看,这段代码的时间复杂度是多少?
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 i=1; 2 while (i <= n) { 3 i = i * 3; 4 }
根据我刚刚讲的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢?
我们知道,对数之间是可以互相转换的,log3n 就等于 log32 * log2n,所以 O(log3n) = O(C * log2n),其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。
如果你理解了我前面讲的 O(logn),那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3. O(m+n)、O(m*n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩,先看代码!
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int cal(int m, int n) { 2 int sum_1 = 0; 3 int i = 1; 4 for (; i < m; ++i) { 5 sum_1 = sum_1 + i; 6 } 7 8 int sum_2 = 0; 9 int j = 1; 10 for (; j < n; ++j) { 11 sum_2 = sum_2 + j; 12 } 13 14 return sum_1 + sum_2; 15 }
从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
六、空间复杂度分析
前面,咱们花了很长时间讲大 O 表示法和时间复杂度分析,理解了前面讲的内容,空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。
前面我讲过,时间复杂度的全称是渐进时间复杂度,表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
我还是拿具体的例子来给你说明。(这段代码有点“傻”,一般没人会这么写,我这么写只是为了方便给你解释。)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 void print(int n) { 2 int i = 0; 3 int[] a = new int[n]; 4 for (i; i <n; ++i) { 5 a[i] = i * i; 6 } 7 8 for (i = n-1; i >= 0; --i) { 9 print out a[i] 10 } 11 }
跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以,对于空间复杂度,掌握刚我说的这些内容已经足够了。