微分方程

先导知识

在学习微分（求导）的时候，对于以下几种常见函数的导数，大家一定不陌生，在接下来的微分方程求解，也会利用到这些常见函数的求导以及求导运算的属性：

• \((e^x)'=e^x\)

• \((x^n)'=n{\cdot}x^{n-1}\)

• \((\sin{x})'=\cos{x}\) ， \((\cos{x})'=-\sin{x}\)

• \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) ，例如：\((xe^{x})'=(x)'{\cdot}e^{x}+x{\cdot}(e^{x})'=e^{x}+x{\cdot}e^{x}\)

• \(f(g(x))'=\frac{df}{dg}{\cdot}\frac{dg}{dx}\)，例如：\((e^{ax})'=\frac{de^{ax}}{d(ax)}{\cdot}\frac{d(ax)}{dx}=e^{ax}{\cdot}a=a{\cdot}e^{ax}\)

所谓“齐次”，指的是形如 \(ay''+by'+cy=0\) 的方程。

所谓“非齐次”，指的是形如 \(ay''+by'+cy=f(x)\) ，其中 \(f(x)\ne0\)

齐次微分方程

以 \(ay''+by'+cy=0\) 为例。

特征方程

注意到

• \(e^x\)求导后的结果是自身，即 \((e^x)'=e^x\)

• \((e^{{\alpha}x})'={\alpha}{\cdot}e^{{\alpha}x}\)，\((e^{{\alpha}x})''={\alpha}^{2}{\cdot}e^{{\alpha}x}\) ，由此可以看出\(e^{{\alpha}x}\)的一阶导数结果的系数是\(e\)的幂次系数\(\alpha\)，二阶导数结果的系数是\(e\)的幂次系数的平方\({\alpha}^2\)

• 如果 \(e^{{\alpha}x}\) 是上述方程的解（为了书写和讨论方便，在此省略常数系数，带上常数系数之后\(C_1e^{{\alpha}x}\)也是方程的解），那么将会有

\(a{\cdot}{\alpha}^2e^{{\alpha}x}+b{\cdot}{\alpha}e^{{\alpha}x}+c{\cdot}e^{{\alpha}x}=0\)

即 \(a{\cdot}{\alpha}^2+b{\cdot}{\alpha}+c=0\)

也就是说 \(\alpha\) 是关于\(r\)的方程 \(a{\cdot}r^2+b{\cdot}r+c=0\) 的一个根。

由此我们不难发现，对于二阶齐次微分方程\(ay''+by'+cy=0\) ，可以根据原方程系数，构造一个新的方程\(a{\cdot}r^2+b{\cdot}r+c=0\)，即所谓的“特征方程”，然后求该特征方程的根，最终得到微分方程的一个解。

特征方程的解与微分方程的解

有了特征方程，我们自然会想到一元二次方程的根的几种情况，那么它们分别对应齐次微分方程的解又是什么样的形式呢？

特征方程判别式	特征方程的根	微分方程的根（通解）
\(\delta > 0\)	有两个不同的实数根\(r_1\)和\(r_2\)（\(r_1{\ne}r_2)\)	\(C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)
\(\delta = 0\)	有两个相同的实数根，也称为“重根” \(r_1=r_2\)	\((C_1+C_2x)e^{r_1x}\)
\(\delta < 0\)	有两个虚数根\({\alpha}{\pm}{\beta}i\)	\(e^{{\alpha}x}(C_1{\cos}{{\beta}x}+C_2{\sin}{{\beta}x})\)

其中\(\delta > 0\)的情况容易理解。而\(\delta < 0\)也可以套用\(\delta > 0\)的情况来转换：

特征方程有两个虚根\({\alpha}{\pm}{\beta}i\)，此时微分方程的根可以写成

\(C_1e^{({\alpha}+{\beta}i)x}+C_2e^{({\alpha}-{\beta}i)x}\)

\(=C_1e^{{\alpha}x}({\cos}{{\beta}x}+i{\sin}{{\beta}x})+C_2e^{{\alpha}x}({\cos}{\beta}x-i{\sin}{{\beta}x})\)

\(=(C_1+C_2)e^{{\alpha}x}{\cos}{{\beta}x}+(C_1-C_2)ie^{{\alpha}x}{\sin}{{\beta}x}\)

将系数\((C_1+C_2)\)和\(((C_1-C_2)i)\)重写成\(C_1\)和\(C_2\)即可得到特征方程虚根情况下的通解形式。

下面重点来看一下重根（\(\delta = 0\)）的情况：

首先\(C_1e^{r_1x}\)是方程的根，这个容易理解，关键是如何理解另外一个根\(C_2xe^{r_1x}\)。

我们可以反过来验证一下：

\(y=C_2xe^{r_1x}\)

\(y'=C_2e^{r_1x}+C_2r_1xe^{r_1x}\)

\(y''=C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1^2xe^{r_1x}=2C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1^2xe^{r_1x}\)

\(ay''+by'+cy\)

\(=a{\cdot}(2C_2r_1e^{r_1x}+C_2r_1^2xe^{r_1x})+b{\cdot}(C_2e^{r_1x}+C_2r_1xe^{r_1x})+c{\cdot}C_2xe^{r_1x}\)

\(=(2a{\cdot}r_1+b)C_2e^{r_1x}+(a{\cdot}r_1^2+b{\cdot}r_1+c)C_2xe^{r_1x}\) ……①

其中，我们知道\(r_1\)是特征方程的根，所以

\(a{\cdot}r_1^2+b{\cdot}r_1+c=0\)

又因为\(\delta = 0\)，所以\(r_1=-\frac{b}{2a}\)，即 \(2a{\cdot}r_1+b=0\)

所以上述①式=0，即此时\(ay''+by'+cy=0\)，也就是\(C_2xe^{r_1x}\)是方程的根。

关于齐次方程的解的思考小结

对于二阶微分方程的解，可以看到一阶求导、二阶求导所产生的分量，应该保持原来的分量（例如\(e^x\)、\({\cos}{x}\)、\({\sin}{x}\)）、或者出现能够消除的降幂项（例如\(xe^x\)），总的来说就是不增加新的无法消除的项。

非齐次方程

通解与特解

形如 \(ay''+by'+cy=f(x)\) ，其中 \(f(x)\ne0\)，其解的构成形式为 \(y_0+y^*\)，其中是\(y_0\)通解、\(y^*\)是特解，为了方便表达，在这里写成

\(ay_0''+by_0'+cy_0=0\)

\(a{y^*}''+b{y^*}'+c{y^*}=f(x)\)

之所以解的构成形式为\(y_0+y^*\)，是因为：

\(a(y_0+y^*)''+b(y_0+y^*)'+c(y_0+y^*)\)

\(=(ay_0''+by_0'+cy_0)+(a{y^*}''+b{y^*}'+cy^*)\)

\(=0+f(x)\)

\(=f(x)\)

特解的求法

两种形式

在参考文献[1]中提到了两种常见形式：

• 形式1、\(f(x)=e^{{\lambda}x}P_m(x)\)，即\(ay''+by'+cy=e^{\lambda{x}}P_m(x)\)

右侧是\(e^{\lambda{x}}\)和\(m\)次多项式\(P_m(x)\)的乘积。

特解形式为\(y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda{x}}\)，其中\(k\)的取值如下：

\(k=0\)：当\(\lambda\)不是特征根，即\(\lambda\ne{r_1}\)且\(\lambda\ne{r_2}\)

\(k=1\)：当\(\lambda\)是单根，即\(\lambda=r_1\ne{r_2}\)或\(\lambda=r_2\ne{r_1}\)

\(k=2\)：当\(\lambda\)是重根，即\(\lambda={r_1}={r_2}\)

举例1、微分方程\(y''-y=3e^x\)

特征方程为\(r^2-1=0\)，特征根是\(r_{1,2}=\pm{1}\)，\(\lambda=1\)，是单根的情况，所以\(k=1\)；在本例中没有\(x\)的多项式、或者说\(P_m(x)\)是\(x\)的0次多项式，因此\(Q_m(x)\)也是\(x\)的0次多项式、即常数项（记为\(b_0\)）。所以特解形式可以写为\(y^*=xb_0e^x\)。代入原方程可得：

\(b_0e^x+b_0xe^x-b_0xe^x=3e^x\)

即 \(b_0e^x=3e^x\)，从而\(b_0=3\)，特解为\(y^*=3xe^x\)。原方程的解为\(y=C_1e^x+C_2e^{-x}+3xe^x\)

• 形式2、\(f(x)=e^{{\lambda}x}[P_l^{(1)}(x)\cos{{\omega}x}+P_n^{(2)}\sin{{\omega}x}]\)，即\(ay''+by'+cy=e^{{\lambda}x}[P_l^{(1)}(x)\cos{{\omega}x}+P_n^{(2)}\sin{{\omega}x}]\)

右侧是\(e^{\lambda{x}}\)和一个式子的乘积。

特解形式为\(y^*=x^ke^{\lambda{x}}[R_m^{(1)}\cos{\omega{x}}+R_m^{(2)}\sin{\omega{x}}]\)，其中\(k\)的取值如下：

\(k=0\)：当\(\lambda+i\omega\)不是特征根

\(k=1\)：当\(\lambda+i\omega\)是特征根

\(R_m^{(1)}\)，\(R_m^{(2)}\)是\(m\)次多项式，\(m=\max\{l,n\}\)

举例2、\(y''+y=3x\sin{5x}\)

特征方程为\(r^2+1=0\)，特征根是\(r_{1,2}=\pm{i}\)，\(\lambda=0\)，\(\omega=5\)，\(\lambda+i\omega=5i\)不是特征根，所以\(k=0\)，\(P_n(x)\)是1次多项式，\(P_l(x)\)是0次多项式，所以\(R_m^{(1)}\)，\(R_m^{(2)}\)是1次多项式，特解形式为\(y^*=x[(b_0x+b_1)\cos{5x}+(a_0x+a_1)\sin{5x}]\)

方程右边为常数的一种解法

形如 \(ay''+by'+cy=K\) ，其中常数\(K\ne0\) ，\(c\ne0\)

用上一小节提到的特解的求法，能够求出上述方程的解。

在这里提供另外一种更简洁的方法。

例如：\(y''-y'-20y=5\)

首先，上述方程对应的齐次方程为：\(y''-y'-20y=0\)

特征方程 \(r^2-r-20=0\)

两个特征根分别为：\(r_1=-4\)，\(r_2=5\)

对应齐次方程的通解为：\(C_1e^{-4x}+C_2e^{5x}\)

接下来求特解，可以用这样的方法：将原方程变形为 \(y''-y'-20(y+\frac{1}{4})=0\)

之所以要这么变形，是考虑到 \((y+C)''=y''\)、\((y+C)'=y'\)

因此方程可以进一步变形为 \((y+\frac{1}{4})''-(y+\frac{1}{4})'-20(y+\frac{1}{4})=0\)

将\((y+\frac{1}{4})\)看作一个整体，用齐次方程解法可得 \(y+\frac{1}{4}=C_1e^{-4x}+C_2e^{5x}\)

从而得到最终的解为：\(y=C_1e^{-4x}+C_2e^{5x}-\frac{1}{4}\)

总的来说，对于\(ay''+by'+cy=K\)，可以变形为\(ay''+by'+c(y-\frac{K}{c})=0\)

将\((y-\frac{K}{c})\)看作一个整体，求出通解\(y_0\)，即\(y-\frac{K}{c}=y_0\)，从而得到最终解\(y=y_0+\frac{K}{c}\)

参考文献

[1]. 二阶常系数微分方程的解 - 知乎