一些有思维的动态规划问题

最近在刷动态规划题目时，遇到一些思维难度较大，代码实现较容易的题目，我将这些题目进行整理和收集写下了这篇博客，希望能将这些题目分享给大家.

[AtCoder Regular Contest 170] Prefix Mex Sequence
题目大意：给定 S 数组，构造满足条件的 A 数组：数组中的数在 $[0,M]$ 内，若 $S_i=1,A_i=mex((A_1,A_2,\dots ,A_{i-1}))$,若$S_i=0,A_i\ne mex((A_1,A_2,\dots ,A_{i-1}))$ ，求满足条件的 A 数组的个数，答案对998244353取模
刚开始在做这道题的时候，我们可能会想利用前面已经知道的$A_i$去推出 mex 数组，但是这种做法显然是行不通的，我们无法利用 mex 数组得出所要求的方案数，所以我们尝试换一个思路：如果我们知道了前面取了哪几个数，mex 数组是不是自然就确定了下来；如果我们知道前面取了几个不同的数，那么是不是能知道当前位置有几种取的可能
换句话说：如果 S 数组当前是0，，那么当前序列数的选择其实取决于前面已经用了多少种不同的数。
我们考虑动态规划，设F[i][j]表示枚举到第i位，出现了j个不同的数的方案数
若 $S_i=1$ ，此时 $A_i$ 已经被唯一确定下来了，并且和前面都不同，所以F[i][j+1]=F[i-1][j]
若 $S_i=0$ ，此时 $A_i$ 的取值有两种可能：第一种是从已经出现过的 j 个数中取，此时有F[i][j]=F[i-1][j]$\ast$j;
第二种从剩下的m+1-j个数种取，因为 $A_i$ 不能取mex值，所以只能从 m-j 个数中取，此时有F[i][j+1]=F[i-1][j]$\ast$(m-j)
最后注意初始化条件F[0][0]=1,即对于长度为 0 ，不同数个数为 0 的 A 数组也算一种方案

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5007;
const int mod=998244353;
int n,m,s[maxn];
long long f[maxn][maxn],ans;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>s[i];
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=min(m+1,n);j++){
		if(s[i]==1)
		f[i][j+1]=(f[i-1][j]+f[i][j+1])%mod;
		if(s[i]==0){
			f[i][j]=(f[i-1][j]*j+f[i][j])%mod;
			f[i][j+1]=(f[i-1][j]*(m-j)+f[i][j+1])%mod;
		}
	}
	for(int i=0;i<=min(m+1,n);i++)
	ans=(ans+f[n][i])%mod;
	cout<<ans;
}