k倍区间（从暴力破解到利用两种数学思维的过程）

题目描述

输入描述

输出描述

输出一个整数，代表 K 倍区间的数目。

输入输出样例

示例

输入

5 2
1
2
3
4
5

输出

6

运行限制

• 最大运行时间：2s
• 最大运行内存: 256M

想法一：暴力求解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n,k;
	cin >> n >> k;
	int *a = new int[n];
	int sum = 0;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin >> a[i];
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		int b = a[i];
		if(a[i]%k == 0){
			++sum;
		}
		for(int j = i+1;j<n;j++){
			b += a[j];
			if(b%k == 0){
				++sum;
			}
		}
	}
	cout << sum;
	
	return 0;
}

• 只能通过两个样例，其余均超时，所以要考虑用空间换取时间。

想法二：前缀和

• 这是我第一次接触，类似于动态规划

• 前缀和是什么？
  用一个简单的列子去介绍

  原数组: a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
  前缀和: s[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]
  前缀和就是用一个数组s去存数组a的前n项的和。
  s[0] = 0
  s[1] = a[1]
  s[2] = a[1] + a[2]
  s[n] = a[i] + a[2] + a[3] + …+a[n]
  这样s[n]对应的就是a[1]—a[n]的和，s的每一项都这样对应，就构成了前缀和。
  注：前缀和的下标一定要从1开始。
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• 前缀和求区间大小

  如何利用前缀和去求区间大小呢？
  有一个公式：s[r] - s[l - 1]。
  就是这个公式，他的时间复杂度O(1)，这就要比暴力的做法快上很多了。
  

• 如何构成前缀和的形式？

  	for (int i = 1; i <= n; i++)
  	{
  		s[i] = s[i - 1] + a[i];
  	}
  

  s[1] = s[0] + a[1];
  s[2] = s[1] + a[2];
  s[3] = s[2] + a[3];
  s[n] = s[n - 1] + a[n]
  去遍历a数组，把当前a[n]的数加上s[n-1]的数，就能得到s[n]，这个s[n]就是a[1，n]的和。
  

• 代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100010];
int s[100010];
int main(){
	int n,k;
	cin >> n >> k;
	s[0] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
			cin >> a[i];
			s[i] = s[i-1] + a[i];
		}
	long long ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++){
			if((s[j]-s[i-1])%k == 0){
				++ans;
			}
		}
	}
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}

想法三：前缀和＋差分

• 想法一和二没什么区别，时间复杂度相同。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long a[100010];
long s[100010];
int main(){
	int n,k;
	cin >> n >> k;
  
	for(int i=1;i<=n;i++){
				cin >> a[i];
				a[i]+=a[i-1];
				s[a[i]%k]++;
				
			}
		long long ans = s[0];
		for(int i = 0;i < k;++i){
			ans += (s[i]*(s[i]-1))/2;
		}
		cout << ans << endl;
	
	return 0;
}

• 先求出前i项和中属于k倍区间的数，加到s[0]中
• 其余不是k的倍数的区间，余数相同的两个区间相减得到的中间区间为k的倍数，将所有余数相同的区间两两相减，所得到的组合数为k的区间数
• 二者相减即可得出结果