傅里叶变换

周期函数的傅里叶变换

傅里叶变换最开始需要从傅里叶级数开始讲起

• 傅里叶级数

  一个周期信号$f(t)$, 周期为$T$， 角频率为 $w_0=2\pi f_0=\frac{2\pi }{T}$，可以展开成如下形式:

  $$\begin{array}{rl}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{基}\mathrm{的}\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{展}\mathrm{开}：f(t)& =a_0+a_1\cos w_{0}t+a_2\cos 2w_{0}t+a_3\cos 3w_{0}t+...\\ & +b_1\sin w_{0}t+b_2\sin 2w_{0}t+b_3\sin 3w_{0}t+...\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos n{w}_{0}t+b_n\sin n{w}_{0}t)\end{array}$$

从含义上理解，我们知道是用无限个缩放周期去拟合这个模拟函数，如下图：

但从数学上解释，仔细观察，就知道就可以体会到$f(t)$在$cosn{w}_{0}t$以及$\sin n{w}_{0}t$做分解，之所以能这么分解是因为正余弦组成了一组正交基

介绍正交基之前要先知道函数的正交性： 高中知识告诉我们 一个二维空间的向量是由x, y轴的单位向量$\overrightarrow{x}=(1,0),\overrightarrow{y}=(0,1)$构成，这俩个向量具有正交性，因为它们的内积(投影)为:$\overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}=1\ast 0+0\ast 1=0$, 同样把正交扩展至函数，当函数的内积如果为0那么两个函数正交，比如说两个函数 $f(x)\mathrm{和}g(x)$, 那么${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)dx=0$, 则它们正交，向量空间的内积是对应每一维相乘然后算总和，而函数可以微分化后看成无线维，所以函数的内积运算是积分

$cosn{w}_{0}t$以及$\sin n{w}_{0}t$实际上构成的正交函数，它们之中任意两个内积为0（很好证明），所以可以用他们来做基分量然后组合成$f(t)$

$$\{1,\cos w_{0}x,\sin w_{0}x,\cos 2w_{0}x,\sin 2w_{0}x,\cos 3w_{0}x,\sin 3w_{0}x,\cos 4w_{0}x,\sin 4w_{0}x...\}$$

由于这组正交函数所对应的定义域$x\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$, 值域$f(x)\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$, 所以可以进行线性组合为$f(t)$，同时这组三角函数的角频率必为$w_0$倍数，很好理解，是因为需要同倍数周期的函数进行叠加， 而$a_n,b_n$可以理解成这些维度的系数，或者说$f(t)$在这些维度上的投影，要想确定这些值实际上是一个投影的过程，将会在下面得到

• 复指数形式的傅里叶级数

为什么要引入这个复指数基，逻辑是这样子的，对于一个普通周期函数

$$f(x)=k\cos (x+\theta )$$

如果单纯用余弦/正弦函数去表示的话，θ无法表示出来的, 因为相位θ的存在，正确的构造思路应该是从这个高中公式开始去入手构造，那么就有正余弦了：

$$\begin{gathered} acosx+bsinx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\theta ) \\ \theta =arctan\frac{b}{a} \end{gathered}$$

所以需要搞一个sin和cos同时构成的基序列，使得相位θ存在，这是三角基傅里叶级数为什么既有正弦也有余弦的原因(虽然正弦和余弦是可以转换的)

而复指数傅里叶级数，则是说既然你同时要有$a\cos x+b\sin x$，但是两个东西我看着碍眼，我可以利用欧拉公式$e^{ix}=\cos x+j\sin x$一个去表示你这两个东西，只要把$e^{ix}$系数构造好，那就可以$jsinx$转成$bsinx$，这就是它的思想。

所以我们更习惯使用下面这么一组复指数正交基去表示，其中$j$是虚数单位也就是我们常见的$i$

$$\{e^{-jn{w}_{0}x},...,e^{-j3w_{0}x},e^{-2j{w}_{0}x},e^{-j{w}_{0}x},e^{j0w_{0}x},e^{j{w}_{0}x},e^{j2w_{0}x},e^{j3w_{0}x},...,e^{j4w_{0}x}\}$$

这组正交基的定义域$x\in [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$, 值域$f(x)$ 除了是$[-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$, 同时还在一个复数空间上，所以用来表示一个实数空间的东西没有问题(三维变量表示二维变量，只需要把多出的维度消除掉即可)， 在这组正交基下，$f(t)$可以在区间$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$展开成如下形式:

$$\mathrm{复}\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{基}\mathrm{的}\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{展}\mathrm{开}:f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$

• 投影的计算

我们知道$c_k$相当于f(t)在各个分量上的系数，或者说f(t)在$e^{jn{w}_{0}t}$上的投影，投影的计算方式在二维向量中内积已经做过计算:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|·\cos \theta \\ \overrightarrow{x}\mathrm{在}\overrightarrow{y}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{投}\mathrm{影}\mathrm{为}:|\overrightarrow{x}|cos\theta =\frac{\overrightarrow{x}·\overrightarrow{y}}{\overrightarrow{y}} \end{gathered}$$

所以在函数上也是一样的定义，内积的值/基分量，对于$C_k$的值如下:

$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{<f(t),e^{jk{w}_{0}t}>}{<e^{jk{w}_{0}t},e^{jk{w}_{0}t}>}\\ & =\frac{{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt}{{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{e}^{jk{w}_{0}t}{e}^{-jk{w}_{0}t}dt}\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn{w}_{0}t}dt\end{array}$$

其中有两个细节，一是复数的乘法是乘以第二个乘数的共轭的，所以看到$e^{jk{w}_{0}t}$变成了$e^{-jk{w}_{0}t}$, 第二是关于被除数$<e^{jk{w}_{0}t},e^{jk{w}_{0}t}>$的理解上，因为我们这里算的是以$e^{jk{w}_{0}t}$为基的系数，所以除的是$e^{jk{w}_{0}t}$的内基，而不是一个$e^{jk{w}_{0}t}$

• 总结

  到这里其实就很明确了，一个周期为T的函数，可以由周期为nT(n= ..., -3, -2, -1, 0 1, 2, 3, ...)的正余弦周期函数组合构成，为了表示方便所以用复指数$e^{jk{w}_{0}t}$方式去代替这些正余弦，而要求这些分量的系数，实际上就是求f(t)在这些基上投影，计算方式是$\frac{f(t)\mathrm{与}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{积}}{\mathrm{基}\mathrm{分}\mathrm{量}\mathrm{与}\mathrm{基}\mathrm{分}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{内}\mathrm{积}}$， 所以往往能看到这东西$f(t)e^{-jn{w}_{0}t}$， 它实际上就是:f(t)与积分量的内积

非周期函数的傅里叶变换

在上一节已经知道了，对于周期函数$f(t)$在区间$[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 做傅里叶展开得

$$\begin{gathered} f(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{ik{w}_{0}t}(2.1) \\ {c}_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt \end{gathered}$$

对于非周期函数，可以认为$T\to \mathrm{\infty }$，此时$w_0=\frac{2\pi }{T}\to$ 0, 所以微分化后，可以认为是$w=k{w}_0,w_0=\mathrm{\Delta }w$, 此时

$$c_n=\frac{\mathrm{\Delta }w}{2\pi }{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt$$

将$c_n$代入2.1得

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}({\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jwt}dt)e^{jk{w}_{0}t}\mathrm{\Delta }w$$

由于$\mathrm{\Delta }w,T\to \mathrm{\infty }$，

$$\begin{gathered} f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)e^{-jwt}dt)e^{jkwt}dw \\ \mathrm{记}：F(w)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)e^{-jwt}dt(\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{变}\mathrm{换}) \\ \mathrm{则}:f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(w)e^{jwt}dw(\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{逆}\mathrm{变}\mathrm{换}) \end{gathered}$$

$F(w)$描述的就是$f(t)\mathrm{在}{e}^{-jwt}\mathrm{分}\mathrm{量}\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{系}\mathrm{数}·2\pi (\mathrm{因}\mathrm{为}2\pi \mathrm{被}\mathrm{提}\mathrm{出}\mathrm{去}\mathrm{了})$, 是函数与在该正交分量相关性，通过$f(t)$得到F(w)的过程也被称之为傅里叶变换，$F(w)$又被称之为f(t)的频谱密度， 而对于原来的周期函数$C_n$，因为其分量的频率不是连续的，所以将$c_n$称为频谱(与概率分布函数和概率密度函数的概念一致)

离散时间傅里叶变换

对于一个周期函数$x(n)$， 我们知道其傅里叶变换，但是如果对其进行采样后，它的频率的求解该怎么做呢？

它的公式如下：

$$\begin{gathered} \mathrm{离}\mathrm{散}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{级}\mathrm{数}:\tilde{X}(k)=\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}(k)e^{-jk\frac{2\pi }{N}n} \\ \mathrm{离}\mathrm{散}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{傅}\mathrm{里}\mathrm{叶}\mathrm{级}\mathrm{数}\mathrm{逆}\mathrm{变}\mathrm{换}:\tilde{x}(k)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{jk\frac{2\pi }{N}n} \end{gathered}$$

离散时间傅里叶级数的公式很好理解，和傅里叶级数一样，就是计算投影的过程，但是现在函数点变成了取样点了$\tilde{x}(k)$ 其它点都没有都是0，所以不用放过来； 然后基分量$e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}$和过去的$e^{-jt{w}_{0}n}$ 发生了形式上符号上发生了一点变化，但本质没有区别，右上角的构成仍然是虚数 · 自变量 · 角频率· 扩充倍数，唯一有变化的是角频率这个地方，其它都是一样的，角频率在这里被定义成了$\frac{2\pi }{N}$, 而且N还是一个变量，表示的是取样点的数量，角频率$w_0$必须要和原函数保持一直，在这里取了$N$个点，它们可能如上图属于多个周期里面，也可能都在一个周期里面，那么这个时候角频率的范围就在$[\frac{2\pi }{N},2\pi ]$，所以就将角频率对在了最小的$\frac{2\pi }{N}$