三角函数&对数指数笔记

Time: 2023-01-11 17:54:52
视频地址: 超全！三角函数、对数指数公式在考研中的运用

P1 三角函数的运算

1. 三角函数的定义

$\mathrm{正}\mathrm{弦}:\sin \alpha =\frac{\mathrm{对}\mathrm{边}}{\mathrm{斜}\mathrm{边}};\mathrm{余}\mathrm{弦}:\frac{\mathrm{邻}\mathrm{边}}{\mathrm{斜}\mathrm{边}}$
$\mathrm{正}\mathrm{切}:\tan \alpha =\frac{\mathrm{对}\mathrm{边}}{\mathrm{邻}\mathrm{边}};\mathrm{余}\mathrm{切}:\frac{\mathrm{邻}\mathrm{边}}{\mathrm{对}\mathrm{边}}$
$\mathrm{正}\mathrm{割}:\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{\mathrm{斜}\mathrm{边}}{\mathrm{邻}\mathrm{边}};\mathrm{余}\mathrm{割}:\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{\mathrm{斜}\mathrm{边}}{\mathrm{对}\mathrm{边}}$

a: 对边
b: 邻边
c: 斜边

2. 同角三角函数的基本关系式

⭐

规律一：对角线互为倒数
规律二：相邻三项，中间项是两端的乘积
规律三：阴影三角，上面两式平方和等于下面顶点的平方

3. 特殊角度的三角函数值

(1) $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\tan \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$
(3) $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\tan \frac{\pi }{4}=1$

4. 三角函数的诱导公式

注：
$\sin x,\cos x\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}2\pi ;\tan x,\cot x\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}\pi$
$\sin x,\tan x,\cot x\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数};\cos x\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$

奇变偶不变，符号看象限

例题：
证明${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx$
定积分换元

5. 辅助角公式

记住这个公式⭐
$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$

5. 倍角公式

1. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
2. $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$
3. $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

升幂和降幂公式⭐
$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}1+2\cos x& =2\cos \frac{\pi }{2}& (\mathrm{升}\mathrm{幂})\\ {\cos }^{2}x& =\frac{1+\cos 2x}{2}& (\mathrm{降}\mathrm{幂})\end{array}$
$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\Rightarrow \{\begin{array}{ccc}1-\cos x& =2{\sin }^2\frac{\pi }{2}& (\mathrm{升}\mathrm{幂})\\ {\sin }^{2}x& =\frac{1-\cos 2x}{2}& (\mathrm{降}\mathrm{幂})\end{array}$

6. 万能公式（积分中的最后一招）

$t=\tan \frac{\pi }{2}$ 其实就是换元法
$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$

7. 求导公式

⭐

1. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(cos{)}^{\prime }=-\sin x$
2. $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
3. $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

可用六边形记忆
例题
求$\int {\tan }^{2}xdx.$
先平方，后求导

8.和差化积与积化和差公式
9.和角公式和差角公式
不常用，不记

P2 对数与指数的运算

指数运算

1. $a^m{a}^n=a^{m+n},\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
2. $(a^m{)}^n=a^{mn}$
3. $(ab{)}^m=a^m{b}^m$
4. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a}{)}^m,a>0$
5. $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}},a>0$

例题
求极限$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}.$

对数运算

1. ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$
2. ${\log }_a(\frac{M}{N})={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$
3. ${\log }_a{M}^b=b{\log }_{a}M$

例题
若$y=x^{\sin x},\mathrm{求}\frac{dy}{dx}.$