三角函数&对数指数笔记
Time: 2023-01-11 17:54:52
视频地址: 超全！三角函数、对数指数公式在考研中的运用
P1 三角函数的运算
1. 三角函数的定义
\(正弦: \sin \alpha =\frac{对边}{斜边};\qquad余弦: \frac{邻边}{斜边}\)
\(正切: \tan \alpha =\frac{对边}{邻边};\qquad余切: \frac{邻边}{对边}\)
\(正割: \sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha}=\frac{斜边}{邻边};\quad余割: \csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha}=\frac{斜边}{对边}\)
a: 对边
b: 邻边
c: 斜边
2. 同角三角函数的基本关系式
⭐
规律一：对角线互为倒数
规律二：相邻三项，中间项是两端的乘积
规律三：阴影三角，上面两式平方和等于下面顶点的平方
3. 特殊角度的三角函数值
(1) \(\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\quad \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(2) \(\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\quad \tan \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}\)
(3) \(\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad\tan \frac{\pi}{4}=1\)
4. 三角函数的诱导公式
注：
\(\sin x, \cos x周期为2\pi;\quad \tan x, \cot x周期为\pi\)
\(\sin x,\tan x,\cot x为奇函数;\quad \cos x为偶函数\)
奇变偶不变，符号看象限
例题：
证明\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\cos^nxdx\)
定积分换元
5. 辅助角公式
记住这个公式⭐
\(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)
5. 倍角公式
- \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
- \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)
- \(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)
升幂和降幂公式⭐
\(\cos 2x=2\cos^2x-1\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
1+2\cos x&=2\cos\frac{\pi}{2}&(升幂)\\
\cos^2x &=\frac{1+\cos2x}{2}&(降幂)
\end{matrix}\right.\)
\(\cos 2x=1-2\sin^2x\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
1-\cos x&=2\sin^2\frac{\pi}{2}&(升幂)\\
\sin^2x &=\frac{1-\cos2x}{2}&(降幂)
\end{matrix}\right.\)
6. 万能公式（积分中的最后一招）
\(t=\tan\frac{\pi}{2}\) 其实就是换元法
\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}\)
7. 求导公式
⭐
- \((\sin x)'=\cos x,\quad (cos)'=-\sin x\)
- \((\tan x)'=\sec^2x,\quad (\cot x)'=-\csc^2x\)
- \((\sec x)'=\sec x\tan x,\quad (\csc x)'=-\csc x \cot x\)
可用六边形记忆
例题
求\(\int\tan^2xdx.\)
先平方，后求导
8.和差化积与积化和差公式
9.和角公式和差角公式
不常用，不记
P2 对数与指数的运算
指数运算
- \(a^ma^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
- \((a^m)^n=a^{mn}\)
- \((ab)^m=a^mb^m\)
- \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m,a>0\)
- \(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}},a>0\)
例题
求极限\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}.\)
对数运算
- \(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)
- \(\log_a(\frac{M}{N})=\log_a M-\log_aN\)
- \(\log_a M^b=b\log_aM\)
例题
若\(y=x^{\sin x},求\frac{dy}{dx}.\)
