2023-01-03 18:05阅读: 950评论: 0推荐: 0

高等数学考点笔记

Date: 2023-01-03 18:02:50
这是我专升本时期的笔记，考研为了方便查阅故进行电子化整理

(1)考点：求函数的定义域

定义域：函数的自变量的取值范围

常见函数的定义域

\begin{matrix} \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ \sqrt[2 n]{x} & x \geq 0 \\ \log_{a} x (l n x) & x > 0 \\ \arcsin x, \arccos x & - 1 \leq x \leq 1 \\ \tan x & x \neq k π + \frac{π}{2} \\ \cot x & x \neq k π \end{matrix}

求抽象函数定义域

例题

已知函数 $f (1 - 2 x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为▁
❗ 类型 设函数 f(x) 的定义域为 $[0, 1]$ ，则函数 $f (x - 1)$ 的定义域为▁
解：[1,2]
将前后函数调换即可理解
已知函数 $f (3 - 2 x)$ 的定义域为 $(- 3, 4]$ ，则 $f (x)$ 的定义域为▁

(2)考点：判断两函数是否相同

须满足两个条件：定义域 相同, 对应法则 相同

下面函数相同的是( )
A. $y = \frac{x^{2}}{x}, y = x$
B. $y = \sqrt{x^{2}}, y = x$
C. $y = (\sqrt{x})^{2}, y = x$
D. $y = | x |, y = \sqrt{x^{2}}$

(3)考点：求函数表达式

例题

已知 $f (x) = 2 x$ ，则 $f (x + 1) = \underset{―}{}$
已知 $f (2 x) = 2 x + e^{2 x} + 1$ ，则 $f (x) = \underset{―}{}$
已知 $f (x + 1) = x^{2} + 2$ ，则 $f (x - 2) = \underset{―}{}$

(4)考点：函数的四种性质

单调性
奇偶性
有界性
周期性

单调性

利用导数判断
- $f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f (x)$ 单调递增
- $f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f (x)$ 单调递减

奇偶性

若 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 f(x) 为奇函数，关于原点对称
若 $f (- x) = f (x)$ ，则称 f(x) 为偶函数，关于 $y$ 轴对称

常见奇函数: $\sin x, \tan x, \cot x, \arcsin x, \arctan x, x^{2 n - 1}, \log_{a} (\sqrt{1 + x^{2}} \pm x)$
常见偶函数： $\cos x, | x |, x^{2 n}, 非零常数$
非奇非偶函数： $\arccos x$

运算性质

加减性质： $奇 \pm 奇 = 奇，偶 \pm 偶 = 偶，奇 \pm 偶 = 非奇非偶$
乘除性质： $奇 * 奇 = 偶，偶 * 偶 = 偶，奇 * 偶 = 奇$

已知函数 $f (x) = x^{8} - x^{4}$ ，则 $f (x)$ 是 ▁ 函数

有界性

若 $\exists M ，函数 | f (x) | < M ，则称 f (x) 有界$
常见有界函数: $\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \arcctg x$

若外层函数有界，则复合函数也有界

周期性
若 $f (x + T) = f (x)$ ，则称f(x)为周期函数，周期为T
常见周期函数：

\begin{matrix} \sin x, \cos x & T = 2 π \\ \tan x, \cot x & T = π \\ \sin (a x + b), \cos (a x + b) & T = \frac{2 π}{| a |} \\ \tan (a x + b), \cot (a x + b) & T = \frac{π}{| a |} \end{matrix}

已知函数 $f (x) = x^{8} - x^{4}$ ，则 f(x) 为▁函数

(5)考点：求反函数

❗ 类型 已知函数 $f (x) = x - 1$ ，则 f(x) 的反函数为？
反解 $x = f (x) + 1, x \in R$
则 $y = x + 1, x \in R$ (反函数定义域为原函数值域)

(6)考点：数列极限定义

若数列 { $a_{n}$ } 有极限 L，则称数列 { $a_{n}$ } 收敛于 L

设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = 1, 则 lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 2} + x_{n} + x_{n - 2}}{3} = \underset{―}{}$
1

(7)考点：函数极限定义

以下函数存在极限吗？
1. $lim_{x \to \infty} \arctan x$
2. $lim_{x \to \infty} \arcctg x$
3. $lim_{x \to \infty} e^{x}$
❗ 类型 求 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{1 + x} & x \geq 0 \\ 1 - x & x < 0 \end{matrix} ，在 x \to 0$ 的极限
看左右极限是否相等，若相等则为极限值，若不等则无极限
求函数 $lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x}$
求函数 $lim_{x \to 0} \arctan \frac{1}{x}$

(8)考点：极限的四则运算法则

设函数 $lim f (x) = A, lim g (x) = B$ ，则
$\begin{matrix} lim [f (x) \pm g (x)] = lim f (x) \pm lim g (x) = A + B \\ lim [f (x) * g (x)] = lim f (x) * lim g (x) = A * B \\ lim \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim f (x)}{lim g (x)} = \frac{A}{B} (B \neq 0) \end{matrix}$

求极限 $lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x - 3} - 1}$
遇到根号，先通分，再化简
求极限 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + x + 1}{5 x^{2} + 3 x + 2}$

(9)考点：抓大头求极限

当 $x \to \infty 时$ ，

lim_{x \to \infty} \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a x + a}{b_{m} x^{m} + b_{m - 1} x^{m - 1} + \cdot \cdot \cdot + b x + b} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{b_{n}} & n = m \\ 0 & n < m \\ \infty & n > m \end{matrix}

求函数
$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{5 x^{2}}$
$lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x^{2}}$
$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{5 x}$

(10)考点：加逼准则

求极限 $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}})$ 的值
$\frac{n}{n^{2} + n} \leq x \leq \frac{1}{n^{2} + n}$

(11)考点：单调有界准则

单调有界必有极限

(12)考点：两个重要极限

$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$lim_{x \to 0} (1 + ◻)^{\frac{1}{◻}} = e$

求极限 $lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x}}$
已知 $lim_{x \to \infty} (1 - \frac{3}{x})^{p x} = e^{- 2}, 则 p = \underset{―}{}$
求极限 $lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 3})^{\frac{x^{2} + 5}{2}}$

(13)考点：无穷小量*有界变量=无穷小量

若 $lim_{x \to ◻} f (x) = 0$ ，则称 $f (x) 是当 x \to ◻$ 时为无穷小量

无穷小量*有界变量=无穷小量

求极限 $lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = \underset{―}{}$
0 * 有界值

(14)考点：无穷小的比较

１.无穷小阶的概念

若 $α, β$ 在同一过程下的无穷小

$若 lim \frac{α}{β} = 0, 则称 α 是比 β 高阶的无穷小，记做 α = 0$
$若 lim \frac{α}{β} = \infty, 则称 α 是比 β 低阶的无穷小$
$若 lim \frac{α}{β} = c, 且 c \neq 0, 则称 α 与 β 是同阶的无穷小$
$若 lim \frac{α}{β} = 1, 则称 α 与 β 是等价的无穷小，记做 α \sim β$

2.等价无穷小代换 可直接看泰勒公式，所谓无穷小代换就是泰勒公式的展开式的简化

$若 α \sim α^{'}, β \sim β^{'}, 则 lim \frac{α}{β} = lim \frac{α^{'}}{β^{'}}$
注：只有乘除时可等价无穷小代换

例题

$当 x \to 时， f (x) 与 1 - \cos x 等价，则 lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x \sin x} = \underset{―}{}$
求极限 $lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{e^{x^{3}} - 1}$
泰勒简化 $e^{◻} - 1 = ◻$

(15)考点：函数的连续

若 $lim_{x \to ◻} f (x) = f (◻)$ ，则称 $f (x) 在点 ◻$ 连续

定理： 若 f(x), g(x) 连续，则它们的和、差、积、商也连续

若函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{e^{2 a x} - 1}{x} & x \neq 0 \\ a + 1 & x = 0 \end{matrix}$ 在x=0处连续，则a= $\underset{―}{}$

(16)考点：函数的间断点

定义：不连续的点 [ 连续 $lim_{x \to x^{0}} f (x) = f (x_{0})$ ]
分类

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点
- 极限存在但不等于该点函数值
- 极限存在但该点无定义
跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）

无穷间断点：左右极限至少有一个为 $\infty$
振荡间断点： $y = \sin \frac{1}{x} 在 x = 0 处间断， y = \cos x, y = \sin^{2} \frac{1}{x}$

例题

设函数 $y = \frac{x^{2} - 4}{x (x - 2)} ，则 x = 0 是函数的 ▁ 间断点 .$
看着里 $= \infty$
设 $x = 0 是函数 f (x) = \arcsin \frac{1}{x} 的 ▁ 间断点 .$

(17)考点：利用零点定理证明根的存在

零点定理

若函数 $f (x) 在区间 [a, b] 上连续$ ，且 $f (a) * f (b) < 0$ ，则在区间上必有一个点 $ξ ，使 f (ξ) = 0$

(18)考点：函数的导数

定义
导数的定义

$可导 \Rightarrow 连续$

例题

设函数 $f (x) 在 x = 1 处可导，则 lim_{x \to 0} \frac{f (1 + 2 x) - f (1 - x)}{x} = ▁ .$
= $\frac{f (1 + 2 x) - f (1) + f (1) - f (1 - x)}{x}$
= $2 f (1) + \frac{f (1 - x) - f (1)}{- x}$

(19)考点：求切、法线方程

切线方程: $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
法线方程: $y - y_{0} = - \frac{1}{f^{'} (x_{0})} (x - x_{0})$
$f^{'} (x_{0}) 是 f (x) 在点 (x_{0}, f (x_{0}))$ 处的斜率

例题

求曲线 $y = \ln x$ 在点 (1,0) 处的切线方程。
解：
$y - 0 = f^{'} (1) (x - 1) f^{'} (1) = 1 \to y = x - 1$
求曲线 $y = \frac{1}{x}$ 在点 (1,1) 处的法线方程
解：
$y - 1 = - \frac{1}{f^{'} (1)} (x - 1) f^{'} (1) = - 1 \to y = x$

(20)考点：导数公式及求导法则

一基本初等函数求导公式

$c^{'} = 0$ （c 为常数）
$(x^{a})^{'} = a x^{a - 1}$ （a 为任意实数）
$(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x \ln a}$
$(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$
$(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(\sin x)^{'} = \cos x$
$(\cos x)^{'} = - \sin x$
$(\tan x)^{'} = \sec^{2} x$
$(\cot x)^{'} = - \csc^{2} x$
$(\sec x)^{'} = \tan x \sec x$
$(\csc x)^{'} = - \cot x \csc x$
$(\arcsin x)^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$(\arccos x)^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$(\arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}$
$(a r c c o t x)^{'} = - \frac{1}{1 + x^{2}}$ ???敲 arccot 直接报错

二求导法则

$(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$
$(c u)^{'} = c u^{'}$ （c 为常数）
$(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} (u v w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + u v w^{'}$
$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

例题

$求导 y = x^{2} \sin x$
$求导 y = \frac{2 x + 1}{x^{2} + 3}$

(21)考点：求复合函数的导数

$y = \sin x^{2}$

一般解题方式

利用求导法则进行解题 ${f [u (x)]}^{'} = f^{'} [u (x)] + u^{'} (x)$

例题

从外向内求导即可

求导数 $y = \sin^{2} x$
求导数 $y = \ln \sin (1 - 2 x)$
求导数 $y = \ln \sqrt{x}$

(22)考点：求高阶导数

求 n 阶导的一般方法

写出 f(x)的前几阶导数，总结规律，求出 n 阶导。

常见的高阶导数

$(e^{x})^{n} = e^{x} (e^{a x + b})^{(n)} = a^{n} e^{a x + b} (a^{x})^{(n)} = (\ln a)^{n} a^{x}$
$(x^{n})^{(n)} = n! (x^{n})^{(n + 1)} = 0$
$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{n π}{2}) (\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac{n π}{2})$

例题

设函数 $f (x) = x^{3} + 3^{x}, 则 f^{(4)} (0) = ▁ .$

多做这种题，总结规律

(23)考点：求隐函数的导数

$y = 1 - x^{2} - \sin y$

一般解法

根据 x 求出 y 的值
等式两边求导，代入 x,y ,求出导数的值。

例题

设由方程 $e^{y} - x y^{2} = e^{2} 确定的函数 y = y (x), 求 \frac{d y}{d x} |_{x = 0} .$
解：
将 x=0 代入原方程得 $y = 2$
方程两边同时对 x 求导， $e^{y} y^{'} - (y^{2} + x 2 y y^{'}) = 0$
代入 x,y 的值， $∴ \frac{d y}{d x} |_{x = 0} = \frac{4}{e^{2}}$

(24)考点：求幂指函数的导数

$y = x^{x}$

一般方法

将 $y = A^{B} 的形式化成 e^{\ln A B} 的形式即可$

例题

求 $y = x^{\sin x}$ 的导数。

(25)考点：求由参数方程确定函数的导数

${\begin{matrix} x = α (t) \\ y = β (t) \end{matrix}$

一般解题方式

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} = \frac{α (t)^{'}}{β (t)}$
用 x,y 对 t 进行求导，再将等式对 t 二次求导。

例题

❗ 类型 设参数方程 ${\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = 3 t^{2} - 1 \end{matrix}$ 所确定的函数 y(x) ,则 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = ▁ .$
(求到参数方程二阶导) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{二阶导}{d x / d t}$

(26)考点：求微分

$d y = f^{'} (x) d x$

例题设函数 $y = \cos e^{x}$ , 求 dy

(27)考点：近似计算

❗ 类型 计算 $\sqrt{1.05} 的值。$
原式= $f (1.05) \sim f (1) + f^{'} (1) (1.05 - 1)$ = $1 + \frac{1}{2} * 0.05$
$f (x) = \sqrt{x}$
使用此公式 $f (x) \sim f (x_{0}) + f^{'} (x) (x - x_{0})$

(28)考点：罗尔定理

定义设 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，f(a)=f(b),则 $\exists ξ \in (a, b) ， f^{'} (ξ) = 0$

(29)考点：拉格朗日中值定理

定义设 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导，f(a)=f(b),
则 $\exists ξ \in (a, b) ， f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，即 $f (b) - f (a) = \frac{f^{'} (ξ) (b - a)}{b - a}$

有机会一定推一下这个定理

(30)考点：洛必达法则

设函数 $lim f (x) = 0, lim g (x) = 0, 且 f (x), g (x) 可导, g (x) \neq 0$
则 $lim \frac{f (x)}{g (x)} = lim \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} = A$

就是碰到 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ 型，对上下同时求导

求极限 $lim_{x \to 0} [\frac{1}{x} - \frac{1}{\ln (1 + x)}]$
求极限 $lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin x}$
求极限 $lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (e^{x} - 1)}{\sqrt{1 + \tan x} - \sqrt{1 + x}}$

(31)考点：函数的单调性

定义

$\exists x_{1} < x_{2}, \begin{matrix} 若 f (x_{1}) < f (x_{2}) ，则称 f (x) 单调递增 \\ 若 f (x_{1}) > f (x_{2}) ，则称 f (x) 单调递减 \end{matrix}$

判断

$\begin{matrix} f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f (x) 单调递增 \\ f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f (x) 单调递减 \end{matrix}$

求单调区间

$\begin{matrix} 单调增区间 f^{'} (x) > 0 与定义域的交集 \\ 单调减区间 f^{'} (x) < 0 与定义域的交集 \end{matrix}$

❗ 类型 求函数 $y = 2 x^{2} - \ln x$ 的单调增区间
求 y'>0 时x的取值范围
求导 $y^{'} = 4 x - \frac{1}{x} > 0$
$\Rightarrow 4 x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x^{2} > \frac{1}{4} \Rightarrow x > \frac{1}{2}, x < - \frac{1}{2}$

(32)考点：函数的极值问题

若函数 f(x) 在 x₀ 的一个邻域 D 有定义，且对 D 中除 x₀ 的所有点，都有 f(x) < f(x₀)，则称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值。

百度百科
图像如下

驻点是f'(x) = 0的点
一段区间内，极值可以有多个，最值只能有一个，极值是f'(x)=0，变化率为0，斜率即将逆转的点，f''(x)=0为，变化率的趋势即将逆转的点。

如何求极值？

求出全部驻点和 不可导点
利用极值的判定条件，判断是否为极值点
求出各极值点的函数值

如何判断驻点为极值点？

判断一阶导数驻点左右导数值的正负
左+右-是极大值点，左-右+是极小值点，左右不变号，则不是极值点。
求驻点的二阶导数值
- $> 0$ ,驻点为极小值点
- $< 0$ ,驻点为极大值点，
  麻烦的是驻点的二阶导数值=0时，有可能不是极值点，这时要通过更高阶的导数值来判断
  例题
❗ 类型 求函数 $f (x) = x + \frac{1}{x + 1}$ 的极值
解：
(一) 求导 $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1)^{2}} = \frac{x (x + 2)}{(x + 1)^{2}}$ ,
由于 $f^{'} (x) = 0$ ，所以驻点 $x_{1} = 0, x_{2} = - 2$
(二) 求二阶导，判断正负 $f^{″} (x) = \frac{2}{(x + 1)^{2}}$
(三) 代入比较各极值点的函数值
极小值 f(0) = 1,极大值 f(-2) = -3

(33)考点：函数的最值问题

求闭区间上连续函数的最值

求出区间上的 全部驻点 和 不可导点
求出各驻点、不可导点、区间端点的函数值
比较函数值，求出最值

例题❗ 类型 求函数 $y = x + 2 \cos x 在区间 [0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值
解：
(一) 求导
$y^{'} = 1 - 2 \sin x, 由于 y^{'} = 0 ，得驻点 x = \frac{π}{6} ，无不可导点$
(二) 代入求出各点的函数值
$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos \frac{π}{6} = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$
$f (0) = 0 + 2 \cos 0 = 2$
$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 2 \cos \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$
(三) 比较函数值，求出最值
$最小值 f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}, 最大值 f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$
$π 的值为 3.14 ， \sqrt{3} = 1.73$

应用题求最值

例题❗ 类型靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定面积为 $64 m^{2}$ 的情况下，问增加的三面墙各长多少时，总长最小
建立目标函数，设长为 x，则宽为 $\frac{64}{x}$ 总长 $y = 2 x + \frac{64}{x}$

(34)考点：曲线的凹凸性和拐点

求凹凸区间

凹区间： $f^{″} (x) > 0$ 与定义域的交集
凸区间： $f^{″} (x) < 0$ 与定义域的交集

求曲线 $y = x^{4} - 24 x^{2} + 6 x$ 的凹凸区间

求拐点

拐点的 $f^{″} (x) = 0$ 或二阶导不存在
拐点两侧二阶导异号
拐点是凹凸区间分界点

例题❗ 类型已知 $(0, 1) 是曲线 y = x^{3} + b x^{2} + c$ 的拐点，则b=▁，c=▁
代入点求出 c=1
$y^{'} = (3 x^{2} + 2 b x) = 0, y^{″} = 6 x + 2 b = 0 ∴ b = 0$

(35)考点：求曲线的水平渐近线，垂直渐近线

若 $lim_{x \to + \infty, - \infty, \infty} f (x) = A, 则 y = A$ 为函数 f(x) 的一条水平渐近线

若 $lim_{x \to + x_{0}^{+}, x_{0}^{-}, \infty} f (x) = A, 则 x = x_{0}$ 为函数 f(x) 的一条垂直渐近线

求水平渐近线：算出 $lim_{x \to + \infty} f (x), l i m_{x \to - \infty} f (x)$ 是否有值
求垂直渐近线：算出 $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 是否有值

求曲线 $y = \frac{e^{x}}{x}$ 的水平渐近线和垂直渐近线

(36)考点：原函数和不定积分的概念和性质

若 $F^{'} (x) = f (x)$ ，则称 $F (x)$ 为函数 $f (x)$ 的原函数，记为 $F (x) = \int f (x) d x$

❗ 注：
1. 若有原函数，则有无穷多个原函数
2. 全部原函数可表示为 F(x)+c
3. 任两个原函数之间差一个常数

若 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 $\int f (x) d x = F (x) + c$

例题

例题❗ 类型设 $e^{x^{2}} 为 f (x) 的一个原函数，则 \int e^{- x^{2}} f (x) d x = \underset{―}{}$
解：
$f (x) = (e^{x^{2}})^{'} = e^{x^{2}} 2 x$
原式 = $\int e^{- x^{2}} (e^{x^{2}} 2 x) d x = x^{2} + c$

不定积分的性质

线性性质 $\int [α f (x) \pm β g (x)] d x = α \int f (x) d x \pm β \int f (x) d x$
积分计算与微分计算互逆
例题❗ 类型已知 $\int d [e^{- x} f (x)] = \int e^{x} d x$ ，且 f(0) = 0，则 f(x) = ▁
$\int d x$ ，x 为外层现在的积分变量
原式= $e^{- x} f (x) = e^{x} + c$

(37)考点：基本积分公式

就是求导公式的逆运算 + 常数项 c

求定积分 $\int \frac{\cos 2 x}{\cos x - \sin x} d x$
$\cos 2 x = ?$

看这里

(38)考点：凑微分法

凑微分
换元
套公式还原

例题

❗ 类型求定积分 $\int \frac{1}{2 x + 1} d x$

凑微分 = $\int \frac{1}{2 x + 1} d (2 x + 1) * \frac{1}{2}$
换元 = $\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d (t) = \frac{1}{2} \ln | t | + c$
还原 = $\frac{1}{2} \ln | 2 x + 1 | + c$
求定积分 $\int \frac{\arctan x}{1 + x^{2}} d x$

(39)考点：第二类换元法

根式代换

令简单根式 $\sqrt[n]{a x + b} = t$

求定积分 $\int \frac{d x}{1 + \sqrt{x}}$

含有多个根式 $\sqrt[m]{a x + b}, \sqrt[n]{a x + b}, 令 \sqrt[L]{a x + b} = t$ (L为m,n的最小公倍数)

求定积分 $\int \frac{d x}{(1 + \sqrt[2]{x}) \sqrt{x}}$

三角代换 看一下这个链接

当 $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ 令 $x = a \tan t$

求定积分 $\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{1 + x^{2}}}$

当 $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ 令 $x = a \sin t$

求定积分 $\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

当 $\sqrt{x^{2} - a^{2}}$ 令 $x = a \sec t$

求定积分 $\int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} - 1}}, (x > 1)$

(40)考点：分部积分法

使用题型： 当被积函数为两类不同函数的乘积时，可以使用
适用于初等函数：反函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数
$\int u v^{'} d x = \int u d v = u v - \int v d u$
例题

求定积分 $\int x e^{x} d x$
求定积分 $\int x \cos x d x$
❗ 类型 求定积分 $\int [e^{2 x} + \ln (1 + x)] d x$

原式= $\int e^{2 x} d x + \int \ln (1 + x) d x$
= $\int e^{2 x} d (2 x) \frac{1}{2} + x \ln x - \int x d \ln (1 + x)$
= $\frac{1}{2} e^{2 x} + x \ln x - \int \frac{x}{1 + x} d x$
= $\frac{1}{2} e^{2 x} + x \ln x - \int (1 - \frac{1}{1 + x}) d x$
= $\frac{1}{2} e^{2 x} + x \ln x - x + \ln | 1 + x | + c$

(41)考点：定积分的概念和性质

a=b时， $\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$
$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

❗ 类型求定积分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$
$y = \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1$
图像为一半径为1的圆

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 存在
$可导 \Rightarrow 连续 \Rightarrow 可积$

定积分的性质

线性性质： $\int_{a}^{b} [α f (x) \pm β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x \pm β \int_{a}^{b} g (x) d x$
区间可加性： $\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x$
$\int_{a}^{b} 1 d x = b - a$
保号性：当 $f (x) \geq 0$ 时, $则 \int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0, (a < b)$
估值定理：设 M,m 为 f(x) 在区间[a,b]上的最大值和最小值，则
$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a)$
中值定理：若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\exists c \in (a, b)$ 使得 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int (c) (b - a)$
函数 f(x) 在 [a,b] 上的平均值为 $f (c) = \frac{\int_{a}^{b} f (x) d x}{b - a}$

例题

比较定积分 $\int_{0}^{1} x^{3} d x$ 和 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$
❗ 类型 函数 $y = x^{2}$ 在区间 [1,3] 上的平均值为多少
原式= $\frac{\int_{1}^{3} x^{2} d x}{3 - 1} = \frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3} |_{1}^{3} =$

(42)考点：积分上限函数

$[\int_{β (x)}^{α (x)} f t d t]^{'} = f [α (x)] α^{'} (x) - f [β (x)] β^{'} (x)$

❗ 类型 设 f(x) 连续，且 $\int_{0}^{x^{3}} f (t) d t = x, 则 f (27) =$ ▁
??? ???没看太明白，先跳过
求极限 $lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} \sin 2 t d t}{x^{4}}$
$\int_{0}^{x^{2}} \sin 2 t d t = f (x^{2}) * 2 x, f (x^{2}) = \sin 2 x^{2}$
求极限 $lim_{x \to 0} \frac{x}{1 - e^{x^{2}}} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$

(43)考点：牛顿-莱布尼茨公式

若 F(x) 是连续函数 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) |_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

例题

❗ 类型 求定积分 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$
= $\frac{x^{3}}{3} |_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0$
求定积分 $\int_{- 1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

(44)考点：定积分的换元法

定积分的对称性

\int_{- a}^{a} f (x) d x = {\begin{matrix} 0 & f (x) 为 奇 函 数 \\ 2 \int_{0}^{a} f (x) d x & f (x) 为 偶 函 数 \end{matrix}

例题

❗ 类型 设函数 f(x) = ${\begin{matrix} e^{x} & x \geq 0 \\ x^{2} & x < 0 \end{matrix} 则 \int_{0}^{2} f (x - 1) d x =$ ▁
令 $t = x - 1, 则 x = t + 1$
原式= $\int_{- 1}^{1} f (t) d t$
= $\int_{- 1}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{1} f (t) d t$
= $\int_{- 1}^{0} t^{2} d t + \int_{0}^{1} e^{t} d t$
= $\frac{t^{3}}{3} |_{- 1}^{0} + e^{t} |_{0}^{1}$
求定积分 $\int_{- π}^{π} x^{2} \sin x d x$
求定积分 $\int_{- 1}^{1} \frac{1 + \sin x}{1 + x^{2}} d x$

(45)考点：定积分的分部积分法

\int_{a}^{b} u d v = \int u d v = u v |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u

例题

❗ 类型 求定积分 $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$
= $\int_{0}^{1} x d (e^{x})$
= $x e^{x} |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x$
= $e^{1} - 0 - e^{x} |_{0}^{1}$
求定积分 $\int_{0}^{1} x e^{\sqrt{x}} d x$

(46)考点：无穷区间上的广义积分

$\int_{a}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{p}} ∴ {\begin{matrix} P \leq 1 & 发散 \\ P > 1 & 收敛 \end{matrix}$
注❗
(1) P=分母的最高次幂-分子的最高次幂
(2) $\int_{e}^{+ \infty} \frac{d x}{x (\ln x)^{P}} ∴ {\begin{matrix} P \leq 1 & 发散 \\ P > 1 & 收敛 \end{matrix}$

❗ 类型 求广义积分 $\int_{0}^{+ \infty} \cos x d x$
= $- \sin x |_{0}^{+ \infty}$
$lim_{x \to + \infty} \sin x$ 不存在，故发散
求广义积分 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$
求广义积分 $\int_{e}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt[3]{\ln x}} x d x$

(47)考点：无界函数的广义积分

求广义积分 $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x$
下列广义积分收敛的是 ( )
A. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{x}}$
B. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x}$
C. $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x \sqrt{x}}$
D. $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x \sqrt{x}}$

(48)考点：求平面图形的面积

求平面图形的面积

$S = \int_{a}^{b} (上 - 下) d x$

$S = \int_{c}^{d} (右 - 左) d x$

例题 ❗ 类型 由曲线 $y = \sin x (0 \leq x \leq π)$ 与 x 轴所组成的面积为▁
先画出图形，判断面积情况
$S = \int_{0}^{π} \sin x d x = - \cos x |_{0}^{π}$

(49)考点：求旋转体的体积

平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积

$V_{x} = π \int_{a}^{b} (上^{2} - 下^{2}) d x$

平面图形绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积

$V_{y} = π \int_{c}^{d} (右^{2} - 左^{2}) d y$

例题 ❗ 类型 曲线 $y = x^{3} (x \geq 0)$ , 直线 $x + y = 2$ 以及 y 轴围成一平面图形 D，试求平面图形 D 绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积▁
先画出图形，判断面积情况
$∵$ 绕y轴一周， $∴ V = π \int_{0}^{1} (y^{\frac{1}{3}})^{2} d y + \frac{1}{3} π * 1^{2} * 1$
求圆锥体积： $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

这个求通解特解部分看的迷糊

(50)考点：常微分方程的基本概念

含有 未知函数 或 微分 的方程称为微分方程
若未知函数是 一元函数 ，则称为常微分方程
若未知函数是 多元函数 ，则称为偏微分方程

通解： 含有相互独立不能合并的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相等的解
特解：不含任意常数的解

例题函数 $y = c \sin x$ (其中 c 为任意常数)是微分方程 $y^{″} + y = 0$ 的（）
A. 通解
B. 特解
C. 任意解
D. 无解
$- c \sin x + c \cos x = 0$

(51)考点：可分离变量的常微分方程

$f (y) d y = g (x) d x$

解法

分离变量，化为标准形式
两边同时积分

求方程 $\sec^{2} x \tan y d x + \sec^{2} y \tan x d y = 0$ 的通解
求微分方程 $d y - 2 x y^{2} d x = 0$ 满足条件 $y (1) = - 1$ 的特解

(52)考点：齐次方程

$y^{'} = f (\frac{y}{x})$

化为标准形式
换元令 $u = \frac{y}{x}$ ，代入方程消去 y
化为 x 与 u 的可分离变量的微分方程，求解

例题

求方程 $x y^{'} - x \sin \frac{y}{x} - y = 0$ 的通解

(53)考点：一阶线性方程

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

解法

化为标准形式
套公式 $y = e^{- \int P (x) d x} (\int Q (x) e^{\int P (x) d x} + c)$
- 在此公式中，解不定积分时，不加绝对值，也不加任意常数 c
  例题

求方程 $x y^{'} - y = x^{3}$ 的通解

(54)考点：可降阶的高阶方程

$y^{(n)} = f (x)$
做 n 次不定积分
$y^{″} = f (x, y^{'})$
1. 令 $y^{'} = P$ ，两边对 x 求导，
2. 然后代入元方程，转化为一阶微分方程求解
$y^{″} = f (y, y^{'})$
1. 令 $y^{'} = P$ ，两边对 x 求导 $y^{″} = \frac{d P}{d x} * \frac{d y}{d x} = P \frac{d p}{d y}$ ，
2. 然后代入元方程，转化为一阶微分方程求解

求微分方程 $x y^{″} + y^{'} = 4 x$ 的通解
求微分方程 $y y^{″} - (y^{'})^{2} = 0$ 的通解

(55)考点：二阶常系数齐次线性微分方程

$y^{″} + p y^{'} + q y = 0$

求通解

写出特征方程 $r^{2} + p r + q = 0$
求出特征根 $r_{1}, r_{2}$
写出通解形式

${\begin{matrix} 不同实根 r_{1} \neq r_{2} & y = c_{1} e^{r_{1} x} + c_{2} e^{r_{2} x} \\ 重根 r_{1} = r_{2} = r & y = c_{1} e^{r x} + c_{2} x e^{r x} \\ 共轭复根 r_{12} = α \pm β i & y = e^{α x} (c_{1} \cos β x + c_{2} \sin β x) \end{matrix}$

求微分方程 $y^{″} - 4 y = 0$ 的通解
❗ 类型 求微分方程 $2 y^{″} + 4 y^{'} + 3 y = 0$ 的通解
$2 r^{2} + 4 r + 3 = 0$
$r = - 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} i$
$y = e^{- x} (c_{1} \cos \frac{\sqrt{2}}{2} x + c_{2} \sin \frac{\sqrt{2}}{2} x)$

已知通解，求微分方程

求以 $y = c_{1} e^{- 3 x} + c_{2} x e^{- 3 x}$ 为通解的二阶常系数齐次微分方程
- r=-3
- $(r + 3)^{2} = 0, r^{2} + 6 r + 9 = 0$
- $y^{″} + 6 y^{'} + 9 y = 0$

(56)考点：二阶常系数非齐次线性微分方程

齐次： $y^{″} + p y^{'} + q y = 0$
非齐次： $y^{″} + p y^{'} + q y = f (x)$

若 Y 是齐次的通解， $y^{*}$ 是非齐次的特解，则 $Y + y^{*}$ 为非齐次的通解

求非齐次的特解

若 $f (x) = P_{n} (x) e^{λ x}$ ，特解形式应设为 $y^{*} = x^{k} Q_{n} (x) e^{λ x}$
其中 ${\begin{matrix} 0 & λ 不是特征根 \\ 1 & λ 是单根 \\ 2 & λ 是双根 \end{matrix}$

算出齐次方程中的 r
对照 $e^{λ x}$ 中的 $λ$ 是不是特征根
写出 k 的值，写出一般式
将 $e^{λ x} 抄写下来$
写出非齐次方程特解 $y^{*}$

微分方程 $y^{″} + y^{'} - 2 y = x e^{- x}$ 的特解用待定系数法可设为▁
微分方程 $y^{″} - 2 y = x^{2}$ 的特解用待定系数法可设为▁
微分方程 $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = e^{- x} \cos x$ 的特解用待定系数法可设为▁
- $r^{2} + 3 r + 2 = 0, (r + 1) (r + 2) = 0$
- $r_{1} = - 1, r_{2} = - 2$
- $λ = - 1, 不是特征根， ∴ k = 0$
- $y^{*} = x^{0} (A \cos x + B \sin x) e^{- x}$

求非齐次的通解

求出其对应的齐次方程的通解 $Y$
利用待定系数法求出非齐次方程的特解 $y^{*}$
写出非齐次方程的通解 $y = Y + y^{*}$

求微分方程 $2 y^{″} + y^{'} - y = 3 e^{x}$ 的通解

(57)考点：空间直角坐标系

空间直角坐标系
三个坐标轴 $x, y, z$ 互相垂直，且 $x, y, z$ 三个轴的原点重合

两点间的距离
$\frac{M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})}{| M_{1} M_{2} | = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}}}$

(58)考点：向量的概念

向量：有大小和方向的量
向量的表示方法：

坐标表示： $\vec{a} (a_{x}, a_{y}, a_{z})$
- 已知 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1}), B (x_{2}, y_{2}, z_{2}), 则 \vec{A B} (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$
向量表示：分别为沿坐标轴 $x, y, z$ 正向的单位向量，
即 $\vec{i} = (1, 0, 0), \vec{j} = (0, 1, 0), \vec{k} = (0, 0, 1)$
向量的模： $| \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}$
向量单位：模长为 1 的量
单位化： $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$
方向角与方向余弦
- 方向角：非零向量 $\vec{a}$ 与三条坐标轴的夹角 $α, β, δ$ 称为 $\vec{a}$ 的方向角， $α, β, δ \in (0, π)$
- 方向余弦
  - $\cos α = \frac{a_{x}}{| \vec{a} |}, \cos β = \frac{a_{y}}{| \vec{a} |}, \cos δ = \frac{a_{z}}{| \vec{a} |}$
  - $\cos^{2} α + \cos^{2} β + \cos^{2} δ = 1$

例题

❗ 类型 向量 $\vec{a} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} - \vec{k} 的模 | \vec{a} |$ =▁
$\vec{a} = (3, 4, - 1)$ 求 $| \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + (- 1)^{2}}$
❗ 类型 已知两点 $A (2, 2, \sqrt{2}), B (1, 3, 0)$ ，求向量 $\vec{A B}$ 的模、方向角和方向余弦
模 $\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (- 1, 1, - \sqrt{2}) ， | \vec{A B} | =$
方向余弦 $\cos α = \frac{- 1}{| \vec{A B} |}, \cos β = \frac{1}{| \vec{A B} |} \cos δ = \frac{- \sqrt{2}}{| \vec{A B} |}$
方向角 $α = ?$
一组方向角 $\frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{3}$ 可以作为向量吗
利用方向余弦 =1 证明

(59)考点：向量的线性运算

向量的加法与数乘

向量加法： $\vec{a} + \vec{b} = (a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}, a_{z} + b_{z})$
数乘： $k \vec{a} = (k a_{x}, k a_{y}, k a_{z}), k \vec{a} 与 \vec{a} 平行$
- 定理： $\vec{a} / / \vec{b} \Rightarrow \vec{b} = k \vec{a} \Rightarrow \frac{b_{x}}{a_{x}} = \frac{b_{y}}{a_{y}} = \frac{b_{z}}{a_{z}}$

例题

已知向量 $A (5, x, - 2), B (y, 6, a)$ 平行，则 x 和 y 的值分别为▁

(60)考点：向量的数量积（点积，内积）

定义： $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ$
两向量的夹角余弦 $\cos θ = \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$
计算： $\vec{a} * \vec{b} = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$
性质
1. $\vec{a} * \vec{a} = | \vec{a} |^{2}$
2. $\vec{a} * \vec{b} = \vec{b} * \vec{a}$
充要条件： $\vec{a} * \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$

例题
❗ 类型 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1, 2), \vec{b} = (2, 0, 1)$ 的夹角为 ▁
用的是两向量的夹角余弦、向量的数量积计算、模的计算

不明白，记录错误

(61)考点：向量的向量积（叉积，外积）

向量积计算： $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$

例题

❗ 类型 已知点 $A (4, - 1, 2), B (1, 2, - 2), C (2, 0, 1)$ ，求三角形ABC的面积
求 $\vec{A B} * \vec{A C} = | \begin{matrix} i & j & k \\ - 3 & 3 & - 4 \\ 2 & 1 & - 4 \end{matrix} |$ ，
$S_{△ A B C} | \vec{A B} * \vec{A C} |$

(62)考点：向量 a 在向量 b 上的投影

$\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影：
$\vec{a} * {\vec{b}}^{0} = | \vec{a} | \cos θ = \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{b} |}$

向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2) 在向量 \vec{b} = (0, 3, 4)$ 上的投影为▁

(63)考点：空间平面方程

平面的点发式方程： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) + D = 0$
- 例题：过点 $A (1, 2, 3)$ ，以 $\vec{n} = (1, 1, 1)$ 为法向量的平面方程为▁
平面的一般式方程： $A x + B y + C z + D = 0$
特殊的平面方程：
1. $D = 0, π$ 过原点(0,0,0)
2. $C = 0, π / / z 轴$
3. $C = D = 0, π 过 z 轴$
4. $B = C = 0, π / / y 0 z 平面$
- 例题：求通过 x轴和点 $A (1, 2, 3)$ ，以 $\vec{n} = (1, 1, 1)$ 的平面方程
平面的截距式方程： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (a,b,c 在 x,yz 轴上的截距)
平面方程的求法
- 点法式法
  1. 确定平面上的一点 (x,y,z)
  2. 求出平面的一法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$
  3. 代入点法式方程，化简为一般式方程
- 待定系数法
  1. 设处所求方程
  2. 将已知点的坐标代入方程，解方程
  3. 回代，化简求出方程

例题：

一平面过点 $(1, 2, 3)$ ，且平行于向量 $\vec{a} = (2, 1, - 1)$ 和 $\vec{b} = (1, - 1, 2)$ ，求此平面方程
过 0z 轴及点 (3,-2,4) 的平面方程为▁

(64)考点：两平面的位置关系

❗ 类型 已知平面 $π_{1} : x + 2 y - 5 z + 8 = 0$ 与平面 $π_{2} : 4 x + 3 y + m z + 1 = 0$ 垂直，求 m=▁
先写出法向量 $\vec{n_{1}} = (1, 2, - 5), \vec{n_{2}} = (4, 3, m)$
两平面垂直，即 $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0 ∴ 4 + 6 - 5 m = 0$

(65)考点：点到平面的距离

点到平面的距离

点 M 到平面 $π : A x + B y + C z + D = 0$ 的距离为 $d = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

例题：点 M(3,2,-1) 到平面 $π : x + y + z - 1 = 0$ 的距离为▁

两平面的距离

平面 $π_{1} : A x + B y + C z + D_{1} = 0, π_{2} : A x + B y + C z + D_{2} = 0$ 的距离为 $d = \frac{| D_{1} - D_{2} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

(66)考点：空间直线方程

直线的一般方程
L= ${\begin{matrix} A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0 \\ A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 \end{matrix}$
直线的点向式方程 $\frac{x - x_{0}}{m} = \frac{y - y_{0}}{n} = \frac{z - z_{0}}{p}$
- 例题：过点 (4,-1,3) 且平行于直线 $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{5}$ 的直线方程为▁
  写出直线的平行向量？？？

(71)考点：多元函数的概念

已知 $f (x, y) = \frac{x y}{x^{2} + y}$ ，则 $f (x y, \frac{x}{y})$ =▁
往里代即可
已知 $f (x + y, x y) = x^{2} + y^{2}$ ，则 $f (x, y)$ =▁
凑出自变量的形式 $f (x + y, x y) = (x + y)^{2} - 2 x y$

(72)考点：二元函数的极限

求二元函数的极限，除洛必达不可用，其他都可以用

证明 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 不存在
题型：求极限 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{3 - \sqrt{x y + 9}}{x y}$
原式= $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{(3 - \sqrt{x y + 9}) (3 + \sqrt{x y + 9})}{x y (3 + \sqrt{x y + 9})}$
= $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{9 - (x y + 9)}{x y * 6}$
= $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{- x y}{6 x y}$
求极限 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sqrt{x y + 1} - 1}{x y}$

(73)考点：二元函数的连续性

讨论函数 $f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix}$ ，在点 $(0, 0)$ 的连续性
讨论函数 $f (x, y) = {\begin{matrix} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix}$ ，在点 $(0, 0)$ 的连续性

(74)考点：偏导数的概念

🌠

设函数 $f (x, y) = {\begin{matrix} y \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}} & x^{2} + y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix}$ ，试求 f(x,y) 在点 $(0, 0)$ 的偏导数
设函数 f(x,y) 在点 $(0, 0)$ 有偏导数则 $lim_{n \to 0} \frac{f (a + n, b) - f (a - n, b)}{n}$ =▁
若 $z = x^{y}, 则 \frac{ϑ z}{ϑ y} |_{(e, 1)}$ =▁
若 $z = x^{2} y + e^{1 - x} \sqrt{x y^{3} + 2} \tan \sqrt{\frac{y}{x}}, 则 \frac{ϑ z}{ϑ x} |_{(1, 0)}$ =▁

高阶偏导数

已知函数 $z = 2 x^{2} + 3 x y - y^{2}, 则 \frac{ϑ^{2} z}{ϑ x ϑ y}$ =▁

(75)考点：全微分的概念

已知函数 $z = e^{x^{2} + 2 y - y^{2}}$ ，求全微分 dz
已知函数 $z = \ln (x^{2} + y^{2})$ ，求全微分 $d z |_{(1, 1)}$ =▁

(76)考点：复合函数的偏导数

设函数 $z = f (e^{x} \sin y, 3 x^{2} y)$ ，且 f(u,v)为可微函数，求 dz =▁

(77)考点：隐函数的偏导数

已知函数 $z = f (x, y)$ 由方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$ 所确定，求全微分 $d z$ =▁

(78)考点：方向导数与梯度

求方向导数

函数 $u = s y z$ 在点 (1,1,1) 处沿该点到点 (1,2,2) 方向的方向导数为▁

求梯度

设函数 $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} ，则 g r a d f (1, - 1, 2)$ =▁

方向导数与梯度的关系

函数 $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 在点 (1,1,1) 处方向导数的最大值=▁

(79)考点：偏导数的几何应用

求曲线 $x = \frac{t}{1 + t}, y = \frac{1 + t}{t}, z = t^{2}$ 在对应于 $t = 1$ 的点的切线方程及法平面方程
求曲线 $z = x^{2} + y^{2}$ 在点 $(1, 2, 5)$ 处的切平面方程及法线方程

(80)考点：二元函数的极值及其判定

函数 $f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 x y$ 的驻点为▁
求函数 $z (x, y) = y^{3} - x^{2} + 6 x - 12 y + 10$ 的极值
某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10元和 9元，生产 x件甲产品与生产 y件乙产品所需的原料成本为 $400 + 2 x + 3 y + 0.01 (3 x^{2} + x y + 3 y^{2})$ 元，问两种产品的产量为多少时，能够达到最大的利润

(81)考点：条件极值

(82)考点：二重积分的概念和性质

已知平面闭区域 $D : 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 16$ ，则二重积分 $\iint_{D} 3 d x d y$ =▁

(83)考点：二重积分的计算

计算二重积分 $\iint_{D} x^{2} y d x d y$ 其中 D 由 y=x, y=2x 及 x=1 所围成的面积
计算二重积分 $\iint_{D} (2 x + y) d x d y$ 其中 D 由 y=x, y=2x 及 y=2 所围成的面积
计算二重积分 $\iint_{D} (e^{\frac{x}{y}}) d x d y$ 其中 D 由 y=1, y=2, y=x 及 x=0 所围成的面积

(84)考点：变换积分次序与坐标轴的转换

已知 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{y}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x$ ，交换积分次序后得到的积分 I=▁
设 f(x,y) 为连续函数， $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} f (x, y) d y + \int_{1}^{2} d x \int_{0}^{2 - x} f (x, y) d y$ ，交换积分次序后得到的积分 I=▁
求二重积分 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} d x \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos y}{y} d y$

(85)考点：二重积分的应用-求空间立体的体积

求几何体 $x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} \leq 4$ 的体积

(86)考点：对弧长的曲线积分

计算 $\int_{L} (x + y) d s$ ，其中 L 为
(1)曲线 $y = x + 1$ 上，于点 (0,1) 与点 (1,2) 之间的一段弧
(2)曲线 $x = 2 y - 1$ 上，于点 (-1,0) 与点 (1,1) 之间的一段弧
(3)圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的上半圆周

(87)考点：对坐标的曲线积分

计算曲线积分 $\int_{L} y^{2} d x + 2 x y d y$ ，其中 L 为
(1)抛物线 $y = x^{2}$ 从点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧
(2)抛物线 $x = y^{2}$ 从点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧
(3)有向折线 OAB，其中 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)

(88)考点：格林公式

计算曲线积分 $\int_{L} y (1 + x^{2}) d x + x (1 - y^{2}) d y$ ，其中 L 为圆周 $x^{2} + y^{2} = 1$ (逆时针方向)

(89)考点：平面上曲线积分与路径无关的条件

计算曲线积分 $\int_{L} y (x^{3} - y) d x - x (x + \sin y) d y$ ，其中 L 为曲线 $y = x^{2}$ 于点 (0,0) 与点 (1,1) 之间的一段有向弧

(90)考点：常数项级数的概念和性质

已知级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 的部分和 $S_{n} = n^{3}$ ，则当 $n \geq 2$ 时， $u_{n}$ =▁
判断下列级数的收敛性
(1) $\sum_{n = 1}^{\infty} n$
(2) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}$
若级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则下列级数中收敛的是( )

A. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{u_{n}}{10}$
B. $\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} + 10)$
C. $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10}{u_{n}}$
D. $\sum_{n = 1}^{\infty} (u_{n} - 10)$

(91)考点：正项级数及其审敛法

(92)考点：交错级数及其审敛法

(93)考点：绝对收敛与条件收敛

(94)考点：阿贝尔定理

(95)考点：幂级数的收敛域

(96)考点：幂级数的运算

(97)考点：函数展开为幂级数

Date: 2023-02-16 17:58:24
我决定用到的时候在记录，笔记一部分有错误和遗失记录

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本文作者：Gavin's blog

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posted @ 2023-01-03 18:05 悠悠江水阅读(950) 评论(0) 编辑收藏举报

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