高等数学考点笔记
Date: 2023-01-03 18:02:50
这是我专升本时期的笔记,考研为了方便查阅故进行电子化整理
(1)考点:求函数的定义域
定义域:函数的自变量的取值范围
常见函数的定义域
求抽象函数定义域
例题
-
已知函数 \(f(1-2x)\) 的定义域为 \([0,1]\),则 \(f(x+1)\) 的定义域为▁
-
❗
类型
设函数 f(x) 的定义域为 \([0,1]\),则函数 \(f(x-1)\) 的定义域为▁
解:[1,2]
将前后函数调换即可理解
-
已知函数 \(f(3-2x)\) 的定义域为\((-3,4]\),则 \(f(x)\) 的定义域为▁
(2)考点:判断两函数是否相同
须满足两个条件:定义域 相同, 对应法则 相同
- 下面函数相同的是( )
A. \(y=\frac{x^2}{x}, \qquad y=x\)
B. \(y=\sqrt{x^2}, \qquad y=x\)
C. \(y=(\sqrt{x})^2, \qquad y=x\)
D. \(y=|x|, \qquad y=\sqrt{x^2}\)
(3)考点:求函数表达式
例题
- 已知 \(f(x)=2x\),则 \(f(x+1)=\underline{\quad}\)
- 已知 \(f(2x)=2x+e^{2x}+1\),则 \(f(x)=\underline{\quad}\)
- 已知 \(f(x+1)=x^2+2\),则 \(f(x-2)=\underline{\quad}\)
(4)考点:函数的四种性质
- 单调性
- 奇偶性
- 有界性
- 周期性
单调性
- 利用导数判断
- \(f'(x)>0 \Rightarrow f(x)\) 单调递增
- \(f'(x)<0 \Rightarrow f(x)\) 单调递减
奇偶性
若 \(f(-x)=-f(x)\),则称 f(x) 为奇函数,关于 原点对称
若 \(f(-x)=f(x)\),则称 f(x) 为偶函数,关于 \(y\)轴对称
常见奇函数: \(\sin x, \tan x,\cot x,\arcsin x,\arctan x,x^{2n-1},\log_a(\sqrt{1+x^2} \pm x)\)
常见偶函数:\(\cos x,|x|, x^{2n}, 非零常数\)
非奇非偶函数:\(\arccos x\)
运算性质
加减性质:\(奇\pm奇=奇,偶\pm偶=偶,奇\pm偶=非奇非偶\)
乘除性质:\(奇*奇=偶,偶*偶=偶,奇*偶=奇\)
- 已知函数 \(f(x)=x^8-x^4\),则 \(f(x)\) 是 ▁ 函数
有界性
若 \(\exists M,函数|f(x)|<M,则称f(x)有界\)
常见有界函数: \(\arcsin x,\arccos x,\arctan x,\arcctg x\)
若外层函数有界,则复合函数也有界
周期性
若 \(f(x+T)=f(x)\),则称f(x)为周期函数,周期为T
常见周期函数:
- 已知函数 \(f(x)=x^8-x^4\),则 f(x) 为▁函数
(5)考点:求反函数
- ❗
类型
已知函数 \(f(x)=x-1\),则 f(x) 的反函数为?
反解 \(x=f(x)+1,x\in R\)
则 \(y=x+1,x\in R\) (反函数定义域为原函数值域)
(6)考点:数列极限定义
若数列 {\(a_n\)} 有极限 L,则称数列 {\(a_n\)} 收敛于 L
- 设 \(\lim_{n\to \infty}x_n=1,则 \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+2}+x_{n}+x_{n-2}}{3}=\underline{\quad}\)
1
(7)考点:函数极限定义
-
以下函数存在极限吗?
- \(\lim_{x\to\infty}\arctan x\)
- \(\lim_{x\to\infty}\arcctg x\)
- \(\lim_{x\to\infty}e^x\)
-
❗
类型
求 \(f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1+x} & x\ge 0\\ 1-x & x<0 \end{matrix}\right.,在 x\to0\)的极限
看左右极限是否相等
,若相等则为极限值,若不等则无极限 -
求函数 \(\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\)
-
求函数 \(\lim_{x \to 0} \arctan\frac{1}{x}\)
(8)考点:极限的四则运算法则
设函数 \(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\),则
\(\begin{matrix}
\lim [f(x)\pm g(x)] =\lim f(x)\pm\lim g(x)=A+B\\
\lim [f(x) * g(x)] =\lim f(x)*\lim g(x)=A*B \\
\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)
\end{matrix}\)
- 求极限 \(\lim_{x\to4}\frac{x-4}{\sqrt{x-3}-1}\)
遇到根号,先通分,再化简 - 求极限 \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x+1}{5x^2+3x+2}\)
(9)考点:抓大头求极限
当 \(x\to \infty时\),
- 求函数
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{5x^2}\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{5x^2}\)
\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{5x}\)
(10)考点:加逼准则
- 求极限 \(\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{\sqrt[]{n^2+1}} +\frac{1}{\sqrt[]{n^2+2}}+··· + \frac{1}{\sqrt[]{n^2+n}})\)的值
\(\frac{n}{n^2+n}\le x \le \frac{1}{n^2+n}\)
(11)考点:单调有界准则
单调有界必有极限
(12)考点:两个重要极限
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1\)
\(\lim_{x \to 0} (1+\Box)^{\frac{1}{\Box}}=e\)
- 求极限 \(\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{1}{x}}\)
- 已知 \(\lim_{x \to \infty} (1-\frac{3}{x})^{px}=e^{-2},则p=\underline{\quad}\)
- 求极限 \(\lim_{x \to \infty} (\frac{x^2+2}{x^2-3})^{\frac{x^2+5}{2}}\)
(13)考点:无穷小量*有界变量=无穷小量
若 \(\lim_{x\to\Box}f(x)=0\),则称 \(f(x)是当x\to\Box\) 时为无穷小量
无穷小量*有界变量=无穷小量
- 求极限 \(\lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x}=\underline{\quad}\)
0 * 有界值
(14)考点:无穷小的比较
1.无穷小阶的概念
若\(\alpha,\beta\)在同一过程下的无穷小
- \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=0,则称\alpha是比\beta高阶的无穷小,记做\alpha=0\)
- \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=\infty,则称\alpha是比\beta低阶的无穷小\)
- \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=c,且c\ne 0,则称\alpha与\beta是同阶的无穷小\)
- \(若\lim \frac{\alpha}{\beta}=1,则称\alpha与\beta是等价的无穷小,记做\alpha \sim \beta\)
2.等价无穷小代换 可直接看泰勒公式,所谓无穷小代换就是泰勒公式的展开式的简化
\(若\alpha \sim \alpha',\beta \sim \beta',则\lim \frac{\alpha}{\beta}=\lim \frac{\alpha'}{\beta'}\)
注:只有乘除时可等价无穷小代换
例题
- \(当x\rightarrow时,f(x)与1-\cos x等价,则\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x \sin x }=\underline{\quad}\)
- 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x-\sin x}{e^{x^3}-1}\)
泰勒简化 \(e^{\Box}-1=\Box\)
(15)考点:函数的连续
若 \(\lim_{x\to\Box}f(x)=f(\Box)\),则称 \(f(x)在点\Box\) 连续
定理: 若 f(x), g(x) 连续,则它们的和、差、积、商也连续
- 若函数 \(f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{2ax}-1}{x} & x\ne0\\ a+1 & x=0 \end{matrix}\right.\)在x=0处连续,则a=\(\underline{\quad}\)
(16)考点:函数的间断点
定义:不连续的点 [ 连续 \(\lim_{x\to x^0}f(x)=f(x_0)\) ]
分类
第一类间断点(左右极限都存在)
- 可去间断点
- 极限存在但不等于该点函数值
- 极限存在但该点无定义
- 跳跃间断点:左右极限不相等
第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)
- 无穷间断点:左右极限至少有一个为 \(\infty\)
- 振荡间断点:\(y=\sin \frac{1}{x}在x=0处间断,y=\cos x, y=\sin^2\frac{1}{x}\)
例题
- 设函数 \(y=\frac{x^2-4}{x(x-2)},则x=0是函数的▁间断点.\)
看着里
\(=\infty\) - 设 \(x=0 是函数 f(x)=\arcsin \frac{1}{x}的▁间断点.\)
(17)考点:利用零点定理证明根的存在
零点定理
若函数 \(f(x) 在区间[a,b]上连续\),且 \(f(a)*f(b)<0\),则在区间上必有一个点\(\xi,使f(\xi)=0\)
(18)考点:函数的导数
定义
\(可导\Rightarrow连续\)
例题
- 设函数\(f(x)在x=1处可导,则\lim_{x \to 0} \frac{f(1+2x)-f(1-x)}{x} =▁.\)
=\(\frac{f(1+2x)-f(1)+f(1)-f(1-x)}{x}\)
=\(2f(1)+\frac{f(1-x)-f(1)}{-x}\)
(19)考点:求切、法线方程
切线方程: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
法线方程: \(y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\)
\(f'(x_0)是f(x)在点(x_0,f(x_0))\)处的斜率
例题
-
求曲线 \(y=\ln x\) 在点 (1,0) 处的切线方程。
解:
\(y-0=f'(1)(x-1)\quad f'(1)=1 \rightarrow y=x-1\) -
求曲线 \(y=\frac{1}{x}\) 在点 (1,1) 处的法线方程
解:
\(y-1=-\frac{1}{f'(1)}(x-1)\quad f'(1)=-1 \rightarrow y=x\)
(20)考点:导数公式及求导法则
一 基本初等函数求导公式
- \(c'=0\)(c 为常数)
- \((x^a)'=ax^{a-1}\)(a 为任意实数)
- \((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\)
- \((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
- \((a^x)'=a^x \ln a\)
- \((e^x)'=e^x\)
- \((\sin x)'=\cos x\)
- \((\cos x)'=-\sin x\)
- \((\tan x)'=\sec^2x\)
- \((\cot x)'=-\csc^2x\)
- \((\sec x)'=\tan x\sec x\)
- \((\csc x)'=-\cot x\csc x\)
- \((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
- \((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)
- \((arccot x)'= -\frac{1}{1+x^2}\)???敲 arccot 直接报错
二 求导法则
- \((u\pm v)'=u'\pm v'\)
- \((cu)'=cu'\)(c 为常数)
- \((uv)'=u'v+uv' \quad (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\)
- \((\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)
例题
- \(求导\quad y=x^2\sin x\)
- \(求导\quad y=\frac{2x+1}{x^2+3}\)
(21)考点:求复合函数的导数
\(y=\sin x^2\)
一般解题方式
利用求导法则进行解题\({f[u(x)]}'=f'[u(x)]+u'(x)\)
例题
从外向内求导即可
- 求导数 \(y=\sin^2x\)
- 求导数 \(y=\ln \sin(1-2x)\)
- 求导数 \(y=\ln \sqrt{x}\)
(22)考点:求高阶导数
求 n 阶导的一般方法
写出 f(x)的前几阶导数,总结规律,求出 n 阶导。
常见的高阶导数
- \((e^x)^n=e^x\qquad(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}\qquad (a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x\)
- \((x^n)^{(n)}=n!\qquad (x^n)^{(n+1)}=0\)
- \((\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})\qquad (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2})\)
例题
- 设函数 \(f(x)=x^3+3^x,则f^{(4)}(0)=▁.\)
多做这种题,总结规律
(23)考点:求隐函数的导数
\(y=1-x^2-\sin y\)
一般解法
- 根据 x 求出 y 的值
- 等式两边求导,代入 x,y ,求出导数的值。
例题
- 设由方程 \(e^y-xy^2=e^2 确定的函数 y=y(x),求\frac{dy}{dx}|_{x=0} .\)
解:
将 x=0 代入原方程得 \(y=2\)
方程两边同时对 x 求导,\(e^yy'-(y^2+x2yy')=0\)
代入 x,y 的值,\(\therefore\frac{dy}{dx}|_{x=0}=\frac{4}{e^2}\)
(24)考点:求幂指函数的导数
\(y=x^x\)
一般方法
将 \(y=A^B的形式化成e^{\ln AB}的形式即可\)
例题
- 求 \(y=x^{\sin x}\) 的导数。
(25)考点:求由参数方程确定函数的导数
\(\left\{\begin{matrix}x=\alpha (t)\\y=\beta (t)\end{matrix}\right.\)
一般解题方式
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\alpha (t)'}{\beta (t)}\)
用 x,y 对 t 进行求导,再将等式对 t 二次求导。
例题
- ❗
类型
设参数方程\(\left\{\begin{matrix} x=2t+1 \\ y=3t^2-1 \end{matrix}\right.\) 所确定的函数 y(x) ,则 \(\frac{d^2y}{dx^2}=▁.\)
(求到参数方程二阶导) \(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{二阶导}{dx/dt}\)
(26)考点:求微分
\(dy=f'(x)dx\)
例题 设函数\(y=\cos e^x\), 求 dy
(27)考点:近似计算
- ❗
类型
计算\(\sqrt{1.05}的值。\)
原式=\(f(1.05) \sim f(1)+f'(1)(1.05-1)\) = \(1+\frac{1}{2}*0.05\)
\(f(x)=\sqrt{x}\)
使用此公式 \(f(x) \sim f(x_0)+f'(x)(x-x_0)\)
(28)考点:罗尔定理
定义 设 f(x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 上可导,f(a)=f(b),则 \(\exists \xi \in(a,b),f'(\xi)=0\)
(29)考点:拉格朗日中值定理
定义 设 f(x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 上可导,f(a)=f(b),
则 \(\exists \xi \in(a,b),f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\),即 \(f(b)-f(a)=\frac{f'(\xi)(b-a)}{b-a}\)
有机会一定推一下这个定理
(30)考点:洛必达法则
设函数 \(\lim f(x)=0,\lim g(x) =0,且f(x),g(x)可导,g(x)\ne 0\)
则 \(\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)
就是碰到\(\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}\)型,对上下同时求导
- 求极限 \(\lim_{x \to 0} [\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln(1+x)}]\)
- 求极限 \(\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}\)
- 求极限 \(\lim_{x \to 0}\frac{x^2(e^x-1)}{\sqrt[]{1+\tan x}-\sqrt[]{1+x}}\)
(31)考点:函数的单调性
定义
\(\exists x_1<x_2, \begin{matrix} 若f(x_1)<f(x_2),则称f(x)单调递增 \\ 若f(x_1)>f(x_2),则称f(x)单调递减 \end{matrix}\)
判断
\(\begin{matrix} f'(x)>0 \Rightarrow f(x)单调递增 \\ f'(x)<0 \Rightarrow f(x)单调递减 \end{matrix}\)
求单调区间
\(\begin{matrix} 单调增区间f'(x)>0与定义域的交集 \\ 单调减区间f'(x)<0与定义域的交集 \end{matrix}\)
- ❗
类型
求函数 \(y=2x^2-\ln x\) 的单调增区间
求 y'>0 时x的取值范围
求导 \(y'=4x-\frac{1}{x}>0\)
\(\Rightarrow 4x^2-1>0\Rightarrow x^2>\frac{1}{4}\\ \Rightarrow x>\frac{1}{2} ,x<-\frac{1}{2}\)
(32)考点:函数的极值问题
若函数 f(x) 在 x₀ 的一个邻域 D 有定义,且对 D 中除 x₀ 的所有点,都有 f(x) < f(x₀),则称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个极大值。
驻点是f'(x) = 0的点
一段区间内,极值可以有多个,最值只能有一个,极值是f'(x)=0,变化率为0,斜率即将逆转的点,f''(x)=0为,变化率的趋势即将逆转的点。
如何求极值?
- 求出全部 驻点 和 不可导点
- 利用极值的判定条件,判断是否为极值点
- 求出各极值点的函数值
如何判断驻点为极值点?
-
判断一阶导数驻点左右导数值的正负
左+右-是极大值点,左-右+是极小值点,左右不变号,则不是极值点。 -
求驻点的二阶导数值
- \(>0\),驻点为极小值点
- \(<0\),驻点为极大值点,
麻烦的是驻点的二阶导数值=0时,有可能不是极值点,这时要通过更高阶的导数值来判断
例题
-
❗
类型
求函数 \(f(x)=x+\frac{1}{x+1}\) 的极值
解:
(一) 求导 \(f'(x)=1-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\),
由于 \(f'(x)=0\),所以驻点 \(x_1=0,x_2=-2\)
(二) 求二阶导,判断正负 \(f''(x)=\frac{2}{(x+1)^2}\)
(三) 代入比较各极值点的函数值
极小值 f(0) = 1,极大值 f(-2) = -3
(33)考点:函数的最值问题
求闭区间上连续函数的最值
- 求出区间上的 全部驻点 和 不可导点
- 求出各驻点、不可导点、区间端点的函数值
- 比较函数值,求出最值
- 例题❗
类型
求函数 \(y=x+2\cos x 在区间 [0,\frac{\pi}{2}]\) 上的最大值和最小值
解:
(一) 求导
\(y'=1-2\sin x, 由于y'=0,得驻点 x=\frac{\pi}{6},无不可导点\)
(二) 代入求出各点的函数值
\(f(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{6}+2\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+ \sqrt{3}\)
\(f(0)=0+2\cos 0=2\)
\(f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}+2\cos \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)
(三) 比较函数值,求出最值
\(最小值 f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2},最大值 f(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{6}+ \sqrt{3}\)
\(\pi的值为3.14,\sqrt{3} = 1.73\)
应用题求最值
- 例题❗
类型
靠一堵充分长的墙边,增加三面墙围成一矩形场地,在限定面积为 \(64m^2\) 的情况下,问增加的三面墙各长多少时,总长最小
建立目标函数,设 长为 x,则宽为 \(\frac{64}{x}\) 总长 \(y=2x+\frac{64}{x}\)
(34)考点:曲线的凹凸性和拐点
求凹凸区间
凹区间:\(f''(x)>0\) 与定义域的交集
凸区间:\(f''(x)<0\) 与定义域的交集
- 求曲线 \(y=x^4-24x^2+6x\)的凹凸区间
求拐点
拐点的 \(f''(x)=0\) 或 二阶导不存在
拐点两侧二阶导异号
拐点是凹凸区间分界点
- 例题❗
类型
已知 \((0,1)是曲线 y=x^3+bx^2+c\) 的拐点,则b=▁,c=▁
代入点求出 c=1
\(y'=(3x^2+2bx)=0,y''=6x+2b=0\therefore b=0\)
(35)考点:求曲线的水平渐近线,垂直渐近线
若 \(\lim_{x \to +\infty,-\infty,\infty} f(x)=A,则 y=A\)为函数 f(x) 的一条水平渐近线
若 \(\lim_{x \to +x_0^{+},x_0^{-},\infty} f(x)=A,则 x=x_0\)为函数 f(x) 的一条垂直渐近线
求水平渐近线:算出 \(\lim_{x\to+\infty}f(x),lim_{x\to-\infty}f(x)\) 是否有值
求垂直渐近线:算出 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 是否有值
- 求曲线 \(y=\frac{e^x}{x}\) 的水平渐近线和垂直渐近线
(36)考点:原函数和不定积分的概念和性质
若 \(F'(x)=f(x)\),则称 \(F(x)\) 为函数 \(f(x)\) 的原函数,记为 \(F(x)=\int f(x)dx\)
- ❗ 注:
- 若有原函数,则有无穷多个原函数
- 全部原函数可表示为 F(x)+c
- 任两个原函数之间差一个常数
若 F(x) 为 f(x) 的一个原函数,则 \(\int f(x)dx=F(x)+c\)
例题
- 例题❗
类型
设 \(e^{x^2}为f(x)的一个原函数,则\int e^{-x^2}f(x)dx=\underline{\quad}\)
解:
\(f(x)=(e^{x^2})'=e^{x^2}2x\)
原式 = \(\int e^{-x^2}(e^{x^2}2x)dx=x^2+c\)
不定积分的性质
-
线性性质 \(\int [\alpha f(x)\pm\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx\pm\beta\int f(x)dx\)
-
积分计算与微分计算互逆
-
例题❗
类型
已知 \(\int d[e^{-x}f(x)]=\int e^xdx\),且 f(0) = 0,则 f(x) = ▁
\(\int dx\),x 为外层现在的积分变量
原式= \(e^{-x}f(x)=e^x+c\)
(37)考点:基本积分公式
就是求导公式的逆运算 + 常数项 c
- 求定积分 \(\int \frac{\cos2x}{\cos x-\sin x}dx\)
\(\cos2x=?\)
看这里
(38)考点:凑微分法
- 凑微分
- 换元
- 套公式还原
例题
-
❗
类型
求定积分 \(\int \frac{1}{2x+1}dx\)
凑微分 =\(\int \frac{1}{2x+1}d(2x+1)*\frac{1}{2}\)
换元 =\(\frac{1}{2} \int \frac{1}{t}d(t)=\frac{1}{2}\ln|t|+c\)
还原 =\(\frac{1}{2}\ln|2x+1|+c\) -
求定积分 \(\int \frac{\arctan x}{1+x^2}dx\)
(39)考点:第二类换元法
根式代换
令简单根式 \(\sqrt[n]{ax+b}=t\)
- 求定积分 \(\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}\)
含有多个根式 \(\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b},令\sqrt[L]{ax+b}=t\) (L为m,n的最小公倍数)
- 求定积分 \(\int \frac{dx}{(1+\sqrt[2]{x})\sqrt{x}}\)
三角代换 看一下这个链接
当 \(\sqrt{a^2+x^2}\) 令 \(x=a\tan t\)
- 求定积分 \(\int \frac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}\)
当 \(\sqrt{a^2-x^2}\) 令 \(x=a\sin t\)
- 求定积分 \(\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx\)
当 \(\sqrt{x^2-a^2}\) 令 \(x=a\sec t\)
- 求定积分 \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}},(x>1)\)
(40)考点:分部积分法
使用题型: 当被积函数为两类不同函数的乘积时,可以使用
适用于初等函数:反函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数
\(\int uv'dx=\int udv=uv-\int vdu\)
例题
- 求定积分 \(\int xe^xdx\)
- 求定积分 \(\int x\cos xdx\)
- ❗
类型
求定积分 \(\int [e^{2x}+\ln(1+x)]dx\)
原式= \(\int e^{2x}dx+\int \ln(1+x)dx\)
=\(\int e^{2x}d(2x)\frac{1}{2}+x\ln x -\int xd\ln(1+x)\)
=\(\frac{1}{2}e^{2x}+x\ln x-\int \frac{x}{1+x}dx\)
=\(\frac{1}{2}e^{2x}+x\ln x-\int (1-\frac{1}{1+x})dx\)
=\(\frac{1}{2}e^{2x}+x\ln x-x+\ln|1+x|+c\)
(41)考点:定积分的概念和性质
a=b时,\(\int_a^b f(x)dx=0\)
\(\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx\)
- ❗
类型
求定积分 \(\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx\)
\(y= \sqrt{1-x^2}\Rightarrow x^2+y^2=1\)
图像为一半径为1的圆
若 f(x) 在 [a,b] 上连续,则 \(\int_a^bf(x)dx\) 存在
\(可导\Rightarrow连续\Rightarrow可积\)
定积分的性质
- 线性性质:\(\int_a^b[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]dx = \alpha \int_a^b f(x) dx \pm\beta \int_a^b g(x)dx\)
- 区间可加性:\(\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx\)
- \(\int_a^b 1dx=b-a\)
- 保号性:当 \(f(x)\geq 0\) 时,\(则\int_a^b f(x)dx\geq 0,(a<b)\)
- 估值定理:设 M,m 为 f(x) 在区间[a,b]上的最大值和最小值,则
\(m(b-a)\leq\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a)\) - 中值定理:若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续,则 \(\exists c\in(a,b)\) 使得 \(\int_a^b f(x)dx=\int(c)(b-a)\)
函数 f(x) 在 [a,b] 上的平均值为 \(f(c)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\)
例题
-
比较定积分 \(\int_0^1 x^3dx\) 和 \(\int_0^1 x^2dx\)
-
❗
类型
函数 \(y=x^2\) 在区间 [1,3] 上的平均值为多少
原式=\(\frac{\int_1^3x^2dx}{3-1}=\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}|_1^3=\)
(42)考点:积分上限函数
\([\int_{\beta(x)}^{\alpha (x)} ftdt]'=f[\alpha (x)]\alpha '(x)-f[\beta(x)]\beta'(x)\)
- ❗
类型
设 f(x) 连续,且\(\int_0^{x^3}f(t)dt=x,则f(27)=\)▁
??????没看太明白,先跳过
- 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \sin2tdt}{x^4}\)
\(\int_{0}^{x^2} \sin2tdt=f(x^2)*2x,f(x^2)=\sin2x^2\) - 求极限 \(\lim_{x \to 0}\frac{x}{1-e^{x^2}}\int_0^xe^{t^2}dt\)
(43)考点:牛顿-莱布尼茨公式
若 F(x) 是 连续函数 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数,则
\(\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)\)
例题
- ❗
类型
求定积分 \(\int_0^1 x^2dx\)
=\(\frac{x^3}{3}|_0^1=\frac{1}{3}-0\) - 求定积分 \(\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}\)
(44)考点:定积分的换元法
定积分的对称性
例题
- ❗
类型
设函数 f(x) = \(\left\{\begin{matrix} e^x & x\ge 0\\ x^2 & x<0 \end{matrix}\right.则\int_0^2f(x-1)dx=\)▁
令 \(t=x-1,则x=t+1\)
原式= \(\int_{-1}^1f(t)dt\)
= \(\int_{-1}^0f(t)dt+\int_0^1f(t)dt\)
= \(\int_{-1}^0t^2dt+\int_0^1e^tdt\)
= \(\frac{t^3}{3}|_{-1}^0+e^t|_0^1\) - 求定积分 \(\int_{-\pi}^\pi x^2\sin xdx\)
- 求定积分 \(\int_{-1}^1 \frac{1+\sin x}{1+x^2}dx\)
(45)考点:定积分的分部积分法
例题
- ❗
类型
求定积分 \(\int_0^1 xe^xdx\)
= \(\int_0^1xd(e^x)\)
= \(xe^x|_0^1-\int_0^1e^xdx\)
= \(e^1-0-e^x|_0^1\) - 求定积分 \(\int_0^1 xe^{\sqrt{x}}dx\)
(46)考点:无穷区间上的广义积分
\(\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\therefore\left\{\begin{matrix}
P\le1 & 发散\\
P>1 & 收敛
\end{matrix}\right.\)
注❗
(1) P=分母的最高次幂-分子的最高次幂
(2) \(\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^P}\therefore\left\{\begin{matrix}
P\le1 & 发散\\
P>1 & 收敛
\end{matrix}\right.\)
- ❗
类型
求广义积分 \(\int_0^{+\infty}\cos xdx\)
=\(-\sin x|_0^{+\infty}\)
\(\lim_{x\to+\infty}\sin x\)不存在,故发散 - 求广义积分 \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x}}dx\)
- 求广义积分 \(\int_e^{+\infty} \frac{1}{x\sqrt[3]{\ln x}} xdx\)
(47)考点:无界函数的广义积分
- 求广义积分 \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}dx\)
- 下列广义积分收敛的是 ( )
A. \(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}}\)
B. \(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}\)
C. \(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x}}\)
D. \(\int_0^{1}\frac{dx}{x\sqrt{x}}\)
(48)考点:求平面图形的面积
求平面图形的面积
\(S=\int_a^b(上-下)dx\)
\(S=\int_c^d(右-左)dx\)
- 例题 ❗
类型
由曲线 \(y=\sin x(0\le x\le\pi)\) 与 x 轴所组成的面积为▁
先画出图形,判断面积情况
\(S=\int_0^\pi\sin xdx=-\cos x|_0^\pi\)
(49)考点:求旋转体的体积
平面图形绕 x 轴旋转得到的旋转体的体积
\(V_x=\pi\int_a^b(上^2-下^2)dx\)
平面图形绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积
\(V_y=\pi\int_c^d(右^2-左^2)dy\)
- 例题 ❗
类型
曲线 \(y=x^3(x\ge0)\), 直线 \(x+y=2\) 以及 y 轴围成一平面图形 D,试求平面图形 D 绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积▁
先画出图形,判断面积情况
\(\because\) 绕y轴一周,\(\therefore V=\pi\int_0^1(y^{\frac{1}{3}})^2dy+\frac{1}{3}\pi*1^2*1\)
求圆锥体积:\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
这个求通解特解部分看的迷糊
(50)考点:常微分方程的基本概念
含有 未知函数
或 微分
的方程称为微分方程
若未知函数是 一元函数
,则称为常微分方程
若未知函数是 多元函数
,则称为偏微分方程
通解: 含有相互独立不能合并的任意常数
且任意常数的个数与方程的阶数相等
的解
特解:不含任意常数的解
- 例题 函数 \(y=c\sin x\) (其中 c 为任意常数)是微分方程 \(y''+y=0\) 的( )
A. 通解
B. 特解
C. 任意解
D. 无解
\(-c\sin x+c\cos x=0\)
(51)考点:可分离变量的常微分方程
\(f(y)dy=g(x)dx\)
解法
- 分离变量,化为标准形式
- 两边同时积分
- 求方程 \(\sec^2 x \tan ydx+\sec^2y \tan xdy=0\) 的通解
- 求微分方程 \(dy-2xy^2dx=0\) 满足条件 \(y(1)=-1\) 的特解
(52)考点:齐次方程
\(y'=f(\frac{y}{x})\)
- 化为标准形式
- 换元 令\(u=\frac{y}{x}\),代入方程消去 y
- 化为 x 与 u 的可分离变量的微分方程,求解
例题
- 求方程 \(xy'-x\sin\frac{y}{x}-y=0\) 的通解
(53)考点:一阶线性方程
\(y'+P(x)y=Q(x)\)
解法
- 化为标准形式
- 套公式 \(y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+c)\)
- 在此公式中,解不定积分时,不加绝对值,也不加任意常数 c
例题
- 在此公式中,解不定积分时,不加绝对值,也不加任意常数 c
- 求方程 \(xy'-y=x^3\) 的通解
(54)考点:可降阶的高阶方程
- \(y^{(n)}=f(x)\)
做 n 次不定积分 - \(y''=f(x,y')\)
- 令 \(y'=P\) ,两边对 x 求导,
- 然后代入元方程,转化为一阶微分方程求解
- \(y''=f(y,y')\)
- 令 \(y'=P\) ,两边对 x 求导 \(y''=\frac{dP}{dx}*\frac{dy}{dx}=P\frac{dp}{dy}\),
- 然后代入元方程,转化为一阶微分方程求解
- 求微分方程 \(xy''+y'=4x\) 的通解
- 求微分方程 \(yy''-(y')^2=0\) 的通解
(55)考点:二阶常系数齐次线性微分方程
\(y''+py'+qy=0\)
求通解
- 写出特征方程 \(r^2+pr+q=0\)
- 求出特征根 \(r_1,r_2\)
- 写出通解形式
\(\left\{\begin{matrix} 不同实根 r_1\ne r_2 & y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\\ 重根 r_1=r_2=r & y=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}\\ 共轭复根 r_{12}=\alpha \pm\beta i & y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin \beta x) \end{matrix}\right.\)
- 求微分方程 \(y''-4y=0\) 的通解
- ❗
类型
求微分方程 \(2y''+4y'+3y=0\) 的通解
\(2r^2+4r+3=0\)
\(r=-1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i\)
\(y=e^{-x}(c_1\cos\frac{\sqrt{2}}{2} x+c_2\sin \frac{\sqrt{2}}{2} x)\)
已知通解,求微分方程
- 求以 \(y=c_1e^{-3x}+c_2xe^{-3x}\) 为通解的二阶常系数齐次微分方程
- r=-3
- \((r+3)^2=0,r^2+6r+9=0\)
- \(y''+6y'+9y=0\)
(56)考点:二阶常系数非齐次线性微分方程
齐次:\(y''+py'+qy=0\)
非齐次:\(y''+py'+qy=f(x)\)
若 Y 是齐次的通解,\(y^*\) 是非齐次的特解,则 \(Y+y^*\) 为非齐次的通解
求非齐次的特解
若 \(f(x)=P_n(x)e^{\lambda x}\),特解形式应设为 \(y^*=x^kQ_n(x)e^{\lambda x}\)
其中\(\left\{\begin{matrix}
0 & \lambda 不是特征根\\
1 & \lambda是单根\\
2 & \lambda是双根
\end{matrix}\right.\)
- 算出齐次方程中的 r
- 对照 \(e^{\lambda x}\) 中的 \(\lambda\) 是不是特征根
- 写出 k 的值,写出一般式
- 将 \(e^{\lambda x}抄写下来\)
- 写出非齐次方程特解 \(y^*\)
- 微分方程 \(y''+y'-2y=xe^{-x}\) 的特解用待定系数法可设为▁
- 微分方程 \(y''-2y=x^2\) 的特解用待定系数法可设为▁
- 微分方程 \(y''+3y'+2y=e^{-x}\cos x\) 的特解用待定系数法可设为▁
- \(r^2+3r+2=0,(r+1)(r+2)=0\)
- \(r_1=-1,r_2=-2\)
- $\lambda=-1,不是特征根,\therefore k=0 $
- \(y^*=x^0(A\cos x+B\sin x)e^{-x}\)
求非齐次的通解
- 求出其对应的齐次方程的通解 \(Y\)
- 利用待定系数法求出非齐次方程的特解 \(y^*\)
- 写出非齐次方程的通解 \(y=Y+y^*\)
- 求微分方程 \(2y''+y'-y=3e^{x}\) 的通解
(57)考点:空间直角坐标系
空间直角坐标系
三个坐标轴 \(x,y,z\) 互相垂直,且 \(x,y,z\) 三个轴的原点重合
两点间的距离
\(\frac{M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)}{|M_1M_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}\)
(58)考点:向量的概念
向量:有大小和方向的量
向量的表示方法:
- 坐标表示:\(\overrightarrow{a} (a_x,a_y,a_z)\)
- 已知 \(A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),则\overrightarrow{AB} (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\)
- 向量表示: 分别为沿坐标轴 \(x,y,z\) 正向的单位向量,
即 \(\overrightarrow{i}=(1,0,0),\overrightarrow{j}=(0,1,0),\overrightarrow{k}=(0,0,1)\) - 向量的模:\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)
- 向量单位:模长为 1 的量
- 单位化:\(\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\)
- 方向角与方向余弦
- 方向角:非零向量 \(\overrightarrow{a}\) 与三条坐标轴的夹角 \(\alpha,\beta,\delta\) 称为 \(\overrightarrow{a}\) 的方向角,\(\alpha,\beta,\delta\in(0,\pi)\)
- 方向余弦
- \(\cos\alpha=\frac{a_x}{|\overrightarrow{a}|},\cos\beta=\frac{a_y}{|\overrightarrow{a}|},\cos\delta=\frac{a_z}{|\overrightarrow{a}|}\)
- \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\delta=1\)
例题
- ❗
类型
向量 \(\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}的模|\overrightarrow{a}|\) =▁
\(\overrightarrow{a}=(3,4,-1)\) 求\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+4^2+(-1)^2}\) - ❗
类型
已知两点 \(A(2,2,\sqrt{2}),B(1,3,0)\),求向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的模、方向角和方向余弦
模 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(-1,1,-\sqrt2),|\overrightarrow{AB}|=\)
方向余弦 \(\cos\alpha=\frac{-1}{|\overrightarrow{AB}|},\quad \cos\beta=\frac{1}{|\overrightarrow{AB}|}\quad \cos\delta=\frac{-\sqrt2}{|\overrightarrow{AB}|}\)
方向角 \(\alpha=?\) - 一组方向角 \(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\) 可以作为向量吗
利用方向余弦 =1 证明
(59)考点:向量的线性运算
向量的加法与数乘
- 向量加法:\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)\)
- 数乘:\(k\overrightarrow{a}=(ka_x,ka_y,ka_z),k\overrightarrow{a}与\overrightarrow{a}平行\)
- 定理:\(\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Rightarrow\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\Rightarrow \frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}\)
例题
- 已知向量 \(A(5,x,-2),B(y,6,a)\) 平行,则 x 和 y 的值分别为▁
(60)考点:向量的数量积(点积,内积)
-
定义:\(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)
两向量的夹角余弦 \(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\) -
计算:\(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\)
-
性质
- \(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)
- \(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}*\overrightarrow{a}\)
-
充要条件:\(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}\)
例题
❗ 类型
已知向量 \(\overrightarrow{a}=(-1,1,2),\overrightarrow{b}=(2,0,1)\) 的夹角为 ▁
用的是两向量的夹角余弦
、向量的数量积计算
、模的计算
不明白,记录错误
(61)考点:向量的向量积(叉积,外积)
向量积计算:\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)\)
例题
❗ 类型
已知点 \(A(4,-1,2),B(1,2,-2),C(2,0,1)\),求三角形ABC的面积
求 \(\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
-3 & 3 & -4\\
2 & 1 & -4
\end{vmatrix}\),
\(S_{\triangle ABC}|\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}|\)
(62)考点:向量 a 在向量 b 上的投影
\(\overrightarrow{a}\) 在向量 \(\overrightarrow{b}\) 上的投影:
\(\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}^0=|\overrightarrow{a}|\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\)
- 向量 \(\overrightarrow{a}=(1,-1,2)在向量\overrightarrow{b}=(0,3,4)\) 上的投影为▁
(63)考点:空间平面方程
-
平面的点发式方程:\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)+D=0\)
- 例题:过点 \(A(1,2,3)\),以 \(\overrightarrow{n}=(1,1,1)\) 为法向量的平面方程为▁
-
平面的一般式方程:\(Ax+By+Cz+D=0\)
特殊的平面方程:- \(D=0,\pi\) 过原点(0,0,0)
- \(C=0,\pi//z轴\)
- \(C=D=0,\pi过z轴\)
- \(B=C=0,\pi // y0z平面\)
- 例题:求通过 x轴 和点 \(A(1,2,3)\),以 \(\overrightarrow{n}=(1,1,1)\) 的平面方程
-
平面的截距式方程:\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) (a,b,c 在 x,yz 轴上的截距)
-
平面方程的求法
-
点法式法
- 确定平面上的一点 (x,y,z)
- 求出平面的一法向量 \(\overrightarrow{n}=(A,B,C)\)
- 代入点法式方程,化简为一般式方程
-
待定系数法
- 设处所求方程
- 将已知点的坐标代入方程,解方程
- 回代,化简求出方程
-
例题:
- 一平面过点 \((1,2,3)\),且平行于向量 \(\overrightarrow{a}=(2,1,-1)\) 和 \(\overrightarrow{b}=(1,-1,2)\) ,求此平面方程
- 过 0z 轴及点 (3,-2,4) 的平面方程为▁
(64)考点:两平面的位置关系
- ❗
类型
已知平面 \(\pi_1:x+2y-5z+8=0\) 与平面 \(\pi_2:4x+3y+mz+1=0\) 垂直,求 m=▁
先写出法向量 \(\overrightarrow{n_1}=(1,2,-5),\overrightarrow{n_2}=(4,3,m)\)
两平面垂直,即 \(\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=0 \therefore 4+6-5m=0\)
(65)考点:点到平面的距离
点到平面的距离
点 M 到平面 \(\pi:Ax+By+Cz+D=0\) 的距离为 \(d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
- 例题:点 M(3,2,-1) 到平面 \(\pi:x+y+z-1=0\) 的距离为▁
两平面的距离
平面 \(\pi_1:Ax+By+Cz+D_1=0,\pi_2:Ax+By+Cz+D_2=0\) 的距离为 \(d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)
(66)考点:空间直线方程
- 直线的一般方程
L=\(\left\{\begin{matrix} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\right.\) - 直线的点向式方程 \(\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\)
- 例题:过点 (4,-1,3) 且平行于直线 \(\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}\) 的直线方程为▁
写出直线的平行向量???
- 例题:过点 (4,-1,3) 且平行于直线 \(\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}\) 的直线方程为▁
(71)考点:多元函数的概念
- 已知 \(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y}\),则\(f(xy,\frac{x}{y})\) =▁
往里代即可
- 已知 \(f(x+y,xy)=x^2+y^2\),则\(f(x,y)\) =▁
凑出自变量的形式
\(f(x+y,xy)=(x+y)^2-2xy\)
(72)考点:二元函数的极限
求二元函数的极限,除 洛必达不可用,其他都可以用
-
证明 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}\) 不存在
-
题型
:求极限 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{3-\sqrt{xy+9}}{xy}\)
原式=\(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(3-\sqrt{xy+9})(3+\sqrt{xy+9})}{xy(3+\sqrt{xy+9})}\)
= \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{9-(xy+9)}{xy*6}\)
= \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-xy}{6xy}\) -
求极限 \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\)
(73)考点:二元函数的连续性
-
讨论函数 \(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2y}{x^2+y^2} & x^2+y^2\ne 0\\ 0 & x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.\),在点 \((0,0)\) 的连续性
-
讨论函数 \(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy}{x^2+y^2} & x^2+y^2\ne 0\\ 0 & x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.\),在点 \((0,0)\) 的连续性
(74)考点:偏导数的概念
🌠
-
设函数 \(f(x,y)=\left\{\begin{matrix} y\sin\frac{1}{x^2+y^2}& x^2+y^2\ne 0\\ 0 & x^2+y^2=0 \end{matrix}\right.\),试求 f(x,y) 在点 \((0,0)\) 的偏导数
-
设函数 f(x,y) 在点 \((0,0)\) 有偏导数 则 \(\lim_{n \to 0} \frac{f(a+n,b)-f(a-n,b)}{n}\) =▁
-
若 \(z=x^y,则\frac{\vartheta z}{\vartheta y}|_{(e,1)}\) =▁
-
若 \(z=x^2y+e^{1-x}\sqrt{xy^3+2}\tan \sqrt{\frac{y}{x}},则\frac{\vartheta z}{\vartheta x}|_{(1,0)}\) =▁
高阶偏导数
- 已知函数 \(z=2x^2+3xy-y^2,则\frac{\vartheta^2z}{\vartheta x \vartheta y}\) =▁
(75)考点:全微分的概念
- 已知函数 \(z=e^{x^2+2y-y^2}\),求全微分 dz
- 已知函数 \(z=\ln(x^2+y^2)\),求全微分 \(dz|_{(1,1)}\) =▁
(76)考点:复合函数的偏导数
- 设函数 \(z=f(e^x\sin y,3x^2y)\),且 f(u,v)为可微函数,求 dz =▁
(77)考点:隐函数的偏导数
- 已知函数 \(z=f(x,y)\) 由方程 \(x^2+y^2+z^2=0\) 所确定,求全微分 \(dz\) =▁
(78)考点:方向导数与梯度
求方向导数
- 函数 \(u=syz\) 在点 (1,1,1) 处沿该点到点 (1,2,2) 方向的方向导数为▁
求梯度
- 设函数 \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,则gradf(1,-1,2)\) =▁
方向导数与梯度的关系
- 函数 \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) 在点 (1,1,1) 处方向导数的最大值=▁
(79)考点:偏导数的几何应用
- 求曲线 \(x=\frac{t}{1+t},y=\frac{1+t}{t},z=t^2\) 在对应于 \(t=1\) 的点的切线方程 及 法平面方程
- 求曲线 \(z=x^2+y^2\) 在点\((1,2,5)\) 处的切平面方程 及 法线方程
(80)考点:二元函数的极值及其判定
- 函数 \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) 的驻点为▁
- 求函数 \(z(x,y)=y^3-x^2+6x-12y+10\) 的极值
- 某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为 10元 和 9元,生产 x件甲产品与生产 y件乙产品所需的原料成本为 \(400+2x+3y+0.01(3x^2+xy+3y^2)\) 元,问两种产品的产量为多少时,能够达到最大的利润
(81)考点:条件极值
(82)考点:二重积分的概念和性质
- 已知平面闭区域 \(D:1\le x^2+y^2 \le16\),则二重积分 \(\iint_D3dxdy\) =▁
(83)考点:二重积分的计算
- 计算二重积分 \(\iint_Dx^2ydxdy\) 其中 D 由 y=x, y=2x 及 x=1 所围成的面积
- 计算二重积分 \(\iint_D(2x+y)dxdy\) 其中 D 由 y=x, y=2x 及 y=2 所围成的面积
- 计算二重积分 \(\iint_D(e^{\frac{x}{y}})dxdy\) 其中 D 由 y=1, y=2, y=x 及 x=0 所围成的面积
(84)考点:变换积分次序与坐标轴的转换
- 已知 \(\int^{\frac{\sqrt{2}}{2}}_0dy\int^{\sqrt{1-y^2}}_yf(x,y)dx\),交换积分次序后得到的积分 I=▁
- 设 f(x,y) 为连续函数,\(\int^1_0dx\int^x_0f(x,y)dy+\int^2_1dx\int^{2-x}_0f(x,y)dy\),交换积分次序后得到的积分 I=▁
- 求二重积分 \(\int^{\frac{\pi}{4}}_0dx\int^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{\cos y}{y}dy\)
(85)考点:二重积分的应用-求空间立体的体积
- 求几何体 \(x^2+y^2+4z^2\le4\) 的体积
(86)考点:对弧长的曲线积分
- 计算 \(\int_L(x+y)ds\),其中 L 为
(1)曲线 \(y=x+1\) 上,于点 (0,1) 与点 (1,2) 之间的一段弧
(2)曲线 \(x=2y-1\) 上,于点 (-1,0) 与点 (1,1) 之间的一段弧
(3)圆 \(x^2+y^2=1\) 的上半圆周
(87)考点:对坐标的曲线积分
- 计算曲线积分 \(\int_Ly^2dx+2xydy\),其中 L 为
(1)抛物线 \(y=x^2\) 从点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧
(2)抛物线 \(x=y^2\) 从点 (0,0) 到点 (1,1) 的一段弧
(3)有向折线 OAB,其中 O(0,0),A(1,0),B(1,1)
(88)考点:格林公式
- 计算曲线积分 \(\int_Ly(1+x^2)dx+x(1-y^2)dy\),其中 L 为圆周 \(x^2+y^2=1\)(逆时针方向)
(89)考点:平面上曲线积分与路径无关的条件
- 计算曲线积分 \(\int_Ly(x^3-y)dx-x(x+\sin y)dy\),其中 L 为曲线 \(y=x^2\) 于点 (0,0) 与点 (1,1) 之间的一段有向弧
(90)考点:常数项级数的概念和性质
- 已知级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 的部分和 \(S_n=n^3\),则当 \(n\ge2\) 时,\(u_n\)=▁
- 判断下列级数的收敛性
(1) \(\sum_{n=1}^{\infty}n\)
(2) \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\) - 若级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 收敛,则下列级数中收敛的是( )
A. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{u_n}{10}\)
B. \(\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+10)\)
C. \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10}{u_n}\)
D. \(\sum_{n=1}^{\infty}(u_n-10)\)
(91)考点:正项级数及其审敛法
(92)考点:交错级数及其审敛法
(93)考点:绝对收敛与条件收敛
(94)考点:阿贝尔定理
(95)考点:幂级数的收敛域
(96)考点:幂级数的运算
(97)考点:函数展开为幂级数
Date: 2023-02-16 17:58:24
我决定用到的时候在记录,笔记一部分有错误和遗失记录