泰勒公式笔记

一口气搞定泰勒公式的本质及展开原则！

常见泰勒公式

$\mathrm{当}x⟶0\mathrm{时}，$

1. $$\sin x=x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$$

2. $$\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$$

3. $$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$$

4. $$\arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$$

5. $$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)$$

6. $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$$

7. $$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+o(x^4)$$

8. $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+o(x^3)$$

一些常用变形

• $$\sin x-x=-\frac{1}{6}{x}^3\arcsin x-x=\frac{1}{6}{x}^3$$

• $$\tan x-x=\frac{1}{3}{x}^3\arctan x-x=-\frac{1}{3}{x}^3$$

• $$\ln (1+x)-x=-\frac{1}{2}{x}^2$$

常见的等价无穷小（其实就是泰勒公式的简化）

$\mathrm{当}x\to 0\mathrm{时}$

• $x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$
• $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
• $1-{\cos }^{\alpha }x\sim \frac{1}{2}\alpha x^2$
• $(1+x{)}^a-1\sim ax$

注：

1. $x\mathrm{可}\mathrm{替}\mathrm{换}\mathrm{为}\phi (x)$
2. $x\to 0\mathrm{时}，\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$

洛必达 与 泰勒公式 解题对比

洛必达：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{6x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6}$$

泰勒展开：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-[x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)]}{x^3}=\frac{1}{6}$$

总结：

1. 等价无穷小是特殊的泰勒公式
2. 泰勒公式计算的本质是近似
3. 洛必达计算的本质是降阶

泰勒公式使用原则：

1. 乘除使用等价无穷小
2. 加减位置，上下同阶
3. 前后不能抵消的最低次幂

上下同阶：

1. 消掉低阶量
2. 忽略高阶量
3. 全部同阶量