泰勒公式笔记
常见泰勒公式
\(当x\longrightarrow 0时，\)
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\[\sin x = x-\frac{1}{6} x^3+o(x^3) \]
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\[\arcsin x =x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \]
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\[\tan x =x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \]
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\[\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \]
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\[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3) \]
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\[\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \]
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\[\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4) \]
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\[(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o(x^3) \]
一些常用变形
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\[\sin x -x=-\frac{1}{6}x^3\quad\arcsin x-x=\frac{1}{6}x^3 \]
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\[\tan x-x=\frac{1}{3}x^3\quad\arctan x-x=-\frac{1}{3}x^3 \]
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\[\ln(1+x)-x=-\frac{1}{2}x^2 \]
常见的等价无穷小（其实就是泰勒公式的简化）
\(当x\rightarrow0时\)
- \(x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1\)
- \(1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)
- \(1-\cos^\alpha x\sim \frac{1}{2}\alpha x^2\)
- \((1+x)^a-1 \sim ax\)
注：
- \(x可替换为\varphi(x)\)
- \(x\rightarrow0时，\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{1}{2}x\)
洛必达 与 泰勒公式 解题对比
洛必达：
\[\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{6x} =\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6}
\]
泰勒展开：
\[\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{x-[x-\frac{1}{6}x^3+o(x^3) ]}{x^3} =\frac{1}{6}
\]
总结：
- 等价无穷小是特殊的泰勒公式
- 泰勒公式计算的本质是近似
- 洛必达计算的本质是降阶
泰勒公式使用原则：
- 乘除使用等价无穷小
- 加减位置，上下同阶
- 前后不能抵消的最低次幂
上下同阶：
- 消掉低阶量
- 忽略高阶量
- 全部同阶量
