武忠祥每日一题笔记

Date: 2022-12-27
视频地址：武忠祥老师 23 考研数学每日一题汇总，（相信我，总有一天我能看完的）
在线 latex 公式编辑（没这个东西，完全没有电脑打公式的欲望）
这数学公式越打越阴间 😳

P1 函数的基本概念

设g(x)= $\left\{ \begin{aligned} 2-x\quad x\leq 0\\ x+2\quad x>0\\ \end{aligned} \right.，f(x)=\left\{ \begin{aligned} x^2\quad x<0\\ -x\quad x\ge 0\\ \end{aligned} \right.则g[f(x)]=$
内层函数值域为外层函数定义域
$已知f(x)={e}^{x^2},f(\varphi (x))=1-x, 且\varphi(x)\ge0,求\varphi(x)并写出定义域▁$
x的定义域怎么求的
$f(x+1)的定义域[0,a] (a>0),f(x)的定义域为？$
定义域[0,a]指的是谁的定义域
$设f(x)=\left\{\begin{matrix} 1-2x^2 & x\le 1\\ x^3 & -1\le x\le2\\ 12x-16 & x>2 \end{matrix}\right.$,求 f(x)的反函数 g(x)的表达式 ▁
反解，x=? 值域变成定义域

如何推出函数有界？

$f(x)在[a,b]上连续\Rightarrow 有界$
$f(x)在(a,b)上连续\nRightarrow 有界，例子：f(x)=\frac{1}{x}. x\in (0,1)$
那加上什么条件如何能推出有界？必须加上一个条件，$f(a+0),f(b-0)都存在，可\Rightarrow有界$

P2 函数的性质

$证明：定义在区间[-a,a]上任一函数f(x),可表示成一奇函数和一偶函数之和？$
证：f(x)=g(x)+h(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x).成立即可
$设f(x)=x \tan x e^{\sin x},则f(x)是（）.$
$A.偶函数\quad B.无界函数\quad C.周期函数\quad D.单调函数$
key:$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x$
$设f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} \quad 在下列哪个区间有界（）.$
$A.(-1,0)\quad B.(0,1)\quad C.(1,2)\quad D.(2,3)$

如何判断有界：$f(x)在(a,b)上连续且f(a+0),f(b-0)都存在\rightarrow有界$

P3 极限常规运算（一）

$求极限\lim_{n \to \infty} [\sqrt{1+2+\cdots +n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=?$
1.有理化，2.求根公式，3.提公因子
$求极限\lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{4x^2+x-1} +x+1}{\sqrt[]{x^2+\sin x}})$
分段求解+抓大头
$求极限\lim_{x \to 0}(\frac{2+e^{\frac{1}{x} }}{1+e^{\frac{4}{x} }} +\frac{\sin x}{|x|} )$
分左右极限 x→0+=？
$求极限\lim_{x \to +\infty }(\sqrt{x^2+x}-\sqrt[]{x^2-x})$
- 有理化，除公因数
- 等价代换$(1+x)^\alpha -1=\alpha x$
$求极限\lim_{x \to 0 }(\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt[]{1+\sin x}}{x(1-\cos x)})$

拉格朗日中值定理

P4 极限常规运算（二）

$已知 \lim_{x \to 0}\frac{ e^{x^2}-\cos 2x}{a x^b} =1,求a,b的值。$
最简便：泰勒，要么使用等价代换
$已知\lim_{x \to x_0} \varphi (x)=0,则下列结论正确的个数为()$
A. $\lim_{x \to x_0}\frac{\sin \varphi(x) }{\varphi(x)}=1 $
B. $\lim_{x \to x_0}[1+\varphi(x)]^ {\frac{1}{\varphi(x)} }=e$
C. $当x\Rightarrow x_0时，\sin\varphi (x) \sim \varphi(x)$
D. $若\lim_{u \to 0} f(u)=A，则\lim_{x \to x_0} f[\varphi(x)]=A$
❗ $\varphi(x)\ne 0$
$求极限\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x} $
泰勒公式
$求极限\lim_{x \to 0} \frac{\ln \frac{x}{\ln(1+x)} }{x}$
难在第一步，变形
$求极限\lim_{x \to +\infty } \frac{e^x}{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}$
幂指函数，难在第一步变形，最后等代

等价代换

等价代换：(其实都是泰勒公式的变形)

$当x \rightarrow 0时$
$x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3 \qquad \arcsin x-x\sim \frac{1}{6}x^3$
$\tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3 \qquad x-\arctan x \sim \frac{1}{3}x^3$
$\ln(1+x) \sim x \qquad x-\ln (1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$
可用泰勒公式进行验证。

P5 极限常规运算（三）（拉格朗日中值定理专题）

拉格朗日中值定理的使用：
如果函数 f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点 ξ 使得$f'(ξ)=\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}$

$求极限\lim_{x \to 0}\frac{\cos x-\cos (\sin x)}{x^4}$
$原式=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(\sin x)}{x^4}$
$= \lim_{x \to 0}\frac{f’(t)(x-\sin x)}{x^4}$
$=\lim_{x \to 0}\frac{-\sin t(x-\sin x)}{x^4}$
$=\lim_{x \to 0}\frac{-\sin t \frac{1}{6}x^3}{x^4}$
$=-\frac{1}{6}\lim_{x \to 0}\frac{\sin t}{x}$
$=-\frac{1}{6}$

题解：
$f[\alpha (x)]-f[\beta (x)]=f'[t](\alpha(x)-\beta(x))$
$f(t)=\cos t\qquad f'(t)=-sin(t)\qquad t\in(\sin x,x) 夹逼准则可推出\frac{\sin t}{x}的值$
$求极限\lim_{x \to +\infty} x^2[\arctan (x+1)-\arctan x]$
$求极限\lim_{n \to \infty} n^2[\arctan \frac{a}{n} -\arctan \frac{a}{n+1} ]$
$求极限\lim_{x \to +\infty} [\sin \sqrt{x+1} -\sin \sqrt{x}]$
尝试有理化
$求极限\lim_{x \to 0} [\frac{1}{\ln (1+x^2)} -\frac{1}{\ln (1+\tan ^2x)} ]$
通分 + 等代 + 拉中 + $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

P6 极限常规运算（四）（三步法专题）

$当f(x)为1^\infty,则有$

$凑e,\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e$
$当\lim_{x \to 0}[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$

三步法（常用且重要）

$\lim_{x \to \Box }[1+f(x)]^{g(x)}$
简单证明可得 2
$=\lim[1+f(x)]^{\frac{1}{f(x)}f(x)g(x)}$
$\lim_{x \to \Box }f(x)g(x)=A$
原式=$e^A$

$\Rightarrow可用于1^\infty$

例题

$求极限\lim_{x \to 0} [\frac{1}{\ln (1+x^2)} -\frac{1}{\sin ^2x} ]$
通分 + 等代 + 泰勒
$求极限\lim_{x \to 0}(x+2^x)^{\frac{2}{x} }$
三步法 + 洛必达$\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a$
$若\lim_{x \to 0}(\frac{1-\tan x}{1+\tan x} )^\frac{1}{\sin kx}=e,则k=▁$
三步法 + 直接代
$若\lim_{x \to 0}(e^x+ax^2+bx)^\frac{1}{x^2}=1，则a=▁，b=▁.$
$求极限\lim\_{x \to 0}(\frac{\arctan x}{x} )^\frac{1}{1-\cos x}$

对于各种知识灵活使用，泰勒，洛必达，哪种方式适合用哪种

P7 极限常规运算（五）

（三步法专题）

$求极限\lim_{n \to \infty} (n\tan \frac{1}{n} )^{n^2}$
三步法 + 等代
$求极限\lim_{n \to \infty} \tan ^n(\frac{\pi}{4} +\frac{1}{n} )$
三步法，+ $\tan \frac{\pi}{4}=1$ +拉中+求导
$求极限\lim_{x \to 0} (\frac{\ln (1+x)}{x} )^{\frac{1}{e^x-1} }$
$求极限\lim_{x \to 0}(\frac{(1+x)^{\frac{1}{x} }}{e} )^{\frac{1}{x} }$
三步法 + 拉中
$求极限\lim_{x \to 0}(\cos 2x+2x\sin x)^{\frac{1}{x^4} }$
三角函数相关 + 三步法 + 泰勒 回头将这个视频看完【高数零基础】超全！三角函数、对数指数公式在考研中的运用

P8 极限常规运算（六）

（三步法专题）

求极限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \tan x^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}$

$\cos x-\sin x=\cos x(1-\tan x)$ And $\cos\frac{\pi}{4}=?$
求极限 $\lim_{x \to 0} (\frac{e^x+e^{2x}+···+e^{nx}}{n} )^{\frac{1}{x}}$
三步法
求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{(x+1)(x+2)···(x+n)} ^x$

有思路好写$(\frac{x}{x+1})^x$ And $(1+\frac{1}{x})^{-x}$
求极限 $\lim_{x \to +\infty} (\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x})^x$
三步法 + 分开求解
$求极限\lim_{x \to \infty} n[e(1+\frac{1}{n})^{-n}-1 ]$
改为e + 等代

P9 极限常规运算（七）

$设a>0,a\ne1,且\lim_{x\to +\infty}x^p(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}})=\ln a,则P=▁$
拉中
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{(1-\sqrt[]{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})···(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}$

$等代1-\cos^\alpha x\sim \frac{1}{2}\alpha x^2$
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin^2x+e^x)-x}{\ln (x^2+e^{2x}-2x)}$
主要思路是改写成一个式子，但我更喜欢等代
已知极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c,其中k、c为常数，且c\ne 0. 则k=▁, c=▁$
泰勒秒解

P10 极限常规训练（一）

$若\lim_{x \to 0} (\frac{\sin x^3}{x^4}-\frac{f(x)}{x^3} )=2.则当x\rightarrow 0时，f(x)是x的▁无穷小.$
两边 ·$x^2$，秒解
$当 x\rightarrow 0 时，\alpha (x)=kx^2 与\beta (x)=\sqrt[]{1+x\arcsin x}-\sqrt[]{\cos x}是等价无穷小，则 k=▁ $
- 第一种方法：
  First. 有理化
  Second. 代入 0，算分母三角函数的值
  低阶可用
- 第二种方法：拉中，比第一种省事
$当x \to 0^+时，与\sqrt{x}等价的无穷小量是(\quad)$
A. $1-e^{\sqrt{x}}$
B. $\ln\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
C. $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
D. $1-\cos\sqrt{x}$
等代
$设\alpha _1=x(\cos \sqrt[]{x}-1 ),\alpha_2=\sqrt[]{x}\ln (1+\sqrt[3]{x} ) ,\alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1,$

$当 x\to0^+时，$以上三个无穷小量从低阶到高阶为 ▁.
等代

P11 函数连续的概念

三种情况分左右极限

分段函数
$e^\infty$
$\arctan \infty$

例题

$设f(x)=\frac{(e^\frac{1}{x}+e )\tan x}{x(e^{\frac{1}{x}}-e)} ,在[-\pi,\pi]上存在第一类间断点，x=▁.$
$A. 0\quad B. 1\quad C. -\frac{\pi}{2}\quad D. \frac{\pi}{2}$
$设 f(x)=\frac{\ln |x|}{x-1}\sin x,求 f(x)的间断点.$
判断提前分还是最后分
当 x=1,
$\lim_{x\to 1}f(x)$
$=\sin1 \lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{|x-1|}$
$=\sin1 \lim_{x\to 1}\frac{\ln (x+1-1)}{|x-1|}$
$=\sin1 \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{|x-1|}$

$=\left\{\begin{matrix} \sin 1&x \to1^+ \\ -\sin 1&x\to 1^- \end{matrix}\right.$ 为跳跃间断点
当 x=0，
$\lim_{x\to 0}f(x)$
$=\lim_{x\to 0}\sin x \ln |x|$
$=\lim_{x\to 0}x \ln |x|$
$=\lim_{x\to 0}x \frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=0$ 为可去间断点
$求f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的间断点.
x=0时值得一算
$求f(x)=\frac{|x|^x-1}{x(x+1)\ln |x|}$ 的间断点.
找未定义的点，先看分母，再看分子
$当f(x)=\lim_{n\to \infty}\frac{1+x}{1+x^{2n}}$，讨论间断点，所以（）
A. 无间断点
B. 存在间断点 x=1
C. 存在间断点 x=0
D. 存在间断点 x=-1
涉及此公式
$\lim_{n \to \infty} x^n=\left\{\begin{matrix} 0&|x|<1 \\ \infty& |x|\ge 1\\ 1& x=1 \\ 不存在&x=-1 \end{matrix}\right.$

P12 极限常规训练（二）

$设f(x)在区间(-\xi, \xi)内有定义，若当x\in(\xi, \xi)时，恒有|f(x)|\le x^2，则x=0必是f(x)的(\quad).$
A. 间断点
B. 连续不可导的点
C. 可导的点，且$f'(0)=0$
D. 可导的点，且$f'(0)\ne 0$

直接法：
$由|f(x)|\le x^2 \Rightarrow f(0)=0,\lim_{x\to0}f(x)=0=f(x),推出连续$
$\frac{f(x)}{x}\le \frac{x^2}{|x|}=|x|\rightarrow0\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0=f'(0)，可导$
这题考到了，连续的概念，导数的概念
排除法：
何时用？出现一般函数
如何用？提出特殊函数
令$f(x)=0\Rightarrow选C$
$设f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha \cos \frac{1}{x^\beta } & x>0\\ 0& x\le 0 \end{matrix}\right.\quad (\alpha >0,\beta >0).若f'(x)在x=0处连续，则(\quad)$
A. $\alpha-\beta>1$
B. $0<\alpha-\beta \le 2$
C. $\alpha-\beta>2$
D. $0<\alpha-\beta \le 1$
我听半天没听太明白，放弃

P13 导数的概念

必须会求隐函数 😓

求曲线 $x+y=+e^{2xy}=0在点(0,-1)$ 处的切线方程。
$方程求导，代入点(0,-1)，求出f'(0)，写出切线方程$
- 设函数 $u(x),v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);$
- 设函数 $u_1(x),u_2(x)~u_n(x)可导，f(x)=u_1(x),u_2(x)~ u_n(x),写出f(x)的导数公式.$
看着一团乱麻对不对，少了一步
$=u(x+\bigtriangleup x)v[x+\bigtriangleup x](-u(x)v(x+\bigtriangleup x)+u(x)v(x+\bigtriangleup x))-u(x)v(x)$

P14 导数的计算

设函数$f(x)=\left \{\begin{matrix} \ln \sqrt[]{x}&x\ge 1 \\ 2x-1&x<1 \end{matrix}\right. y=f(f(x)),则\frac{dy}{dx}|_{x=e}=▁.$

$(\ln \sqrt{x})'=\frac{1}{2x},\quad \ln \sqrt{e}=\frac{1}{2}$
e 的值是 2.718281828......是个无限不循环小数。
设 $y=y(x) 是由方程 xy+e^y=x+1 确定的函数，则\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=0}=▁.$
1. 根据 x 求出 y 的值
2. 等式两边求导，代入 x,y 的值
设函数 $y=y(x)由参数方程 \left\{\begin{matrix} x=t-\ln(1+t)\\y=t^3+t^2 \end{matrix}\right. 所确定，则\frac{d^2y}{dx^2}.$
求参数方程确认的导数
设 $y=x^22^x,求y^{(n)}.$
求高阶导数
1. 现成公式
2. 求低阶导数，归纳出高阶导数。
这道题，这两种方式都使用了

这东西不经过日常的训练谁会啊？😠
设 $y=\frac{1}{x^2-1},求y^{(n)}.$
先要拆开

(出我肯定不会😫)
摆了

选择题使用排除法，算到三阶，直接对照即可

P15 导数的应用（一）

考到了求导数的极值，拐点，明天做笔记，困了 😴 看这里

$设f(x)在(-\infty,+\infty)内可导，且对任意x_1,x_2，当x_1>x_2时，都有f(x_1)>f(x_2)，则(\quad)$

A. $对任意x,f'(x)>0$
B. $对任意x,f'(-x)\le0$
C. $函数f(-x)单调增加$
D. $函数-f(-x)单调增加$
$设 f(x),g(x) 是恒 >0的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，则当 a<x<b，有(\quad)$

A. $f(x)g(b)>f(b)g(x)$
B. $f(x)g(a)>f(a)g(x)$
C. $f(x)g(x)>f(b)g(b)$
D. $f(x)g(x)>f(a)g(a)$
设 $\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^n}=-1$，其中 n 为>1的整数，则这点 $x=a处(\quad)$

A. $f(x)导数存在，且f'(a)\ne 0$
B. f(x)取得极大值
C. f(x)取得极小值
D. f(x)是否取得极值与 n 的取值有关
设 f(x) 的导数在 x=a 处连续，又 $\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{x-a}=-1$，则( )

A. x=a 是 f(x) 的极小值点
B. x=a 是 f(x) 的极大值点
C. (a,f(a)) 是曲线 y= f(x) 的拐点
D. x=a 不是f(x)的极值点,(a,f(a))也不是曲线 y= f(x) 的拐点
曲线$y=(x-5)x^{\frac{2}{3} }的拐点坐标为\underline{\qquad}$

posted @ 2022-12-07 22:00 悠悠江水阅读(263) 评论(0) 编辑收藏举报

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