数据结构025_图
一、概念(真的多,倒是不难)
- 图中数据元素通常称为顶点(Vertex)。V是顶点的有穷非空集合，VR是两个顶点之间的关系集合；
- 若<v,w>∈VR，则<v,w>表示从v到w的一条弧(Arc)；
- 且称v为弧尾(Tail)或初始点(Initial Node)，称w为弧头(Head)或终端点(Terminal Node)；
- 此时图称为有向图(Digraph)。
- 若<v,w>∈VR必有<w,v>∈VR，则以(v,w)无序对歹徒两个有序对，表示v和w之间的一条边(Edge)；
- 此时的图称为无向图(Undigraph)。
- n表示图中顶点数目，e表示边或弧的数目(不考虑自身),则e的取值范围0~1/2*n*(n-1)。有1/2*n*(n-1)条边的无向图称为完全图(Completed Graph)；
- 有n*(n-1)条边的有向图称为有向完全图。
- 有很少条边或者弧的图称为稀疏图(Sparse Graph)，反之称为稠密图(Dense Graph)。
- 有时图的边或者弧具有与它相关的数，这种与图的边或者弧相关的数叫做权(Weight)。
- 带权的图称为网(NetWork)。
- 两个图G=(V,{E})和G'=(V',{E'})，如果V'包含于V，E'包含于E，那么G'是G的子图(SubGraph)。
- 对于无向图G=(V,{E})，如果边(v,v')∈E，则称顶点v和v'互为邻接点(Adja-cent)，即v和v'相连接。边(v,v')依附于(Incident)顶点v和v'，或者说(v,v')和顶点v和v'相关联。
- 顶点v的度(Degree)是和v相关联的边的数目，即为TD(V)。
- 弧<v,v'>，顶点v连接到顶点v'，顶点v'连接自顶点v。
- 以v为尾的弧的数目称为v的出度(OutDegree)，记为OD(v)；以v为头的弧的数目称为v的入度(InDegree)。
- 无向图G=(V,{E})中从顶点v到顶点v'的路径(Path)是一个顶点序列。
- 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。
- 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
- 在无向图中，如果顶点v到顶点v'有路径，则称v和v'是联通的。
- 无向图G中任意两个顶点都是联通的，则G是联通图(Connected Graph)。
- 联通分量(Connected Component)指的是无向图中的极大联通子图。
- 有向图G中，任意两个顶点之间有路径，称G是强联通图。
- 有向图中极大强联通子图称为有向图的强联通分量。
- 一个联通图的生成树是一个极小联通子图，含有图中全部顶点但只有足以构成一棵树的n-1条边。
一棵有偶n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。如果有一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非联通图。如果他多余n-1条边，则一定有环。但是，有n-1条边的图不一定是生成树。
二、图的创建和遍历
就创建下面的图：
- 思路：
- 存储顶点String 使用ArrayList集合
- 使用int[][] edges保存矩阵
package com.njcx.graph; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; public class Graph { private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合 private int[][] edges;// 存储图对应的邻接矩阵 private int numOfEdges;// 表示边的个数 public static void main(String[] args) { int n = 5;// 节点的个数 String vertexVal[] = { "A", "B", "C", "D", "E" }; // 创建图对象 Graph graph = new Graph(n); // 循环添加节点 for (String s : vertexVal) { graph.insertVertex(s); } // 添加边 graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.showGraph(); } // 构造器 public Graph(int n) { // 初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; } /** * 插入顶点 * * @param vertex */ public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } /** * 添加边 * * @param v1 * 第一个顶点的下标，即是第几个顶点，“A”对应0，“B”对应1 * @param v2 * 第二个顶点的下标 * @param weight * 用1来表示关联，0表示不关联 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight;// 无向图 numOfEdges++; } // 图常用方法： /** * 返回节点的个数 * * @return */ public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } /** * 返回边的个数 */ public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } /** * 返回节点i(下标)对应的数据，0对应A,1对应B这样 * * @param i * @return */ public String getValue(int i) { return vertexList.get(i); } /** * 返回v1和v2的权值 */ public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } /** * 显示图对应的矩阵 */ public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } }
三、图的深度优先(DFS，Depth First Search)遍历
- 从初始访问节点出发，初始访问节点可能有多个邻接节点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接节点，然后再以这个被访问的邻接节点作为初始节点，访问它的第一个邻接节点。可以这样理解：每次都在访问完当前节点后首先访问当前节点的第一个邻接节点。
- 这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个节点的所有邻接节点进行横向访问。
- 显然，深度优先搜索是一个递归过程。
步骤：
- 访问初始节点v，并标记节点v为已访问。
- 查找节点v的第一个邻接节点w。
- 若w存在，则继续执行4，如果不存在，则回到第1步，将从v的下一个节点继续。
- 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v，然后进行步骤123)。
- 查找节点v的w邻接节点的下一个邻接节点，转到步骤3。
拿下面的图做例子：看懂就懂，不懂拉倒，嘻嘻。我自己觉得很奇怪，干啥呀这是。
四、图的广度优先遍历(BFS,Broad First Search)
类似于一个分层搜索的过程，广度优先搜索需要使用一个队列以保持访问过的节点的顺序，以便按这个顺序来访问这些节点的邻接节点。
步骤：
1.访问初始节点v并标记节点v为已访问。
2.节点v入队列。
3.当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4.出队列，取得队头节点u。
5.查找节点u的第一个邻接节点w。
6.若节点u的邻接节点w不存在，则转到步骤3，否则循环执行以下三个步骤：
6.1若节点w尚未被访问，则访问节点w并标记为已访问。
6.2节点w入队列。
6.3查找节点u的继w邻接节点后的下一个邻接节点w，转到步骤6.
五、图的深度优先和广度优先代码实现
代码：
package com.njcx.graph; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.LinkedList; public class Graph { private ArrayList<String> vertexList;// 存储顶点的集合 private int[][] edges;// 存储图对应的邻接矩阵 private int numOfEdges;// 表示边的个数 // 定义数组boolean[],纪录某个节点是否被访问过 private boolean[] isVisited; public static void main(String[] args) { int n = 5;// 节点的个数 String vertexVal[] = { "A", "B", "C", "D", "E" }; // 创建图对象 Graph graph = new Graph(n); // 循环添加节点 for (String s : vertexVal) { graph.insertVertex(s); } // 添加边 graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.showGraph(); // 测试DFS // System.out.println("深度优先"); // graph.DFS(); System.out.println(); // 测试BFS 测试这个要把测试DFS的代码注释掉，否则isVisited全是true System.out.println("广度优先"); graph.BFS(); } // 构造器 public Graph(int n) { // 初始化矩阵和vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<String>(n); numOfEdges = 0; isVisited = new boolean[5]; } /** * 得到第一个邻接节点的下标w * * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int index) { for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) { if (edges[index][i] > 0) { return i; } } return -1; } /** * 根据前一个邻接节点的下标获取下一个邻接节点【隐隐约约里明白一点点，也有点不明白】 */ public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) { if (edges[v1][i] > 0) { return i; } } return -1; } /** * 深度优先算法 * * @param isVisited * @param i * i第一次就是0 */ private void DFS(boolean[] isVisited, int i) { // 首先我们访问该节点,输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); // 将这个节点设置为已经访问过 isVisited[i] = true; // 查找v的第一个邻接节点w int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) { if (!isVisited[w]) DFS(isVisited, w); w = getNextNeighbor(i, w); // 如果w已经被访问过 } } /** * 对DFS进行重载,遍历我们所有的节点并进行dfs */ public void DFS() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; // 遍历所有的节点进行DFS for (int i = 0; i < getNumOfEdges(); i++) { if (!isVisited[i]) { DFS(isVisited, i); } } } /** * 广度优先算法(对一个节点进行广度优先算法) */ public void BFS(boolean[] isVisited, int i) { int u;// 表示队列的头结点对应的下标 int w;// u的邻接节点的下标 // 队列，纪录节点访问的顺序 LinkedList queue = new LinkedList();// LinkedList有addLast(),removeFirst()方法，直接可以当一个队列用 // 访问节点,输出节点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); isVisited[i] = true; // 将节点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) { // 只要队列非空，取出队列的头结点下标 u = (Integer) queue.removeFirst();// 自动拆箱功能 // 得到第一个邻接节点的下标w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {// 找到 // 是否访问过 if (!isVisited[w]) { System.out.print(getValueByIndex(w) + "->"); // 标记已访问 isVisited[w] = true; // 入队列 queue.addLast(w); } // 已经访问过了，以u为起始点找w后面的下一个邻接点 w = getNextNeighbor(u, w);// 这里体现出广度优先算法 } } } // 遍历所有的节点都进行广度优先搜索 public void BFS() { for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { BFS(isVisited, i); } } } /** * 插入顶点 * * @param vertex */ public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } /** * 添加边 * * @param v1 * 第一个顶点的下标，即是第几个顶点，“A”对应0，“B”对应1 * @param v2 * 第二个顶点的下标 * @param weight * 用1来表示关联，0表示不关联 */ public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight;// 无向图，两个方向都要照顾到 numOfEdges++; } // 图常用方法： /** * 返回节点的个数 * * @return */ public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } /** * 返回边的个数 */ public int getNumOfEdges() { return numOfEdges; } /** * 返回节点i(下标)对应的数据，0对应A,1对应B这样 * * @param i * @return */ public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } /** * 返回v1和v2的权值【啊这，这是什么】 注：有时图的边或者弧具有与它相关的数，这种与图的边或者弧相关的数叫做权(Weight) */ public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } /** * 显示图对应的矩阵 */ public void showGraph() { for (int[] link : edges) { System.out.println(Arrays.toString(link)); } } }
