Fine-Grained学习笔记(3):最短路(边权,点权),(min,+)矩阵乘

问题:APSP(全局最短路)

给定$G=(V,E)$,其中边集$E$带权值,对于$\mathrm{\forall }s,t\in V$,计算$d(s,t)$,即从$s$到$t$的最小的经过路径权值之和

已知的算法:$n$次(堆优化的)Dijkstra算法:$\tilde{O}(|V|\cdot |E|)$

Floyd-Warshall算法:$O(|V{|}^3)$

考虑如下的公式:

$c_{uv}^{(k)}=\underset{x\in V}{min}(c_{ux}^{(k/2)}+c_{xv}^{(k/2)})$

形式上有些类似于矩阵乘,因此该过程被称为"(min,+)矩阵乘"

时间复杂度目前没有定论,但一般认为是$\mathrm{\Omega }(n^{3-ϵ})$时间(即不存在$O(n^{3-ϵ})$的算法).

Zwick的最短路算法(2002):

引理(有限整数的(min,+)矩阵乘):

给定$n\times n$的矩阵$A,B$,其元素均包含于$[c]\cup \{\mathrm{\infty }\}$之间(即要么是不连通边,要么权值小于等于常数),如此限制下,对$A,B$进行的(min,+)矩阵乘时间复杂度为$\tilde{O}(c{n}^{\omega })$

证明:

按如下方式构造新的矩阵$A^{\prime },B^{\prime }$

$a_{ij}^{\prime }=M^{a_{ij}}{b}_{ij}^{\prime }=M^{b_{ij}}$,其中$M=n+1$为足够大的整数

然后使用普通的矩阵乘计算$C^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }$

$c_{ij}^{\prime }={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{a}_{ik}^{\prime }{b}_{jk}^{\prime }={\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{M}^{a_{ik}+b_{kj}}$

总共需要进行$O(n^{\omega })$次$[M^c]$(位数为$O(c\log M)$)范围内的大整数运算,,每次大整数运算使用FFT消耗时间为$O(c\log M\cdot \log (c\log M))=\tilde{O}(c)$

然后遍历矩阵中$n^2$个元素,对于矩阵的每个元素,用$O(c)$时间找到使得$c_{ij}^{\prime }\ge M^t$的那个最大的$t$,即为$c_{ij}=\underset{x\in V}{min}(a_{ik}+b_{kj})$的值

总时间复杂度为$\tilde{O}(c{n}^{\omega })$,证毕.

然而,全局最短路可能有最多$O(|V|)$跳,若所有连通边权值不超过$c$,则最短路的距离可能为$O(c|V|)$,那么直接用(min,+)矩阵乘法进行重复矩阵乘以计算最短路矩阵,复杂度会上升到$\tilde{O}(c|V{|}^{\omega +1})$,反倒比Floyd-Warshall算法更差了.

Zwick算法的第一个思路是根据跳数的多少对路径进行分类讨论

情况1:

跳数$\le L$的最短路,进行$O(\log L)$次元素限制在$[cL]$内的(min,+)矩阵乘法,该情况下总时间复杂度$\tilde{O}(cL|V{|}^{\omega })$

情况2:

跳数$\ge L$的最短路

碰撞引理:

随机选取$\mathrm{\exists }R\subseteq V,|R|=O(\frac{|V|}{L}\log |V|)$,集合$R$能够概率性地与所有跳数$\ge L$的最短路"碰撞"($R$与某条路径"碰撞"指$R$中至少包含了路径中的一个点)

证明:

随机选取子集$R$,每个点被选中的概率均为$p=\frac{3}{L}\log |V|$

那么对于一组$s,t$,记${\mathrm{\Pi }}_{st}$为$s$到$t$的最短路所经过的边组成的集合,定理的描述中要求了$|{\mathrm{\Pi }}_{st}|\ge L$,那么

$Pr[R\text{不与}{\mathrm{\Pi }}_{st}\text{"碰撞"}]\le (1-p{)}^{|{\mathrm{\Pi }}_{st}|}\le (1-p{)}^L\le e^{-pL}\le e^{-3\log |V|}=\frac{1}{n^3}$

那么,$Pr[{\vee }_{s,t\in V\text{且}{\mathrm{\Pi }}_{st}\ge L|}(R\text{不与}{\mathrm{\Pi }}_{st}\text{"碰撞"})]\le |V{|}^2\cdot \frac{1}{|V{|}^3}=\frac{1}{|V|}$,证毕

在以此法找出的$R$上的所有点为原点,使用(堆优化的)Dijkstra算法,对正向边和反向边分别计算单源最短路,复杂度为$\tilde{O}(|R|\cdot |E|)$,这样便得出了所有$r\in R,s,t\in V$的$d(s,r)$与$d(r,t)$

然后对于$\mathrm{\forall }s,t\in V$,计算$d_{s,t}=\underset{r\in R}{min}(d(s,r)+d(r,t))$,复杂度$O(|R|\cdot |V{|}^2)$

该情况下总时间复杂度$\tilde{O}(\frac{|V{|}^3}{L})$

总的时间复杂度$\tilde{O}(cL|V{|}^{\omega }+\frac{|V{|}^3}{L})$,取$L=\frac{n^{\frac{3-\omega }{2}}}{\sqrt{c}}$,得到$\tilde{O}(\sqrt{c}{n}^{\frac{3+\omega }{2}})\le O(n^{2.687})$(在认为$c=O(1)$的前提下)

改进:对跳数较小的情况也应用碰撞引理

假设已经找到了所有跳数$\le \frac{2l}{3}$的最短路,那么对于每个$V$中的点,以$p=\frac{l}{9}\log n$为概率选取每个点,将随机选取出的$\tilde{O}(n/l)$个节点组成集合$R_{l/3}$,那么,$R_{l/3}$中元素未能与所有跳数$\in [l/3,(2l/3)]$的最短路"碰撞"上的概率$\le 1/n$((1-p)^{|\Pi_{st}|}\leq (1-p)^{l/3} \leq 2^{-pl/3} \leq e^{-3\log n}=\frac{1}{n^3}   n^2 \cdot \frac{1}{n^3} =\frac{1}{n} ),

在此概率化的条件下,以$R_{l/3}$中所有点为原点,使用(堆优化的)Dijkstra算法,对正向边和反向边分别计算单源最短路,得到所有$r\in R,s,t\in V$的$d(s,r)$与$d(r,t)$后,对于$\mathrm{\forall }s,t\in V$,计算$d_{s,t}=\underset{r\in R_{l/3}}{min}(d(s,r)+d(r,t))$.这样便能得到所有的跳数$\le l$的最短路,示意图如下:

计算$d_{s,t}=\underset{r\in R_{l/3}}{min}(d(s,r)+d(r,t))$的过程是一个对$|V|\times |R_{l/3}|$和$|R_{l/3}|\times |V|$的,元素值限制在$[O(cl)]$的两个长方形矩阵的(min,+)矩阵乘法,时间复杂度为$\tilde{O}(cl\cdot M(|V|,|V|/l,|V|))$

无向边的情况:

Seidel在1995年证明了无权无向图最短路可在$\tilde{O}(n^{\omega })$时间内解决

Galil,Margalit在1997年证明了边权值限制在$[c]$的情况下可在$\tilde{O}(c^{\frac{\omega +1}{2}}{n}^{\omega })$时间内解决.

Shoshan,Zwick在1999年得到了$\tilde{O}(c{n}^{\omega })$的算法

C.(作者本人),V.,Xu在2021年得到了更简便的$\tilde{O}(c{n}^{\omega })$的算法

这里讲了一下作者本人的算法但因为我完全没明白,并且与主线关系也不大,所以就略过了

实数点权的最短路算法:

热身:在实数点权图中找出权值最小的三角形

引理:

给定$n\times n$的布尔矩阵$A,B$,计算"最小见证矩阵"$C$

$c_{ij}=min\{k:a_{ik}\wedge b_{kj}\text{为真}\}$

的复杂度是$O(n^{2.529})$

(可以理解为在下图中,对于每一对$i,j$,找到标号最小的,且与左点与右点均相连的中间点)

证明:(思路:分块)

将$[n]$拆分为$r$个长度为$n/r$的区间$I_1,\cdots ,I_r$

步骤1:对于所有的$I_g(g\in \{1,\cdots ,r\})$,计算$d_{ij}^{(g)}={\vee }_{k\in I_g}(a_{ik}\wedge b_{kj})$,然后令$g_{ij}$为使得$d_{ij}^{(g)}$为最小的$g$

该步骤本质上是进行$r$次长方形矩阵乘法,复杂度为$O(r\cdot M(n,n/r,n))$

步骤2:根据得到的$g_{ij}$,暴力计算$c_{ij}={\vee }_{k\in I_{g_{ij}}}(a_{ik}\wedge b_{kj})$

时间复杂度$O(n^2\cdot \frac{n^2}{r})$

总时间复杂度$O(r\cdot M(n,n/r,n)+\frac{n^3}{r})=O(n^{2.529})$

Vassilevska,Williams,Yuster在2016年提出的最小点权三角形算法:

对于每一对$u,v$,计算$c_{uv}=min\{w(x):(u,x)\in E\wedge (x,v)\in E\}$(将点$x$按权值排序之后运行"最小见证矩阵"算法,复杂度$O(n^{2.529})$)

然后在所有的$u,v$中,找出最小的$c_{vu}+w(u)+w(v)$

总时间复杂度$O(n^{2.529})$

Czumaj-Lingas在1990年对该问题提出了以递归的技巧达到的$\tilde{O}(n^{\omega })$时间的算法.

回到APSP问题上来

引理:

给定实数矩阵$A\in R^{n\times n}$,矩阵$B\in \{0,\mathrm{\infty }{\}}^{n\times n}$,那么这两个矩阵的(min,+)矩阵乘的运行时间为$O(n^{(3+\omega )/2})\le O(n^{2.687})$

实际上,就是在计算$c_{ij}=\underset{k:b_{kj}\ne \mathrm{\infty }}{min}\{a_{ik}\}$

证明:

将$A$的每一行进行排序并映射到$[n]$中,将$[n]$拆分为$r$个长度为$n/r$的区间$I_1,\cdots ,I_r$

步骤1:

对于每个$I_g$,使用矩阵乘法在$O(r{n}^{\omega })$时间内计算$d_{ij}^{(g)}={\vee }_k[a_{ik}\in I_g]\wedge [b_{kj}\ne \mathrm{\infty }]$

然后令$g_{ij}=$使得$d_{ij}^{(g)}$最小的$g$

步骤2:

暴力计算$c_{ij}=\underset{a_{ik}\in I_{g_{ij}},b_{kj}\ne \mathrm{\infty }}{min}\{a_{ik}\}$

时间复杂度$O(n^2\cdot \frac{n}{r})$

总时间复杂度$O(r{n}^{\omega }+\frac{n^3}{r})=O(n^{\frac{3+\omega }{2}}))$(取$r=\frac{3-\omega }{2}$)

如果将步骤1的长方形矩阵乘法复杂度写作$O(M(rn,n,n))$,那么复杂度可以更精确地分析为$\tilde{O}(n^{2.66})$

chan2007算法:

思路:根据跳数多少分类讨论

情况1:

跳数$\le L$的最短路

假设所有跳数$\le l-1$的最短路已找到

则计算$d^{(l)}(u,v)=(\underset{x\in V,(x,v)\in E}{min}{d}^{(l-1)}(u,x))+w(v)$(使用前述引理,令$b_{xv}=\{\begin{array}{cc}0& (x,v)\in E\\ \mathrm{\infty }& (x,v)\notin E\end{array}$)

该情况的时间复杂度$O(L{n}^{\frac{3+\omega }{2}})$

情况2:

跳数$\ge L$的最短路

将点权移动到边权上,然后同Zwick算法中的情况2,复杂度$\tilde{O}(n^3/l)$

总时间复杂度$\tilde{O}(L{n}^{\frac{3+\omega }{2}}+\frac{n^3}{L})$

令$L=n^{\frac{3-\omega }{4}}$,$\tilde{O}(n^{3-\frac{3-\omega }{4}})\le O(n^{2.844})$

待解决的问题:更优的复杂度?实数边权(边权最短路问题比点权严苛,点权最多$|V|$个,边权最多$|E|=O(|V{|}^2)$个)?