奇思妙想：有关取模递推数列的一些有趣性质

首先定义递推数列：

对于无限的数列$a[i]$，假设存在一个有限的k，且存在函数$f(x_1,x_2...x_k)$使得任意$i>k$，有$a[i]=f(a_{i-1},a_{i-2}...a_{i-k})$，则称数列a为递推数列。

如果取一个模数m，限制数列a的元素必须为小于m的正整数，并将上述定义改为$a[i]=f(a_{i-1},a_{i-2}...a_{i-k}) mod m$（当然也要限制f必须映射到整数），则称数列a为模意义下的递推数列。

这种数列有一些有趣的性质。

定理1：

模意义下的递推数列必有循环节。

我们首先定义循环节，若对于数列a，存在n与r，使得任意i>=n，总有a[i]=a[i+r]，则称r为循环节

证明：

根据模意义下的递推数列的定义，不妨记任意$i>k$，$a[i]=f(a_{i-1},a_{i-2}...a_{i-k}) mod m$，即a的某一位只与其前k项有关

显然，如果$a_{p-1}=a_{q-1}，a_{p-2}=a_{q-2}，a_{p-3}=a_{q-3}...，a_{p-k}=a_{q-k}$，必定有$a_{p}=a_{q}$，显然，|p-q|就是一个循环节

由于此数列是模m意义下的，那么数列元素只会出现0~m-1共m种，那么连续k个数列元素也只会有$m^k$种形式

根据鸽巢原理，在这个数列的前$m^k+1$项中，必然存在一对p,q，$p \neq q$，有$a_{p-1}=a_{q-1}，a_{p-2}=a_{q-2}，a_{p-3}=a_{q-3}...，a_{p-k}=a_{q-k}$，此时|p-q|就是一个循环节。

 显然有一个更强的结论，对于模数不为质数的情况，循环节为该递推式每一个因数为模数的循环节的lcm，即质因数或质因数的高次方为因数时的lcm。

这是使用bm算法求解线性递推并求任意一项的一个前导知识。