[高数]高数部分-Part II 导数与微分
Part II 导数与微分
一元函数微分的定义
\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 记为{f}'(x_{0})\)
一元函数定义注意点
- 左右有别
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右导数\)
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左导数\)
- \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
- 广义化狗
- \(\triangle x \rightarrow (广义化)狗\)
- \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
- 一静一动
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型错误\)
- 换元法
- \(换元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)
基本求导公式
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\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)
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\({(a^x)}'=a^xlna\)
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\({(e^x)}'=e^x\)
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\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
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\({(sinx)}'=cosx\)
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\({(cosx)}'=-sinx\)
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\({(tanx)}'=sec^2x\)
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\({(cotx)}'=-cscx^2x\)
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\({(secx)}'=-secxtanx\)
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\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
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\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
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\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
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\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)
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\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)
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\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)
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\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)
基本求导方法
复合函数求导、隐函数求导、对数求导法、反函数求导、参数方程求导
复合函数求导
复合函数一层层分层求导，幂指函数化为复合指数函数
隐函数求导
显函数：y=f(x),隐函数F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0两遍同时对x求导，只需注意y=y(x)即可(复合求导)
对数求导法
对多项目相乘、相除、开方乘方得来的式子，先取对数再求导，称为对数求导。
反函数求导
\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)
参数方程求导
\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t为参数\)
显函数
解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
一个函数如果能用形如 的解析式表示，其中 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如 等都是显函数。
隐函数
隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如\(y=\cos(x)\)。
