[数学]高数部分-Part I 极限与连续
Part I 极限与连续
一、极限
泰勒公式
任何可导函数 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，
\(x\rightarrow 0\)时
- \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
- \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)
基本微分公式
-
\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)
-
\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)
-
\({(e^{x})}'=e^{x}\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^{2}x\)
-
\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)
-
\({(secx)}'=secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
-
\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
常用等价无穷小
- \(x \rightarrow 0\)
- \(sin x \sim x\)
- \(arcsin x \sim x\)
- \(tan x \sim x\)
- \(arctan x \sim x\)
- \(e^{x} - 1 \sim x\)
- \(ln(1 + x) \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
- \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)
函数极限定义
\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 当 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 时，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)
数列极限数列极限
n为自然数， n→\(\infty\),专指n→+\(\infty\),而略去"+"不写
\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 当 n>N时，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)
极限的性质
唯一性、局部有限性、局部保号性
极限的唯一性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则A唯一\)
极限的局部有限性
$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则 \exists M>0, \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta时,恒有|f(x)|< M $
极限的局部保号性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)>0\)
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)<0\)
函数极限计算三板斧
-
等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。
-
这个顺序来源于杨超。
七种不定形
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
【注】 0不是真的0， 1不是真的1
洛必达法则
-
若\(\lim \limits_{x \to *}f(x)=0, \lim \limits_{x \to *}=0\)，且\(\lim \limits_{x \to *} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists\),
则\(\lim \limits_{x \to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to *}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\) -
隐含条件：f(x), g(x)都为无穷小量，都可导，导函数比值的极限存在
数列极限运算法则
- 若\(x_{n}\)易于连续化，转化为函数极限计算
依据：
\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 则\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\) - 若\(x_{n}\)不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）
- 若\(x_{n}\)由递推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 给出，用“单调有界准则”
\(给出 x_{n},若 x_{n} 单增且有上界或者单减且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收敛\)
二、连续与间断
夹逼准则
它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。
设\(I\)为包含某点\(a\)的区间，\(f,g,h\)为定义在\(I\)上的函数。若对于所有属于\(I\)而不等于\(a\)的\(x\)，有：
\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；则\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。
\(g(x)\)和\(h(x)\)分别称为\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于\(x \to \infty\)，这个定理还是可用的。
极限的连续与间断的基本常识
任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：
-
分段函数的分段点（可能间断）
-
无定义点（必然间断）
连续的定义
- \(若\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}), 则f(x)称在x=x_{0}处连续\)
- Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才连续\)
有界性定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)
最值定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当m\leq \mu \leq M时，其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小最大值\)
介值定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当m\leq \mu \leq M时，则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)
零点定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当f(a) \cdot f(b)<0时，则\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)
间断的定义
- \(设f(x)在 x=x_{0}点的某去心领域有定义\)
- 1⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
- 2⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
- 3⃣️ \(f(x)\)
-
第一类间断点 1⃣️ 2⃣️ 均存在，且
- 1⃣️\(\neq\) 2⃣️: \(x_{0}\)为跳跃间断点
- 1⃣️ = 2⃣️ \(\neq\) 3⃣️: \(x_{0}\)为可去间断点
-
第二类间断点 1⃣️ 2⃣️ 至少一个不存在（目前为止考研只考了 1⃣️ 2⃣️均不存在）
- 若不存在 = \(\infty \Rightarrow\)无穷间断点
- 若不存在 = 震荡 \(\Rightarrow\) 震荡间断点
【Note】
- 单侧定义不讨论间断性
- 若出现左右一边是震荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论
