[数学]考研数学公式定理大总结
考研数学公式定理大总结
- 考研数学公式定理大总结
- 一、微积分部分
- 二 线性代数部分
- 高数部分补充
一、微积分部分
Part I 极限与连续
泰勒公式
任何可导函数 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，
\(x\rightarrow 0\)时
- \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
- \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)
基本微分公式
-
\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)
-
\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)
-
\({(e^{x})}'=e^{x}\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^{2}x\)
-
\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)
-
\({(secx)}'=secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
-
\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
常用等价无穷小
- \(x \rightarrow 0\)
- \(sin x \sim x\)
- \(arcsin x \sim x\)
- \(tan x \sim x\)
- \(arctan x \sim x\)
- \(e^{x} - 1 \sim x\)
- \(ln(1 + x) \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
- \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)
函数极限定义
\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 当 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 时，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)
数列极限数列极限
n为自然数， n→\(\infty\),专指n→+\(\infty\),而略去"+"不写
\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 当 n>N时，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)
极限的性质
唯一性、局部有限性、局部保号性
极限的唯一性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则A唯一\)
极限的局部有限性
$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则 \exists M>0, \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta时,恒有|f(x)|< M $
极限的局部保号性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)>0\)
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)<0\)
函数极限计算三板斧
-
等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。
-
这个顺序来源于杨超。
七种不定形
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
【注】 0不是真的0， 1不是真的1
洛必达法则
-
\(若\lim \limits_{x \to \*}f(x)=0,\lim \limits_{x \to \*}=0\), \(且\lim \limits_{x \to \*}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists , 则\lim \limits_{x \to \*}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to \*}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\)
-
隐含条件：f(x),g(x)都为无穷小量，都可导，导函数比值的极限存在
数列极限运算法则
- 若\(x_{n}\)易于连续化，转化为函数极限计算
依据：
\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 则\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\) - 若\(x_{n}\)不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）
- 若\(x_{n}\)由递推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 给出，用“单调有界准则”
\(给出 x_{n},若 x_{n} 单增且有上界或者单减且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收敛\)
夹逼准则
它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。
设\(I\)为包含某点\(a\)的区间，\(f,g,h\)为定义在\(I\)上的函数。若对于所有属于\(I\)而不等于\(a\)的\(x\)，有：
\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；则\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。
\(g(x)\)和\(h(x)\)分别称为\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于\(x \to \infty\)，这个定理还是可用的。
极限的连续与间断的基本常识
任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：
-
分段函数的分段点（可能间断）
-
无定义点（必然间断）
连续的定义
- \(若\lim \limits_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0}), 则f(x)称在x=x_{0}处连续\)
- Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才连续\)
间断的定义
- \(设f(x)在 x=x_{0}点的某去心领域有定义\)
- 1⃣️\(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
- 2⃣️\(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
- 3⃣️\(f(x)\)
-
第一类间断点1⃣️2⃣️均存在，且
- \(1⃣️\neq2⃣️: x_{0}为跳跃间断点\)
- \(1⃣️=2⃣️\neq 3⃣️: x_{0}为可去间断点\)
-
第二类间断点1⃣️2⃣️至少一个不存在（目前为止考研只考了1⃣️2⃣️均不存在）
- \(若不存在 = \infty \Rightarrow无穷间断点\)
- \(若不存在 = 震荡 \Rightarrow 震荡间断点\)
【Note】
- 单侧定义不讨论间断性
- 若出现左右一边是震荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论
Part II 导数与微分
一元函数微分的定义
\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 记为{f}'(x_{0})\)
一元函数定义注意点
- 左右有别
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右导数\)
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左导数\)
- \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
- 广义化狗
- \(\triangle x \rightarrow (广义化)狗\)
- \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
- 一静一动
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型错误\)
- 换元法
- \(换元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)
基本求导公式
-
\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)
-
\({(a^x)}'=a^xlna\)
-
\({(e^x)}'=e^x\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^2x\)
-
\({(cotx)}'=-cscx^2x\)
-
\({(secx)}'=-secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)
基本求导方法
复合函数求导、隐函数求导、对数求导法、反函数求导、参数方程求导
复合函数求导
复合函数一层层分层求导，幂指函数化为复合指数函数
隐函数求导
显函数：y=f(x),隐函数F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0两遍同时对x求导，只需注意y=y(x)即可(复合求导)
对数求导法
对多项目相乘、相除、开方乘方得来的式子，先取对数再求导，称为对数求导。
反函数求导
\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)
参数方程求导
\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t为参数\)
显函数
解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
一个函数如果能用形如 的解析式表示，其中 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如 等都是显函数。
隐函数
隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如\(y=\cos(x)\)。
Part III 中值定理与一元微分学应用
1. 中值定理
有界性定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)
最值定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当m\leq \mu \leq M时，其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小最大值\)
介值定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当m\leq \mu \leq M时，则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)
零点定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当f(a) \cdot f(b)<0时，则\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)
费马定理
\(设f(x)在x=x_{0}处 \begin{cases}1) & 可导\\ 2) & 取极值\end{cases} \Rightarrow {f}'(x_{0})=0\)
罗尔定理
\(设f(x)满足以下三个条件 \begin{cases}1) & [a,b]连续\\ 2) & (a,b)可导 \\ 3) & f(a)=f(b)\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=0\)
拉格朗日中值定理
\(设f(x)满足以下两个条件 \begin{cases}1) & [a,b]连续\\ 2) & (a,b)内可导\end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 {f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
柯西中值定理
\(设f(x)，g(x)满足 \begin{cases}1) & [a,b]连续\\ 2) & (a,b)内可导 \\ 3) &{g}'(x)\neq0 \end{cases} ，则\exists \xi \in (a,b)，使得 \frac{{f}'(\xi)}{{g}'(x)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系
柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 罗尔定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理
涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理
有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理
罗尔定理的应用范式
\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)
罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径
关键：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\)
两个途径：
- 求导公式逆用法
- 积分还原法
- 将欲证结论中的\(\xi 改为 x\)
- 积分，令c=0
- 移项，使等式一端为0，则另一端记为F(x)
2. 单调性与极值
导数的几何应用有哪些
三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性，凹凸性；渐近线
极值的定义需要注意的地方
必须是双侧定义，否则不考虑极值
广义极值
\(\exists x_{0}的某个邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)
狭义极值（真正极值）
\(\exists x_{0}的某个【去心】邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)
单调性与极值判别
- \(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递减；\)
- \(若f(x)在x= x_{0}处连续，在U(x_{0}, \delta)内可导，则\begin{cases}当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)<0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)>0，\Rightarrow 极小 \\ 当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)>0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)<0，\Rightarrow 极大 \\ 若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})与(x_{0}, x_{0}+\delta)内不变号 \Rightarrow 不是极值 \end{cases}\)
- \(若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 极小值；若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 极大值\)
3. 零碎问题
函数的凹凸性
\(\forall x_1, x_2 \in I, 有:\begin{cases} \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凹曲线 \\ \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f(\frac{x_1+x_2}{2}) \Rightarrow f(x)， 是凸曲线 \end{cases}\)
函数拐点
连续曲线凹凸弧的分界点
拐点判别法
设f(x)在I上二阶可导
- \(\begin{cases}若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的\\ 若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的\end{cases}\)
- \(若f(x)在x_0点的左右邻域{f}''(x)变号 \Rightarrow (x_0,f(x_0))为拐点\)
铅直渐近线
\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，则称x=x_0为f(x)的一条铅直渐进线\)
出现在：无定义点 || 开区间端点
水平渐近线
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，则称y=A为f(x)的一条水平渐进线\)
斜渐近线
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,则称y=ax+b为f(x)的一条斜渐进线\)
函数的最值的求法
- \(对于函数f(x)，在[a,b]上找出三类点\begin{cases}{f}'x=0 \Rightarrow x_0驻点 \\ {f}'(x)!\exists \Rightarrow不可导点 \\ 端点a,b \end{cases}\)
\(比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值为最大(最小)值\) - \(若在I上求出唯一极大(极小)值点，则由实际背景确定最大(小)值\)
Part IV 一元函数积分学
不定积分定义
\(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立，则称F(x)在f(x)在I上的一个原函数。全体原函数就叫不定积分，记成：\int f(x)dx=F(x)+C\)
定积分定义
\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)
不定积分与定积分的几何意义
\(\int f(x)dx为函数族，\int_{a}^{b} f(x)dx 为面积代表值\)
牛顿-莱布尼兹公式 / N-L 公式
\(\int_{a}^{b} f(x)dx =F(x)\mid_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)\)
基本积分公式
\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\)
\(k\neq1 \begin{cases}\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C \\\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C \end{cases}\)
\(\int \frac{1}{x}dx = lin|x|+C\)
\(\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C，a>0, a\neq1\)
\(\int e^xdx=e^x+C\)
\(\int sinxdx=-cosx+C\)
\(\int cosxdx=sinx+C\)
\(\int tanxdx=-ln|cosx|+C\)
\(\int cotxdx=ln|sinx|+C\)
\(\int secxdx=ln|secx - tanx|+C\)
\(\int cscxdx=ln|cscx - cotx|+C\)
\(\int sec^2xdx=-cotx+C\)
\(\int secxtanxdx=secx+C\)
\(\int secxcotxdx=-cscx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\)
\(\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan{\frac{x}{a}}+C\)
\(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{a+x}{a-x}}+C\)
\(\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{x-a}{x+a}}+C\)
\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)
点火公式(华里士公式)
- \(I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}sin^nxdx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}cos^nxdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n为正整数 \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & n为大于1的正奇数 \end{cases}\)
- 偶数时点火成功乘 \(\frac{\pi}2\)，奇数时点火失败以 1 打止
积分-换元法的三板斧
- 当凑微分法不成功时，考虑换元，从而使题目从复杂变简单
-
三角换元
- \(三角换元--当被积函数f(x)含有\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)
- \(\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=asint,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=atant,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=asect,\begin{cases}x>0,0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\\ x<0,\frac{\pi}{2}\leq t \leq \pi\end{cases}\)
- Note：\(若见到\sqrt{ax^2+bx+c}，要先化为\sqrt{\phi^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-\phi^2(x)}，\sqrt{\phi^2(x)+k^2}，再做三角换元\)
-
倒带换
\((x=\frac{1}{t})---可用于分子次数明显低于分母次数的情况\) -
复杂部分换元——令复杂部分=t
\(\begin{cases}\sqrt[n]{ax+b}ax+b=t，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，\sqrt{ae^{bx}+c}=t，(根式代换)\\ a^x,e^x=t，(指数代换) \\ lnx=t，(对数代换)\\ arcsinx,arctanx=t，(反三角函数代换)\end{cases}\)
分部积分法
\(\int udv=uv- \int vdu (前面的积分困难，后面的积分简单)\)
反对幂指三，排前面的求导，排后面的积分
有理函数积分法
- 定义:\(形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,(n<m)的积分\)
- \(将\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}拆成若干最简有理分式之和\)
- 拆分原则
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 产生k项\)：
\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_k}{(ax+b)^k},k=1,2 \cdot \cdot \cdot\) - \(Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k \Rightarrow 产生k项\)：
\(\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} + \frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k},k=1,2 \cdot\cdot\cdot\)
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 产生k项\)：
定积分的计算
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)
- 先按四大积分法求出F(x)
- 带入上下限，要注意换元时的细节：
\(对于\int_a^bf(x)dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt, (令x=\phi(t))；且要求{\phi}'(t) 连续，且x=\phi(t)不超过区间[a,b]\)
用积分表达和计算平面图形的面积
\(y=y_1(x), y=y_2(x), x=a, x=b, (a < b) 所围成的平面图形的面积：\)
\(S=\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)|dx\)
用积分表达和计算旋转体的体积
- \(y=y(x)与x=a,x=b, (a < b ) 及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx\)
- \(y=y(x)与x=a,x=b,( a < b ) 及x轴所围图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积为：V_y=\int_a^b2\pi x |y(x)|dx, (柱壳法)\)
用积分表达和计算函数的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是
\(y(x)在[a,b]上的平均值\overline{y}=\frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}\)
Part V 多元函数微分学
多元函数微分的极限定义
\(设f(x,y)的定义域为D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点(=内点+边界点), \forall \epsilon>0,\exists \delta>0,当P(x,y)\in D \cap U(P_0, \delta )时，恒有|f(x,y)-A|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=A\)
多元函数微分的连续性
\(\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),则称f(x,y)在（x_0,y_0）处连续\)
\(【注】\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y) \neq f(x_0,y_0),叫不连续，不讨论间断类型\)
多元函数微分的偏导数 z=f(x, y)
- \(\frac{\partial f }{\partial x}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_x(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim_{\triangle x \to \infty}\frac{f(x\_0+\triangle x, y\_0)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle x}\)
- \(\frac{\partial f }{\partial y}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_y(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim\_{\triangle y \to \infty}\frac{f(x\_0, y\_0+\triangle y)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle y}\)
多元函数微分-链式求导规则
\(设z=f(u,v,w), u=u(y), v=v(x,y), w=w(x)。称x,y叫做自变量，u,v,w叫做中间变量,z叫因变量.\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函数-高阶偏导数
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函数-无条件极值-必要条件
\(设z=f(x,y)在点(x_0, y_0)处\begin{cases} 一阶偏导数存在\\ 取极值 \end{cases} ，则{f}'_x(x_0, y_0)=0,{f}'_y(x_0, y_0)=0\)
【注】适用于三元及以上(常考2-5元)
多元函数-无条件极值-充分条件
\(\begin{cases} {f}''\_{xx}(x\_0,y\_0)=A \\ {f}''\_{xy}(x\_0,y\_0)=B \\ {f}''\_{yy}(x\_0,y\_0)=C \end{cases} \Rightarrow \triangle=B^2-AC \begin{cases} <0\begin{cases} A>0 \Rightarrow 极小值点 \\ A<0 \Rightarrow 极大值点 \end{cases} \\ >0 \Rightarrow 不是极值点 \\ =0 \Rightarrow 该法失效，另谋它法（概念题） \end{cases}\)
- Note：只适用于二元
多元函数-条件极值-求法
- 提法：\(求目标函数u=f(x,y,z)在约束条件\begin{cases} M (x,y,z)=0\\ N(x,y,z)=0 \end{cases} 下的极值\)
- 拉氏乘数法：
- \(构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda M(x,y,z)+\mu N(x,y,z)，(\lambda,\mu均可能取0)\)
- \(令{F}'(x)=0,{F}'(y)=0,{F}'(z)=0,{F}'(\lambda)=0,{F}'(\mu)=0\)
- \(解方程组 \Rightarrow P_i(x_i, y_i, z_i) \Rightarrow u(P_i)，比较 \Rightarrow取最大、最小者为最大值，最小值\)
Part VI 重积分
二重积分的普通对称性
- \(设D关于y轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
- \(设D关于x轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）
轮换对称性：
\(若将D中的x与y对调，可推出D不变，则：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即为轮换对称性\)
二重积分直角坐标系下的积分方法
\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)
- \(X型区域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)
后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线 - \(Y型区域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)
二重积分极坐标系下的积分方法
\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)
Part VII 微分方程
微分方程的概念
- \(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)
- 阶数一方程中y的最高阶导数的阶数
\(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二阶微分方程，\begin{cases} n=1,一阶\\ n\geq2,高阶 \end{cases}\) - 通解 --- 解中所含独立常数的个数=方程的阶数
一阶微分方程求解-变量可分离型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)
一阶微分方程求解-齐次型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)
一阶微分方程求解-一阶线性型
\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)为已知函数 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)
二阶常系数齐次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q为常数
- \(写\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)
- \(\begin{cases} \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\\ \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\ \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x}) \end{cases}\)
二阶常系数非齐D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)
- \(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型
- 解法
- 解的结构：\(y_{通解}=y_{齐次通解}+y_{非齐次特解}^*\)
- 求齐次通解：按照前面的方法求出
- 求特解：
- 设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）
- 由k与特征方程的根的情况决定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)
- \(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)
- \(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一个x）
- \(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘两个x）
- 求出\(y'^*,\ y''^*\)，带入原方程，化简，解出待定系数a，b
- 将a，b带入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解
- 组合：最后结果为 齐次通解+特解
- 解法
二 线性代数部分
Part I 行列式
行列式的定义与性质
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ c_{21} & d_{22} \end{array} \right| = a_{11} b_{12} - c_{21} d_{22}\)
- 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在\(n\) 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
二阶行列式定义
定义：二阶行列式是以两个行向量为领边的平行四边形的面积
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ c_{21} & d_{22} \end{array} \right|\Rightarrow S=a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}\)
- \(S=l\cdot m \cdot sin(b-a)=l \cdot m \cdot (sinbcosa - cosbsina) = a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}\)
三阶行列式定义
定义：三阶行列式是以三个行向量为棱边的平行六面体的体积
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot \cdot \cdot & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& \cdot \cdot \cdot & a_{2n} \\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array} \right| \_{n\times n}\)
n阶行列式定义
n阶行列式是由n维向量组成，其结果为n维图形的体积
行列式重要观点
\(D_n=|A_{n \times n}|\begin{cases}\neq0 \Rightarrow 组成行列式的向量线性无关 \\=0 \Rightarrow 组成行列式的向量线性相关 \end{cases}\)
行列式的7大性质
\(七大性质(习惯上a=\left( \begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ a_n \end{array} \right) 列向量)\)
\(其中a=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)=(1 2 3 4)^T，T称为A的转置\)
- 行列互换，其值不变，\(|A|=|A^T|\)
- 行列式中某行（列）元素全为0，则行列式为0
- “倍乘”性质 行列式中某行（列）元素有公因子k(k!=0),则k可以提到行列式外面，即：
\(\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ ka_{i1} & ka_{i2}& \cdot\cdot\cdot & ka_{in} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right| \_{n\times n} = k \cdot\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdot\cdot\cdot & a_{in} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right |_{n\times n}\) - “互换”性质
行列式中某行（列）元素是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即：
\(\left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2}& \cdot\cdot\cdot & a_{in}+b_{in}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right | = \left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdot\cdot\cdot & a_{in}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right | + \left | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ b_{i1} & b_{i2}& \cdot\cdot\cdot & b_{in}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} & {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|\)
【注】等式从左到右是两个 行列式相加的运算，如果两个行列式的其他元素对应相等，之育雏一行（列）不同时，可以相加，相加时其他元素不变，不同元素的行（列）对应相加即可。 - “互换”性质
行列式中两行（列）互换，行列式的值反号 - 行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为0
- “倍加”性质
行列式中两行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不变
行列式展开定理
-
余子式
在n阶行列式中，去掉元素\(a_{ij}\)所在的第i行，第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素\(a_{ij}\)的余子式，记成\(M_{ij}\),即：
\(M_{i,j}=\left | \begin{array}{cc} a_{11} & \cdot\cdot\cdot & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} && {\cdot \\ \cdot \\\cdot}& {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{i-1,1} & \cdot\cdot\cdot & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdot\cdot\cdot & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdot\cdot\cdot & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdot\cdot\cdot & a_{i+1,n}\\ {\cdot \\ \cdot \\\cdot} && {\cdot \\ \cdot \\\cdot} &&{\cdot \\ \cdot \\\cdot} \\ a_{n1} & \cdot\cdot\cdot & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|\) -
代数余子式
\(余子式M_{ij}乘(-1)^{i+j}后称为代数余子式，记为A_{ij},即 A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}，显然也有M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}\) -
行列式按某一行（列）展开的展开公式
行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即：
\(|A|=\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdot\cdot\cdot +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n) \\ a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \cdot\cdot\cdot +a_{nj}A_{nj}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(j=1,2,\cdot\cdot\cdot,n) \end{cases}\)
几个重要的行列式
1. 上下三角形行列式
\(\left| \begin{array}{c} a_{11} &0 & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ a_{21} & a_{21} & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|=\left| \begin{array}{c} a_{11} &a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdot\cdot\cdot & a_{2n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|=\left| \begin{array}{c} a_{11} &0 & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdot\cdot\cdot & 0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ 0 & 0 & \cdot\cdot\cdot & a_{nn} \end{array}\right|=\prod_{i=1}^na_{ii}\)
2. 副对角线行列式
\(\left| \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1,n-1} &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot\cdot\cdot &a_{2,n-1}&0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & 0 \end{array}\right|= \left| \begin{array}{c} 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdot\cdot\cdot &a_{2,n-1}&a_{2n} \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & \cdot\cdot\cdot & a_{n, n-1} & a_{nn} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{c} 0 & \cdot\cdot\cdot & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdot\cdot\cdot &a_{2,n-1}&0 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ a_{n1} & \cdot\cdot\cdot & 0 & 0 \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdot\cdot\cdot a_{n1}\)
3. 范德蒙行列式
\(\left| \begin{array}{c} 1 & 1 & \cdot\cdot\cdot &1 \\ x_{1} &x_{2} & \cdot\cdot\cdot &x_{n}\\ x_{1}^2 &x_{2}^2 & \cdot\cdot\cdot &x_{n}^2 \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot}&& {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ x_{1}^{n-1} &x_{2}^{n-1} & \cdot\cdot\cdot &x_{n}^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{1\leq i \leq j \leq n}(x_j-x_i)\)
4. 行和或列和相等的行列式（行和是指每一行元素相加的和，列和同理）
\(\left| \begin{array}{c} a & b & b & \cdot\cdot\cdot &b \\ b &a &b & \cdot\cdot\cdot &b \\ b & b & a & \cdot\cdot\cdot &b \\ {\cdot \\ \cdot \\ \cdot } & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} & {\cdot \\ \cdot \\ \cdot } && {\cdot \\ \cdot \\ \cdot} \\ b & b & b & \cdot\cdot\cdot & a \end{array} \right| =\[ a+(n-1)b \] (a-b)^{n-1}\)
Part II 矩阵
矩阵的定义
由m*n个数，排成m行n列的矩阵表格
\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} &\cdot\cdot\cdot& a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdot\cdot\cdot& a_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} &\cdot\cdot\cdot& a_{mn} \end{bmatrix}\)
称为一个\(m \times n\)的矩阵，简记为\(A\)或\((a \_ {ij})\_ {m\times n}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 当\(m=n\)时，称为n阶方阵。
两个矩阵\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}, B=(b\_{ij})\_{s\times k}\),若\(m=s,n=k\),则称\(A\)与\(B\)为同型矩阵
矩阵的基本运算
- 相等：
\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}=B=(b\_{ij})\_{s\times k}\Leftrightarrow m=s,n=k,且a\_{ij}=b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n),即A，B是同型矩阵，且对应元素相等\) - 加法：两个矩阵是同型矩阵时可以相加，即：
\(C=A+B=(a\_{ij})\_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c\_{ij})\_{m\times n},其中，c\_{ij}=a\_{ij}+b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n),即对应元素相加\) - 数乘矩阵：设K是一个数，A是一个m*n矩阵，数K和A的乘积称为数乘矩阵，即A的每个元素都乘以K
\(kA=Ak=k\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdot\cdot\cdot & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot\cdot\cdot & a_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdot\cdot\cdot & a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & \cdot\cdot\cdot & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdot\cdot\cdot & ka_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdot\cdot\cdot & ka_{mn} \end{bmatrix}=(ka_{ij})_{m\times n}\) - 矩阵的乘法：
设\(A\)是\(m\times s\)矩阵,\(B\)是\(s\times n\)矩阵(矩阵\(A\)的列数必须与矩阵B的行数相等),则\(AB\)可乘，乘积\(AB\)是\(m\times n\)矩阵，记\(C=AB=(c_{ij})\_{m\times n}\)。\(C\)的第i行第j列元素\(c\_{ij}\)是\(A\)的第i行的s个元素与B的第j列的s个对应元素两两相乘之和，即：
\(c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdot\cdot\cdot + a_{is}b_{sj}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\)
- 矩阵乘法满足下列运算规律：
- 结合律：
\((A_{m\times s}B_{s \times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s \times r}C_{r\times n})\) - 分配律：
- \(A_{m\times s}(B_{s \times r}+C_{s\times n})=A_{m\times s}B_{s \times r}+A_{m\times s}C_{s\times n}\)
- \((A_{m\times s}+B_{m \times s})+C_{s\times n}=A_{m\times s}C_{s \times n}+B_{m\times s}C_{s\times n}\)
- 数乘与矩阵乘积的结合律：
\((kA_{m\times s})B_{s \times n}=A_{m\times s}(kB_{s \times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})\)
【注】矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即\(AB \neq BA\)
初等变换
- 一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
- 互换矩阵中某两行(列)的位置
- 将某行(列)的k背加到另一行(列)
以上三种变换称为矩阵的三种初等行(列)变换，且分别称为倍乘、互换、倍加初等行(列)变换
可逆阵（方）定义
$ 对于A_{n\times n}、B_{n \times n}，若AB=E，则A，B可逆，且BA=E，A{-1}=B，B=A，AB=BA$
可逆阵（方）性质-5个
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \(k\neq 0, (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T，即A的转置的逆等于A的逆的转置\)
- \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}，即A的逆的行列式等于A的行列式分之一\)
伴随阵定义
\(定义A^*=\left |\begin{array}{c}A_{11} & A_{21} &\cdot\cdot\cdot &A_{n1} \\ A_{11} & A_{21} &\cdot\cdot\cdot &A_{n1} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ A_{1n} & A_{2n} &\cdot\cdot\cdot &A_{nn}\end{array}\right|\)
\(A_{ij}为A的a_{ij}的代数余子式，任何n阶矩阵必有伴随矩阵\)
伴随阵计算
\(计算AA^\*=\left(\begin{array}{a}a\_{11}&a\_{12} \\ a\_{21}&a\_{22}\end{array}\right) \left(\begin{array}{a} A\_{11}&A\_{12} \\ A\_{21}&A\_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{a}|A|&a \\ 0 & |A| \end{array}\right)=|A|E\)
\(计算AA^\*=A^\*A=|A|E,即A乘A的伴随=A的伴随乘A=A的行列式乘以单位矩阵\)
伴随阵常用结论及其推论（|A|!=0 <=> |A| 可逆）- 6个
- \(|A^*|=|A|^{n-1}\)
- \(k\neq 0, (kA)^{\*}=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}A^\*\)
- \((A^T)^{\*}=(A^{\*})^T\)
- \((A^{-1})^{\*}=(A^{\*})^{-1}\)
- \((A^\*)^{\*}=|A|^{n-2}\cdot A\)
- \((AB)^\*=B^*A^\* \ ,\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\ ,\ (AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)
初等阵定义
单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵，叫初等阵
\(E_3=\left(\begin{array}{c}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{array}\right)\begin{cases}1.\left(\begin{array}{c}0&1&0 \\ 1&0&0\\ 0&0&1\end{array}\right)，互换初等阵 \\ 2.\left(\begin{array}{c}1&0&0 \\ 3&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right)，倍加初等阵 \\ 3. \left(\begin{array}{c}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&6\end{array}\right)，倍乘初等阵 \end{cases}\)
初等阵性质
- \(E_{i(k)}^{-1}=E_{i(\frac{1}{k})}\ ,\ E_{ij}^{-1}=E_{ij} \ ,\ E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)\)
- 左行右列定理
初等阵P左乘（右乘）A得PA（AP），就是对A做了一次与P相同的初等行（列）变换
求A的逆-伴随矩阵法
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\*(多用于2、3阶)\)
\(1.求|A|，2.求A^\*，3.写A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^\*\)
求A的逆-初等变换法
任何可逆矩阵A一定可以通过若干次初等行变换，化成同阶单位阵E
\(即 P_n\cdot\cdot\cdot P_2P_1A=E\ ,\ P_n\cdot\cdot\cdot P_2P_1E=A^{-1}\)
\(\Rightarrow (A|E) \Rightarrow (E|A^{-1})\)
矩阵方程定义
\(AX=B,\ XA=BA,\ XB=C\)
基础命题：
- \(若A可逆 \Rightarrow X=A^{-1}B\)
- \(若A可逆 \Rightarrow X=BA^{-1}\)
- \(A、B可逆 \Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\)
高数部分补充
函数
对数函数
- $ y=log_a^x(a>0,a\neq 1),是y=a^x的反函数$
- 单调性：\(当a>1时，y=log_a^x单调增加，当0<a<1时，y=log_a^x单调减小\)
- 常用的对数函数：\(y=lnx(自然对数，lnx=log_e^x，e=2.71828...)\)
- 特殊函数值：\(log_a^1=0,\ log_a^a=1,\ ln1-0,\ lne=1\)
- 极限：\(\lim_{x \to 0^+}lnx=-\infty,\ \lim_{x \to +\infty}lnx=+\infty\)
- ！！！常用公式：\(x=e^{lnx},\ u^v=e^{lnu^v}=e^{vlnu}\)
反正切函数，反余切函数
- 反正切函数---y=arctanx, 反余切函数---y=arccotx
- 性质：\(arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2} (-\infty < x < +\infty )\)
- 特殊函数值：
- \(arctan0=0,\ arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},\ arctan1=\frac{\pi}{4},\ arctan{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}\)
- \(arccot0=0,\ arccot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{6},\ arccot1=\frac{\pi}{4},\ arccot{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{3}\)
- 极限：\(\lim \limits_{x \to -\infty}arctanx=-\frac{\pi}{2},\ \lim \limits_{x \to +\infty}arctanx=\frac{\pi}{2},\ \lim \limits_{x \to -\infty}arccotx=\pi,\ \lim \limits_{x \to +\infty}arccotx=0\)
三个重要的分段函数-分段函数
- 定义：\(y=|x|=\begin{cases}x & x \geq 0\\ b & -x < 0\end{cases}称为“绝对值函数”\)
- 性质：
- 该函数在x=0处连续（没有间断），但是不可导（有折点，不光滑）。后面会看到，这个看起来不起眼的函数，会多次在我们判别似是而非的概念时给我们援手。
- 绝对值函数和最大、最小值函数有某种亲密关系，如下：
\(x 设f(x)与g(x)为连续函数，如果令\\ U=max\{f(x), g(x)\}, \ V=min\{f(x), g(x)\},则：\\ U=max\{f(x), g(x)\}=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]=\begin{cases}f(x) & f(x) \geq g(x)\\ g(x) & f(x)<g(x) \end{cases},\\ \ V=min\{f(x), g(x)\}=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=\begin{cases}g(x) & f(x) \geq g(x)\\ f(x) & f(x)<g(x) \end{cases}\\ 即：U+V=f(x)+g(x),\ U-V=|f(x)-g(x)|,\ UV=f(x)g(x)\)
三个重要的分段函数-符号函数
- 定义：$ y=sgnx=\begin{cases}1 & x > 0\ 0 & x = 0 \ -1 & x < 0\end{cases},称为符号函数，对于任何实数x，有x=|x|shnx$
三个重要的分段函数-取整函数
- 定义：y=[x]称为取整函数，先给出定义，设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]。如[0.99]=0, %[\pi]%=3,[-1]=-1,[-1.99]=-2,因此，取整函数y=[x]的定义域为R，值域为Z，在x为整数值处发生跳跃
- 注意点：
- \(x-1\leq[x],\ [x+n]=[x],\ n[x]\leq nx,\ [x]+[y]\leq[x+y]\)
- \(\lim_{x \to 0^+}[x]=0,\ \lim_{x \to 0^-}[x]=-1\)
- 考得最多：\(x-1<[x]\leq x\)
常用基础知识
数列基础
- 等差数列：
- 通项公式：\(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\)
- 前n项的和：\(S_{n} = \frac{n}{2}[2a_{1} + (n - 1)d] = \frac{n}{2}(a_{1} + a_{n})\)
- 等比数列：
- 通项公式：\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)
- 前n项的和：\(S_{n}=\frac{a_{1}(1 - r^{n})}{1 - r} (r \neq 1)\)
- 常用：\(1 + r + r^{2} + … + r^{n - 1} = \frac{1 - r^{n}}{1 - r} (r \neq 1)\)
- 一些数列前n项的和：
- \(\sum_{k=1}^nk = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}\)
- \(\sum_{k=1}^n(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n^{2}\)
- \(\sum_{k=1}^nk^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + … + n^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
- \(\sum_{k=1}^nk^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + … + n^{3} = [\frac{n(n + 1)}{2}]^{2} = (\sum_1^nk)^{2}\)
- \(\sum_{k=1}^nk(k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\)
- \(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{1 * 2} + \frac{1}{2 * 3} + \frac{1}{3 * 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1}\)
三角函数基础
-
三角函数基本关系：
- \(\sin\alpha \csc\alpha = 1\)
- \(\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}\)
- \(\cos\alpha \sec\alpha = 1\)
- \(\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\)
- \(\tan\alpha \cot\alpha = 1\)
- \(\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}\)
- \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
- \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)
- \(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)
- \(1 - \sin^{2}\alpha = \cos^{2}\alpha\)
- \(1 - \cos^{2}\alpha = \sin^{2}\alpha\)
- \(\sec^{2}\alpha - \tan^{2}\alpha = 1\)
- \(1 + \tan^{2}\alpha = \sec^{2}\alpha\)
- \(\sec^{2}\alpha - 1 = \tan^{2}\alpha\)
- \(\csc^{2}\alpha - \cot^{2}\alpha = 1\)
- \(1 + \cot^{2}\alpha = \csc^{2}\alpha\)
- \(\csc^{2}\alpha - 1 = \cot^{2}\alpha\)
-
诱导公式
| \(函数/角\theta\) | \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) | \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) | \(\pi - \alpha\) | \(\pi + \alpha\) | \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) | \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) | \(2\pi - \alpha\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(函数/角\theta\) | \(90°- a\) | \(90°+ a\) | \(80°- a\) | \(180°+ a\) | \(270°- a\) | \(270°+ a\) | \(360°- a\) |
| \(\sin\theta\) | \(\cos\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\sin\alpha\) | -\(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) |
| \(\cos\theta\) | \(\sin\alpha\) | -\(\sin\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\cos\alpha\) | \(-\sin\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) |
| \(\tan\theta\) | \(\cot\alpha\) | -\(\cot\alpha\) | \(-\tan\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(-\cot\alpha\) | \(-\tan\alpha\) |
| \(\cot\theta\) | \(\tan\alpha\) | -\(\tan\alpha\) | \(-\cot\alpha\) | \(\cot\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(-\tan\alpha\) | \(-\cot\alpha\) |
| \(函数/角\theta 所在象限\) | \(第一象限\) | \(第二象限\) | \(第三象\) | \(第四象限\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sin\theta\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\tan\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\cot\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(\alpha\) | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90\) | \(120°\) | \(135°\) | \(150°\) | \(180°\) | \(270°\) | \(360°\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\frac{3\pi}{4}\) | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | 2\pi$ |
| \(\sin\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(\cos\alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\tan\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | \(\infty\) | \(-\sqrt{3}\) | \(-1\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) | \(\infty\) | \(0\) |
| \(\cot\alpha\) | \(\infty\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(-1\) | \(-\sqrt{3}\) | \(\infty\) | \(0\) | \(\infty\) |
倍角公式
- \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
- \(\cos2\alpha=cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)
- \(\sin3\alpha=-4\sin^3\alpha+3\sin\alpha\)
- \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
- \(\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha)\)
- \(\cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha)\)
- \(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2}\)
- \(\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}\)
半角公式
- \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)\)
- \(\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)\)
- \(\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)
- \(\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)
- \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)
- \(\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\)
和差公式
- \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\)
- \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
- \(\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\)
- \(\cot(\alpha\pm\beta）=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}\)
积化和差公式
- \(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\sin（\alpha+\beta）+\sin（\alpha-\beta）\right]\)
- \(\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\sin（\alpha+\beta）-\sin（\alpha-\beta）\right]\)
- \(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos（\alpha+\beta）+\cos（\alpha-\beta）\right]\)
- \(\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left[\cos（\alpha-\beta）-\cos（\alpha+\beta）\right]\)
和差化积公式
- \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
- \(\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\)
- \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
- \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)
万能公式
- \(若\mu=\tan\frac{x}{2}(-\pi < x < \pi)，则\sin\chi=\frac{2\mu}{1+\mu^2}\)
指数运算法则
- \(a^{\alpha}*a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\)
- \(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\)
- \(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha\beta}\)
- \(\left(ab\right)^\alpha=a^{\alpha}b^{\alpha}\)
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha=\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\)
\(其中，a,b是正实数，\alpha,\beta是任意实数\)
对数运算法则
- \(\log_{a}{MN}=\log_{a}{M} \log_{a}{N}\)
- \(\log_{a}{\frac{M}{N}}=\log_{a}{M}-\log_{a}{N}\)
- \(\log_{a}{M^{n}}=n\log_{a}{M}\)
- \(\log_{a}{\sqrt[n]{M}}=\frac{1}{n}\log_{a}{M}\)
一元二次方程基础
- 一元二次方程： \(ax^{2} bx c=0(a\neq0)\)
- 根的公式： \(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)
- 根与系数的关系： \(x_{1} x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)
- 判别式： \(\triangle=b^{2}-4ac:\)
- \(\triangle>0\)，方程有两个不等的实根
- \(\triangle=0\)，方程有两个相等的实根，
- \(\triangle<0\)，方程有两个共轭的复根。
- 抛物线： \(y=ax^{2}+bx+c\) 的顶点：\(\left( -\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\right)\)
因式分解公式
- \((a b)^{2}=a^{2} 2ab b^{2}\)
- \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab b^{2}\)
- \((a b)^{3}=a^{3} 3a^{2}b 3ab^{2} b^{3}\)
- \((a b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b 3ab^{2}-b^{3}\)
- \((a b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)
- \(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2} ab b^{2})\)
- \(a^{3} b^{3}=(a b)(a^{2}-ab b^{2})\)
- \(a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1} a^{n-2}b ... ab^{n-2} b^{n-1})\) (n是正整数)
- n是正偶数时，\(a^{n}-b^{n}=(a b)(a^{n-1}-a^{n-2}b ... ab^{n-2}-b^{n-1})\)
- n是正奇数时，\(a^{n} b^{n}=(a b)(a^{n-1}-a^{n-2}b ...-ab^{n-2} b^{n-1})\)
阶乘与双阶乘
- \(n!= 1\times2\times3\times ... \times n，规定0!=1\)
- \((2n)!! = 2\times4\times6\times ... \times 2n=2^n\cdot n!\)
- \((2n-1)!! = 1\times3\times5\times ... \times (2n-1)\)
