[数学]线性代数复习总结
线性代数部分
Part I 行列式
行列式的定义与性质
\[\left| \begin{array}{cc}
a_{11} & b_{12} \\
c_{21} & d_{22}
\end{array} \right| = a_{11} b_{12} - c_{21} d_{22}
\]
- 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在\(n\) 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
二阶行列式定义
定义：二阶行列式是以两个行向量为领边的平行四边形的面积
\[\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & b_{12} \\
c_{21} & d_{22}
\end{array}
\right|
\Rightarrow S=a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}
\]
- \(S=l\cdot m \cdot sin(b-a)=l \cdot m \cdot (sinbcosa - cosbsina) = a_{11} b_{12}-c_{21} d_{22}\)
三阶行列式定义
定义：三阶行列式是以三个行向量为棱边的平行六面体的体积
\[\left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots && \vdots \\
a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{array}
\right| \_{n\times n}
\]
n阶行列式定义
n阶行列式是由n维向量组成，其结果为n维图形的体积
行列式重要观点
\[D_n=|A_{n \times n}| \begin{cases}
\neq 0 \Rightarrow 组成行列式的向量线性无关 \\
=0 \Rightarrow 组成行列式的向量线性相关
\end{cases}
\]
行列式的7大性质
\[(习惯上a=\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_3 \\
\vdots \\
a_n
\end{array} \right) 列向量)
,\ 其中
a=\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right)=(1 2 3 4)^T,
T称为A的转置
\]
- 行列互换，其值不变，\(|A|=|A^T|\)
- 行列式中某行（列）元素全为0，则行列式为0
- “倍乘”性质 行列式中某行（列）元素有公因子k(k!=0),则k可以提到行列式外面，即：\[\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2}& \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| _{n\times n} = k \cdot\left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2}& \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array}\right|_{n\times n} \]
- “互换”性质
行列式中某行（列）元素是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即：
\[\left| \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2}& \cdots & a_{in}+b_{in}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\
a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{array}\right| = \left| \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots &&\vdots \\
a_{i1} & a_{i2}& \cdots & a_{in}\\
\vdots & \vdots &&\vdots \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{array}\right | + \left | \begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\
b_{i1} & b_{i2}& \cdots & b_{in}\\
\vdots & \vdots &&\vdots \\
a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]
- Note：等式从左到右是两个 行列式相加的运算，如果两个行列式的其他元素对应相等，之育雏一行（列）不同时，可以相加，相加时其他元素不变，不同元素的行（列）对应相加即可。
- “互换”性质
行列式中两行（列）互换，行列式的值反号 - 行列式中两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为0
- “倍加”性质
行列式中两行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不变
行列式展开定理
- 余子式
在n阶行列式中，去掉元素\(a_{ij}\)所在的第i行，第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素\(a_{ij}\)的余子式，记成\(M_{ij}\),即：
\[ M_{i,j}=\left | \begin{array}{cc}
a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots && \vdots& \vdots & &\vdots \\
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\
\vdots && \vdots & &\vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]
-
代数余子式
余子式\(M_{ij}\)乘\((-1)^{i+j}\)后称为代数余子式，记为\(A_{ij}\), 即\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，显然也有\(M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}\) -
行列式按某一行（列）展开的展开公式
行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即：
\[ |A|=\begin{cases}
a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots +a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(i=1,2,\cdots,n) \\
a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ \cdots +a_{nj}A_{nj}=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}(j=1,2,\cdots,n)
\end{cases}
\]
几个重要的行列式
1. 上下三角形行列式
\[ \left| \begin{array}{c}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{21} & \cdots & 0 \\
\vdots& \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right| = \left| \begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots& \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right| = \left| \begin{array}{c}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right| = \prod_{i=1}^n a_{ii}
\]
2. 副对角线行列式
\[ \left| \begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n-1} &a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2,n-1}&0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{n1} & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right| = \left| \begin{array}{c}
0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\
0 & \cdots &a_{2,n-1}&a_{2n} \\
\vdots && \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{nn}
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{c}
0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\
0 & \cdots &a_{2,n-1}&0 \\
\vdots && \vdots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2} }a_{1n} a_{2,n-1} \cdots a_{n1}
\]
3. 范德蒙行列式
\[ \left| \begin{array}{c}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\
x_{1}^2 & x_{2}^2 & \cdots & x_{n}^2 \\
\vdots& \vdots & & \vdots \\
x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}
\end{array}\right| = \prod_{1\leq i \leq j \leq n}(x_j-x_i)
\]
4. 行和或列和相等的行列式（行和是指每一行元素相加的和，列和同理）
\[ \left| \begin{array}{c}
a & b & b & \cdots &b \\
b &a &b & \cdots &b \\
b & b & a & \cdots &b \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
b & b & b & \cdots & a
\end{array} \right| = [a+(n-1)b] (a-b)^{n-1}
\]
Part II 矩阵
矩阵的定义
由m*n个数，排成m行n列的矩阵表格, 称为一个\(m \times n\)的矩阵，简记为\(A\)或\((a \_ {ij})\_ {m\times n}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 当\(m=n\)时，称为n阶方阵。
\[\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
\cdot & \cdot & & \cdot \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
两个矩阵\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}, B=(b\_{ij})\_{s\times k}\),若\(m=s,n=k\),则称\(A\)与\(B\)为同型矩阵
矩阵的基本运算
- 相等：
\(A=(a\_{ij})\_{m\times n}=B=(b\_{ij})\_{s\times k}\Leftrightarrow m=s,n=k,且a\_{ij}=b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 即\(A，B\)是同型矩阵，且对应元素相等 - 加法：两个矩阵是同型矩阵时可以相加，即：
\(C=A+B=(a\_{ij})\_{m\times n}+(b_{ij})_{m\times n}=(c\_{ij})\_{m\times n},其中，c\_{ij}=a\_{ij}+b\_{ij}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\), 即对应元素相加 - 数乘矩阵：设K是一个数，A是一个m*n矩阵，数K和A的乘积称为数乘矩阵，即A的每个元素都乘以K
\(kA=Ak=k\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ \cdot & \cdot && \cdot \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}=(ka_{ij})_{m\times n}\) - 矩阵的乘法：
设\(A\)是\(m\times s\)矩阵,\(B\)是\(s\times n\)矩阵(矩阵\(A\)的列数必须与矩阵B的行数相等),则\(AB\)可乘，乘积\(AB\)是\(m\times n\)矩阵，记\(C=AB=(c_{ij})\_{m\times n}\)。\(C\)的第i行第j列元素\(c\_{ij}\)是\(A\)的第i行的s个元素与B的第j列的s个对应元素两两相乘之和，即：\(c_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{is}b_{sj}(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\)
- 矩阵乘法满足下列运算规律：
-
结合律：
\((A_{m\times s}B_{s \times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s \times r}C_{r\times n})\) -
分配律：
- \(A_{m\times s}(B_{s \times r}+C_{s\times n})=A_{m\times s}B_{s \times r}+A_{m\times s}C_{s\times n}\)
- \((A_{m\times s}+B_{m \times s})+C_{s\times n}=A_{m\times s}C_{s \times n}+B_{m\times s}C_{s\times n}\)
-
数乘与矩阵乘积的结合律：
\((kA_{m\times s})B_{s \times n}=A_{m\times s}(kB_{s \times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})\)Note: 矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即\(AB \neq BA\)
初等变换
- 一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
- 互换矩阵中某两行(列)的位置
- 将某行(列)的k背加到另一行(列)
以上三种变换称为矩阵的三种初等行(列)变换，且分别称为倍乘、互换、倍加初等行(列)变换
可逆阵（方）定义
对于\(A_{n\times n}、B_{n \times n}\)，若\(AB=E\)，则\(A，B\)可逆，且\(BA=E，A^{-1}=B，B^{-1}=A，AB=BA\)
可逆阵（方）性质-5个
- \((A^{-1})^{-1}=A\)
- \(k\neq 0, (kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\)
- \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)，即A的转置的逆等于A的逆的转置
- \(|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}\)，即A的逆的行列式等于A的行列式分之一
伴随阵定义
定义
\[ A^*=\left| \begin{array}{c}
A_{11} & A_{21} & \cdots &A_{n1} \\
A_{11} & A_{21} &\cdots &A_{n1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} &\cdots &A_{nn}
\end{array}\right|
\]
\(A_{ij}\)为\(A\)的\(a_{ij}\)的代数余子式，任何n阶矩阵必有伴随矩阵
伴随阵计算
计算
\[AA^{\ *}=\left(\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}
|A| & a \\
0 & |A|
\end{array}\right) = |A|E
\]
计算\(AA^{\ *} =A^{\ *}A=|A|E\), 即A乘A的伴随 = A的伴随乘A = A的行列式乘以单位矩阵
伴随阵常用结论及其推论（|A|!=0 <=> |A| 可逆）- 6个
- \(|A^{\ *}|=|A|^{n-1}\)
- \(k\neq 0, (kA)^{\ *}=k^{n-1}|A|A^{-1}=k^{n-1}A^{\ *}\)
- \((A^T)^{\ *}=(A^{\ *})^T\)
- \((A^{-1})^{\ *}=(A^{\ *})^{-1}\)
- \((A^\ *)^{\ *}=|A|^{n-2}\cdot A\)
- \((AB)^{\ *}=B^*A^{\ *} \ ,\ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\ ,\ (AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)
初等阵定义
单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵，叫初等阵
\[E_3=\left(\begin{array}{c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \begin{cases}
1.\left(\begin{array}{c}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)，互换初等阵 \\
\\
2.\left(\begin{array}{c}
1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)，倍加初等阵 \\
\\
3. \left(\begin{array}{c}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 6
\end{array}\right)，倍乘初等阵
\end{cases}
\]
初等阵性质
- \(E_{i(k)}^{-1}=E_{i(\frac{1}{k})}\ ,\ E_{ij}^{-1}=E_{ij} \ ,\ E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)\)
- 左行右列定理：初等阵P左乘（右乘）A得PA（AP），就是对A做了一次与P相同的初等行（列）变换
求A的逆-伴随矩阵法
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}\) (多用于2、3阶)
- 求\(|A|\)
- 求\(A^{*}\)
- 写\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}\)
求A的逆-初等变换法
任何可逆矩阵A一定可以通过若干次初等行变换，化成同阶单位阵E，\(即 P_n\cdots P_2P_1A=E\ ,\ P_n\cdots P_2P_1E=A^{-1}\) \(\Rightarrow (A|E) \Rightarrow (E|A^{-1})\)
矩阵方程定义
\(AX=B,\ XA=BA,\ XB=C\)
基础命题：
- 若A可逆 \(\Rightarrow X=A^{-1}B\)
- 若A可逆 \(\Rightarrow X=BA^{-1}\)
- A、B可逆 \(\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\)
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