[数学]高等数学复习总结
一、微积分部分
- 一、微积分部分
Part I 极限与连续
泰勒公式
任何可导函数 \(f(x)=\sum a_{n}x^{n}\)，
\(x\rightarrow 0\)时
- \(sinx=x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arcsinx=x+\frac{1}{6}x^{^{3}}+o(x^{^{3}})\)
- \(tanx=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(arctanx=x-\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})\)
- \(cosx=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}+o(x^{4})\)
- \(e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+o(x^{4})\)
- \(\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+o(x^{3})(\left | x \leq 1\right |)\)
基本微分公式
-
\(({x^{n}})'=nx^{n-1}\)
-
\({(a^{x})}'=a^{x}lna\)
-
\({(e^{x})}'=e^{x}\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^{2}x\)
-
\({(cotx)}'=-csc^{2}x\)
-
\({(secx)}'=secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^{2}}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^{2}+1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
-
\(({ln(x+\sqrt{x^{2}-1})})'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\)
常用等价无穷小
- \(x \rightarrow 0\)
- \(sin x \sim x\)
- \(arcsin x \sim x\)
- \(tan x \sim x\)
- \(arctan x \sim x\)
- \(e^{x} - 1 \sim x\)
- \(ln(1 + x) \sim x\)
- \((1 + x)^{\alpha } - 1 \sim \alpha x\)
- \(1 - cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\)
函数极限定义
\(\lim \limits_{x \to x0}f(x)=A \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta >0, 当 0<\left | x-x0 \right |< \delta\) 时，有 \(\left | f(x)-A \right | < \epsilon\)
数列极限数列极限
n为自然数， n→\(\infty\),专指n→+\(\infty\),而略去"+"不写
\(\lim \limits_{x \rightarrow \infty}x_{0}=A \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists N>0, 当 n>N时，有 |x_{0}-A|<\epsilon\)
极限的性质
唯一性、局部有限性、局部保号性
极限的唯一性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则A唯一\)
极限的局部有限性
$若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A，则 \exists M>0, \delta>0,当0<|x-x_{0}|<\delta时,恒有|f(x)|< M $
极限的局部保号性
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A>0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)>0\)
\(若\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A<0,则x\rightarrow x_{0}时，f(x)<0\)
函数极限计算三板斧
-
等价无穷小，泰勒公式，洛必达法则。
-
这个顺序来源于杨超。
七种不定形
- \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty \cdot 0\), \(\infty \cdot \infty\), \(\infty^{0}\), \(0^{0}\), \(1^{\infty}\)
【注】 0不是真的0， 1不是真的1
洛必达法则
-
若\(\lim \limits_{x \to *}f(x)=0, \lim \limits_{x \to *}=0\)，且\(\lim \limits_{x \to *} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\exists\),
则\(\lim \limits_{x \to *}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to *}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}\) -
隐含条件：f(x), g(x)都为无穷小量，都可导，导函数比值的极限存在
数列极限运算法则
- 若\(x_{n}\)易于连续化，转化为函数极限计算
依据：
\(\lim \limits_{x \to +\infty}f(x)=A, 则\lim \limits_{x \rightarrow \infty}f(n)=A\) - 若\(x_{n}\)不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）
- 若\(x_{n}\)由递推式 \(x_{0}=f(x_{n-1})\) 给出，用“单调有界准则”
\(给出 x_{n},若 x_{n} 单增且有上界或者单减且有下界 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty}x_{0} \exists \Leftrightarrow {x_{0}} 收敛\)
夹逼准则
它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。
设\(I\)为包含某点\(a\)的区间，\(f,g,h\)为定义在\(I\)上的函数。若对于所有属于\(I\)而不等于\(a\)的\(x\)，有：
\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)，\(\lim \limits_{x \to a}g(x)=\lim \limits_{x\to a}h(x)=L\)；则\(\lim \limits_{x\to a}f(x)=L\)。
\(g(x)\)和\(h(x)\)分别称为\(f(x)\)的下界和上界。\(a\)若在\(I\)的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于\(x \to \infty\)，这个定理还是可用的。
极限的连续与间断的基本常识
任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：
-
分段函数的分段点（可能间断）
-
无定义点（必然间断）
连续的定义
- \(若\lim \limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0}), 则f(x)称在x=x_{0}处连续\)
- Note：\(\lim \limits_{x \to x_{0}^{+}}f(x)= \lim \limits_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) 三者相等才连续\)
有界性定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(\exists K>0,使得|f(x)| \leq K, \forall x \in[a,b]\)
最值定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当m\leq \mu \leq M时，其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小最大值\)
介值定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当m\leq \mu \leq M时，则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi)=0\)
零点定理
设f(x)在[a,b]连续，则：
\(当f(a) \cdot f(b)<0时，则\exists \xi \in (a,b),使f(\xi)=0\)
间断的定义
- \(设f(x)在 x=x_{0}点的某去心领域有定义\)
- 1⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{+}}}f(x)\)
- 2⃣️ \(\lim \limits_{x \to x_{0^{-}}}f(x)\)
- 3⃣️ \(f(x)\)
-
第一类间断点 1⃣️ 2⃣️ 均存在，且
- 1⃣️\(\neq\) 2⃣️: \(x_{0}\)为跳跃间断点
- 1⃣️ = 2⃣️ \(\neq\) 3⃣️: \(x_{0}\)为可去间断点
-
第二类间断点 1⃣️ 2⃣️ 至少一个不存在（目前为止考研只考了 1⃣️ 2⃣️均不存在）
- 若不存在 = \(\infty \Rightarrow\)无穷间断点
- 若不存在 = 震荡 \(\Rightarrow\) 震荡间断点
【Note】
- 单侧定义不讨论间断性
- 若出现左右一边是震荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论
Part II 导数与微分
一元函数微分的定义
\(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} 记为{f}'(x_{0})\)
一元函数定义注意点
- 左右有别
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{+}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 右导数\)
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0_{-}} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0})}{\triangle x} = {f}'(x_{0}) 左导数\)
- \(因此{f}'(x_{0})存在\Leftrightarrow {f}'_{-}(x_{0}={f}'_{+}(x_{0})\)
- 广义化狗
- \(\triangle x \rightarrow (广义化)狗\)
- \(\lim \limits_{狗 \to 0} \frac{f(x_{0}+狗)-f(x_{0})}{狗}\)
- 一静一动
- \(\lim \limits_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0}+\triangle x)-f(x_{0}-\triangle x)}{2\triangle x}={f}'(x_{0})...就是典型错误\)
- 换元法
- \(换元法，令x_{0}+\triangle x =x \Rightarrow \lim \limits_{ x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}={f}'(x_{0})\)
基本求导公式
-
\({(x^a)}'=ax^{a-1}\)
-
\({(a^x)}'=a^xlna\)
-
\({(e^x)}'=e^x\)
-
\({(lnx)}'=\frac{1}{x}\)
-
\({(sinx)}'=cosx\)
-
\({(cosx)}'=-sinx\)
-
\({(tanx)}'=sec^2x\)
-
\({(cotx)}'=-cscx^2x\)
-
\({(secx)}'=-secxtanx\)
-
\({(cscx)}'=-cscxcotx\)
-
\({(arcsinx)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arccosx)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
-
\({(arctanx)}'=\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(arccotx)}'=-\frac{1}{1+x^2}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2+1}))}'=\frac{1}{x^2+1}\)
-
\({(ln(x+\sqrt{x^2-1}))}'=\frac{1}{x^2-1}\)
基本求导方法
复合函数求导、隐函数求导、对数求导法、反函数求导、参数方程求导
复合函数求导
复合函数一层层分层求导，幂指函数化为复合指数函数
隐函数求导
显函数：y=f(x),隐函数F(x,y)=0
方法：在F(x,y)=0两遍同时对x求导，只需注意y=y(x)即可(复合求导)
对数求导法
对多项目相乘、相除、开方乘方得来的式子，先取对数再求导，称为对数求导。
反函数求导
\(\frac{dy}{dx}={y}' \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{y}'}\)
参数方程求导
\(\begin{cases} {x=x(t)} &\\ {y=y(t)} \end{cases},t为参数\)
显函数
解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
一个函数如果能用形如 的解析式表示，其中 分别是函数的自变量与因变量，则此函数称为显函数，如 等都是显函数。
隐函数
隐函数（implicit function）是由隐式方程所隐含定义的函数，比如\(y={\sqrt {1-x^{2}}}\)是由\(x^{2}+y^{2}-1=0\)确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如\(y=\cos(x)\)。
Part III 中值定理与一元微分学应用
1. 中值定理
费马定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
柯西、拉格朗日、罗尔三者间的关系
柯西中值定理 → 拉格朗日中值定理 → 罗尔定理。But 拉格朗日中值定理 !→ 柯西中值定理
涉及f(x)的应用，可能需要用到的定理
有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理
罗尔定理的应用范式
\(f(a)=f(b) \Rightarrow {f}'(\xi)=0\)
罗尔定理的关键，以及达成这个关键的两个途径
关键：\(F(a)=F(b) \Rightarrow {F}'(\xi)=0\)
两个途径：
- 求导公式逆用法
- 积分还原法
- 将欲证结论中的\(\xi 改为 x\)
- 积分，令c=0
- 移项，使等式一端为0，则另一端记为F(x)
2. 单调性与极值
导数的几何应用有哪些
三点两性一线：极值点、最值点、拐点；单调性，凹凸性；渐近线
极值的定义需要注意的地方
必须是双侧定义，否则不考虑极值
广义极值
\(\exists x_{0}的某个邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)
狭义极值（真正极值）
\(\exists x_{0}的某个【去心】邻域， \forall x\in U(x_{0}, \delta) ,都有f(x) \leq f(x_{0})，则x_{0}为f(x)的真正极大值点\)
单调性与极值判别
- \(若{f}'(x)>0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递增；若{f}'(x)<0, \forall x \in I，则f(x)在I上单调递减；\)
-
\[ 若f(x)在x= x_{0}处连续，在U(x_{0}, \delta)内可导，则\begin{cases} 当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)<0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)>0，\Rightarrow 极小 \\ 当x_{0} \in(x_{0}-\delta, x_{0})时, {f}'(x)>0，当x_{0}\in (x_{0}, x_{0}+\delta)时，{f}'(x)<0，\Rightarrow 极大 \\ 若{f}'(x)在(x_{0}-\delta, x_{0})与(x_{0}, x_{0}+\delta)内不变号 \Rightarrow 不是极值 \end{cases} \]
- \(若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})>0 \Rightarrow 极小值；若f(x)在x=x_{0}处二阶可导，{f}'(x_{0})=0，{f}''(x_{0})<0 \Rightarrow 极大值\)
3. 零碎问题
函数的凹凸性
函数拐点
连续曲线凹凸弧的分界点
拐点判别法
设f(x)在I上二阶可导
- \( \begin{cases} 若{f}''(x_0)>0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凹的 \\ 若{f}''(x_0)<0，\forall x\in I \Rightarrow f(x)是凸的 \end{cases} \)
- \(若f(x)在x_0点的左右邻域{f}''(x)变号 \Rightarrow (x_0,f(x_0))为拐点\)
铅直渐近线
\(若\lim \limits_{x \to x_0^+(或x_0^-)}f(x)=\infty，则称x=x_0为f(x)的一条铅直渐进线\)
出现在：无定义点 || 开区间端点
水平渐近线
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}f(x)=A，则称y=A为f(x)的一条水平渐进线\)
斜渐近线
\(若\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)} \frac{f(x)}{x}=a\neq0，且\lim \limits_{x \to +\infty(或-\infty)}[f(x)-ax]=b \exists,则称y=ax+b为f(x)的一条斜渐进线\)
函数的最值的求法
- $
对于函数f(x)，在[a,b]上找出三类点\begin{cases}
{f}'x=0 \Rightarrow x_0驻点 \
{f}'(x)!\exists \Rightarrow不可导点 \
端点a,b
\end{cases}
$
\(比较f(x_0),f(x_1),f(a),f(b)大小取其最大(最小)值为最大(最小)值\) - \(若在I上求出唯一极大(极小)值点，则由实际背景确定最大(小)值\)
Part IV 一元函数积分学
不定积分定义
\(\forall x\in I,\ 使{F}'(x)=f(x)成立，则称F(x)在f(x)在I上的一个原函数。全体原函数就叫不定积分，记成：\int f(x)dx=F(x)+C\)
定积分定义
\(\int_{a}^{b} f(x)dx\)
不定积分与定积分的几何意义
\(\int f(x)dx为函数族，\int_{a}^{b} f(x)dx 为面积代表值\)
牛顿-莱布尼兹公式 / N-L 公式
\(\int_{a}^{b} f(x)dx =F(x)\mid_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)\)
基本积分公式
\(\int x^kdx=\frac{1}{k+1}x^{k+1}+C\)
\( k\neq1 \begin{cases} \int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C \\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C \end{cases} \)
\(\int \frac{1}{x}dx = lin|x|+C\)
\(\int a^xdx=\frac{1}{lna}a^x+C，a>0, a\neq1\)
\(\int e^xdx=e^x+C\)
\(\int sinxdx=-cosx+C\)
\(\int cosxdx=sinx+C\)
\(\int tanxdx=-ln|cosx|+C\)
\(\int cotxdx=ln|sinx|+C\)
\(\int secxdx=ln|secx - tanx|+C\)
\(\int cscxdx=ln|cscx - cotx|+C\)
\(\int sec^2xdx=-cotx+C\)
\(\int secxtanxdx=secx+C\)
\(\int secxcotxdx=-cscx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsinx+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})+C\)
\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln(x+\sqrt{x^2-a^2})+C\)
\(\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+C\)
\(\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}arctan{\frac{x}{a}}+C\)
\(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{a+x}{a-x}}+C\)
\(\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln{\frac{x-a}{x+a}}+C\)
\(\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\)
点火公式(华里士公式)
- $ I_n=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}sinnxdx=\int_{\frac{\pi}{2}}{0}cosnxdx=\begin{cases}
\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & n为正整数 \
\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot\cdot\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & n为大于1的正奇数
\end{cases}$ - 偶数时点火成功乘 \(\frac{\pi}2\)，奇数时点火失败以 1 打止
积分-换元法的三板斧
- 当凑微分法不成功时，考虑换元，从而使题目从复杂变简单
-
三角换元
- \(三角换元--当被积函数f(x)含有\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}\)
- \(\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=asint,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=atant,(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2})\)
- \(\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=asect,\begin{cases}x>0,0\leq t\leq \frac{\pi}{2}\\ x<0,\frac{\pi}{2}\leq t \leq \pi\end{cases}\)
- Note：\(若见到\sqrt{ax^2+bx+c}，要先化为\sqrt{\phi^2(x)-k^2}，\sqrt{k^2-\phi^2(x)}，\sqrt{\phi^2(x)+k^2}，再做三角换元\)
-
倒带换
\((x=\frac{1}{t})---可用于分子次数明显低于分母次数的情况\) -
复杂部分换元——令复杂部分=t
\(\begin{cases}\sqrt[n]{ax+b}ax+b=t，\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t，\sqrt{ae^{bx}+c}=t，(根式代换)\\ a^x,e^x=t，(指数代换) \\ lnx=t，(对数代换)\\ arcsinx,arctanx=t，(反三角函数代换)\end{cases}\)
分部积分法
\(\int udv=uv- \int vdu (前面的积分困难，后面的积分简单)\)
反对幂指三，排前面的求导，排后面的积分
有理函数积分法
- 定义:\(形如\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx,(n<m)的积分\)
- \(将\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}拆成若干最简有理分式之和\)
- 拆分原则
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 产生k项\)：
\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_k}{(ax+b)^k},k=1,2 \cdot \cdot \cdot\) - \(Q_m(x)分解出(px^2+qx+r)^k \Rightarrow 产生k项\)：
\(\frac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r} + \frac{A_2x+B_2}{(px^2+qx+r)^2} + \cdot\cdot\cdot + \frac{A_kx+B_k}{(px^2+qx+r)^k},k=1,2 \cdot\cdot\cdot\)
- \(Q_m(x)分解出(ax+b)^k\Rightarrow 产生k项\)：
积分中值定理
\(若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x) = f(\xi)(b-a)\)
\(若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，g(x)在闭区间[a,b]上不变号且可积，则\exists \xi \in (a,b)，使得\int_a^bf(x)g(x) = f(\xi)\int_a^bg(x)\)
定积分的计算
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)
- 先按四大积分法求出F(x)
- 带入上下限，要注意换元时的细节：
\(对于\int_a^bf(x)dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt, (令x=\phi(t))；且要求{\phi}'(t) 连续，且x=\phi(t)不超过区间[a,b]\)
用积分表达和计算平面图形的面积
\(y=y_1(x), y=y_2(x), x=a, x=b, (a < b) 所围成的平面图形的面积：\)
\(S=\int_a^b|y_2(x)-y_1(x)|dx\)
用积分表达和计算旋转体的体积
- \(y=y(x)与x=a,x=b, (a < b ) 及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx\)
- \(y=y(x)与x=a,x=b,( a < b ) 及x轴所围图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积为：V_y=\int_a^b2\pi x |y(x)|dx, (柱壳法)\)
用积分表达和计算函数的平均值---y(x)在[a,b]上的平均值是
\(y(x)在[a,b]上的平均值\overline{y}=\frac{\int_a^by(x)dx}{b-a}\)
Part V 多元函数微分学
多元函数微分的极限定义
\(设f(x,y)的定义域为D,P_0(x_0,y_0)是D的聚点(=内点+边界点), \forall \epsilon>0,\exists \delta>0,当P(x,y)\in D \cap U(P_0, \delta )时，恒有|f(x,y)-A|<\epsilon \Rightarrow \lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=A\)
多元函数微分的连续性
\(\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y)=f(x_0,y_0),则称f(x,y)在（x_0,y_0）处连续\)
\(【注】\lim_{x\to x_0 , y\to y_0}f(x,y) \neq f(x_0,y_0),叫不连续，不讨论间断类型\)
多元函数微分的偏导数 z=f(x, y)
- \(\frac{\partial f }{\partial x}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_x(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim_{\triangle x \to \infty}\frac{f(x\_0+\triangle x, y\_0)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle x}\)
- \(\frac{\partial f }{\partial y}|\_{(x\_0,y\_0)}={f}'\_y(x\_0,y\_0) \underline{\underline{\triangle}}\lim\_{\triangle y \to \infty}\frac{f(x\_0, y\_0+\triangle y)-f(x\_0,y\_0)}{\triangle y}\)
多元函数微分-链式求导规则
\(设z=f(u,v,w), u=u(y), v=v(x,y), w=w(x)。称x,y叫做自变量，u,v,w叫做中间变量,z叫因变量.\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函数-高阶偏导数
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
多元函数-无条件极值-必要条件
\(设z=f(x,y)在点(x_0, y_0)处\begin{cases} 一阶偏导数存在\\ 取极值 \end{cases} ，则{f}'_x(x_0, y_0)=0,{f}'_y(x_0, y_0)=0\)
【注】适用于三元及以上(常考2-5元)
多元函数-无条件极值-充分条件
- Note：只适用于二元
多元函数-条件极值-求法
- 提法：\(求目标函数u=f(x,y,z)在约束条件\begin{cases} M (x,y,z)=0\\ N(x,y,z)=0 \end{cases} 下的极值\)
- 拉氏乘数法：
- \(构造辅助函数F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda M(x,y,z)+\mu N(x,y,z)，(\lambda,\mu均可能取0)\)
- \(令{F}'(x)=0,{F}'(y)=0,{F}'(z)=0,{F}'(\lambda)=0,{F}'(\mu)=0\)
- \(解方程组 \Rightarrow P_i(x_i, y_i, z_i) \Rightarrow u(P_i)，比较 \Rightarrow取最大、最小者为最大值，最小值\)
Part VI 重积分
二重积分的普通对称性
- \(设D关于y轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
- \(设D关于x轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）
轮换对称性：
\(若将D中的x与y对调，可推出D不变，则：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即为轮换对称性\)
二重积分直角坐标系下的积分方法
\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)
- \(X型区域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)
后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线 - \(Y型区域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)
二重积分极坐标系下的积分方法
\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)
二重积分中值定理
\(f(x,y)在有界闭区域D上连续，\sigma_{0}是D的面积，则在D内至少存在一点(\xi,\mu)，使得\iint_{D} f(x,y)d\sigma = f(\xi,\mu)\sigma_{0}\)
Part VII 微分方程
微分方程的概念
- \(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)
- 阶数一方程中y的最高阶导数的阶数
\(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二阶微分方程，\begin{cases} n=1,一阶\\ n\geq2,高阶 \end{cases}\) - 通解 --- 解中所含独立常数的个数=方程的阶数
一阶微分方程求解-变量可分离型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)
一阶微分方程求解-齐次型
\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)
一阶微分方程求解-一阶线性型
\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)为已知函数 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)
二阶常系数齐次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q为常数
- \(写\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)
- \(\begin{cases} \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} \\ \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\ \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x}) \end{cases}\)
二阶常系数非齐D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)
- \(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型
- 解法
- 解的结构：\(y_{通解}=y_{齐次通解}+y_{非齐次特解}^*\)
- 求齐次通解：按照前面的方法求出
- 求特解：
- 设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）
- 由k与特征方程的根的情况决定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)
- \(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)
- \(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一个x）
- \(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘两个x）
- 求出\(y'^*,\ y''^*\)，带入原方程，化简，解出待定系数a，b
- 将a，b带入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解
- 组合：最后结果为 齐次通解+特解
- 解法
