[数学思维]波利亚*如何解题-读书笔记

怎样解题四步骤
第一:理解题目
        你必须充分理解题目.
                    未知量或已知数据
                                未知量有哪些?
                                未知量之间存在何种联系?
                                求未知量的最终目的是什么?
                    已知量或已知数据
                                已知数据是什么?
                                已知数据有哪些?
                                已知数据对于未知数据有何种帮助或有何种联系?
                                已知数据是否满足或适用当前的条件?
                    条件及情况.
                                条件是什么?
                                条件有可能实现吗?
                                条件是否足以确定未知量?
                                         或者条件不够充分?
                                         或者条件多余?
                                         或者条件矛盾?
                        画出一张图,引入适当的符号
                        将条件的不同部分分开

第二:拟定方案
        找出已知数据与未知量之间的联系.
        如果找不到直接联系,则考虑间接辅助
        最终你应该得到一个解题方案
                    寻找共同点,题型归类,缩小方向,制定计划
                    你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍加不同的形式出现吗？
                    你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？
                    观察未知量！尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目．
                    这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过．
                    你能利用它吗？
                    你能利用它的结果吗？
                    你能利用它的方法吗？
                    为了有可能应用它，你是否应该考虑引入某个辅助元素
                    你能重新叙述这道题目吗？
                    你还能以不同的方式去叙述它吗？
                    回到定义上去．
                    如果你不能解所提出的问题，先尝试去解决某道有关的题目．
        普遍化或特殊化
                    你能否想到一道更容易着手的相关题目？一道更为普遍化的题目？一道更为特殊化的题目？一道类似的题目？
        拆分,变形,演化
                    你能解出这类题目的一部分吗？只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎么样变化？
        信息提取,建立联系
                    你能从已知数据中得出一些有用的东西吗？
                    你能够想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗？
                    你能够改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使得新的未知量和新的已知数据彼此更加接近吗？
                    重新审视信息及概念
                    你用到所有的已知数据了吗？
                    你用到全部的条件了吗？
                    你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗?

第三:执行计划
        执行拟定的解题方案
        执行你的解题方案,检查每一个步骤.
                    你能清楚地看出这个步骤是正确的吗?
                    你能否证明它是正确的?

第四:回顾检查
        检查已经得到的解答
                    你能检验这个结果吗?
                                对这些问题作出很好的回答,能够加强我们对解答的信任,也有助于巩固我们的知识.
                                数字题的数值解可以通过把它们与观测得到的数字或者可观测数字在常识上的估计值加以比较来验证.因为出于实际需要或者天生好奇心而提出的那些题目,几乎都是以事实为目标的,所以可以预料人们很少会忽略这种与可观测事实的比较.
                    "文字题"比"数字题"更容易接受检验,也更有趣.
                                在一步一步地检验一个论证时,我们应该避免单纯的重复.
                                首先,单纯的重复容易使人厌烦,缺乏启发性,导致注意力涣散.
                                其次,如果情况与上一次相同,我们很可能在犯过错误的地方再错一次.
                    如果我们觉得有必要将整个论证一步一步地再过一遍的话,我们至少应该改变一下这些步骤的次序或组合,来引入一些变化.
                                挑选出论证中最薄弱的点并首先进行检验,这种做法少费力气,也比较有意思.在挑选出论证中那些值得检验的点时,有一个问题十分有用:你用到所有的已知数据了吗?
                                我们的非数学知识不能完全基于形式上的证明.我们日常知识中较为牢固的那部分不断地被我们日常的经历所验证和巩固.在自然科学中,以观察来验证进行得更加系统化.物理科学中的这种验证才去仔细的实验和测量的形式,同时与数学论证相结合.
                    你能检验这个论证吗?
                                你能以不同的方式推导这个结果吗?
                                你能一眼就看出它来吗?
                    你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?


解题方法论
        熟悉题目
                    我应该从哪里开始? 
                                从题目的叙述开始.
                    我能做什么?
                                尽可能清晰,生动地使整个题目形象化.
                                展示抛开细节.
                    这样做我能够得到什么呢?
        你应该理解题目,熟悉题目,将目标印入脑海.
                    对题目投入注意力,可能也会激发起你的记忆,并为重新回忆起相关的一些问题做好准备.

深入理解题目
            我应该从哪里开始? 
                        仍然从题目的叙述开始.
                        当你对题目的叙述已经很清楚,并在脑海里留下深刻的印象,以至于即使你有一会不去看它也不会担心把它全部忘掉时,就可以开始了
            我能做什么? 
                         将题目的主要部分分离处理. 
                                    前提和结论是一个"证明题"的主要部分; 
                                    未知量,已知量和条件是一个"求解题"的主要部分. 
                                    仔细阅读题目的各个主要部分,一个接一个地依次对它们以不同的方式 组合起来加以考虑,
                                    把每个细节同其他一些细节以及每个问题同整个题目联系起来.
            这样做我能得到什么? 
            你应该准备好并弄清楚那些以后很可能会起作用的细节.

寻求有用的思路
            我应该从哪里开始?
                        从考虑问题的主要部分开始.
                        由于你前面所做的工作,当题目的那些主要部分已经清楚地整理好,而且想明白了,并且你的记忆也活跃起来的时候,你就可以开始了.
            我能做什么?
                        你要从不同的方面来考虑问题,并且寻找与你过去所获知识之间的联系.
            从不同的方面来考虑问题
                        强调不同的部分,考察不同的细节,从不同的途径反复考察同一个细节,以不同的方式组合这些细节,从不同的角度来处理它们.
                        尝试在每一个细节中发现新的意义,在整体中发现新的解释.
                        寻找与你过去所获知识之间的联系.
                        试着想想过去在类似情况下是什么帮助了你.
                        试着在你考察的过程中认出一些你的熟悉的东西,试着在你认清的东西中发现一些有用的东西.
            我能想到什么?
                        一个有用的念头,也许是一个决定性的念头,它能够在一瞥之间就为你指出通向最终目的的途径.
            怎么样才是一个有用的念头?
                        它为你指示整个或部分的途径,它或多或少清晰地建议你该如何继续.
                        念头多少是完整的.
                        只要你有任何一个念头,就很幸运了.
            如何处理一个不完整的念头?
                        你应该考虑它.
                        如果它看上去很有利,你就应该考虑得更久一些;
                        如果它看上去很可靠,你就应该弄清楚它能引导你到多远,并重新考虑整个情况.
                        由于这个有用的念头,整个情况已经发生了变化.
                        从不同的方面来重新考虑新的情况,并寻找与你过去所获得知识之间的联系.
                        再次这样做,我又能得到什么呢?
                                    你也许会很幸运,产生另外一个念头.
                                    也许你的另外一个念头会引导你马上获得解答.
                                    也可能在这个念头以后,你还需要更多有用的念头.
                        有些念头也有可能会把你引入歧途.
                        不管怎么说,你还是应该感谢所有这些新的念头,不管是次要的,模糊的,还是对模糊的念头增加一些精确性或尝试纠正的补充念头.
                        甚至如果你一时之间还想不出明显有些新意的念头,只要你对问题的概念有一个更完整,更有条理,更和谐或更平衡的看法时,你就应该对此表示感激了.

执行方案
            我应该从哪里开始?
                        从引导你获得解答的那个幸运的念头开始.
                        当你已肯定地掌握了主要联系,并且自信你能补充一些可能需要的次要细节的时候,你就可以开始了.
            我能做什么?
                        使得掌握的东西十分牢固.
                        尽可能详细进行你想起的以前可行的所有代数或者几何运算.
                        以形式推理或者直观的洞察,或者可能的话,同时采用这两种方式来确定每一步的正确性.
                        如果你的问题十分复杂,你可以区分出"大"的步骤和"小"的步骤,而且每一个大的步骤中又包含了好几个小步骤,
                        先检查大步骤,再依次深入到一些小的步骤中去.
            这样做我能得到什么呢?
                        一个对解答的展开,其中每一步无疑都是正确的.

回顾
            我应该从哪里开始?
                        从你的解答开始,它的每一个细节都应该是完整而正确的.
            我能做什么?
                        从不同的方面考虑你的解答,并寻找与你过去所获知识之间的联系.
                        考虑解答的各个细节,并尽可能使它们显得简单;
                        考察解答中那些比较冗长的部分并尽可能使它们简短一些;
                        试着一眼就能够看出整个解答.
                        对你的解答中或大或小的部分进行改进,尝试改进你的整个解答,使它直观,并且尽可能自然地把它纳入你过去所获的知识之中.
                        仔细检查引导你获得解答的方法,注意找出它的要点,并在其他题目中尝试应用它.
                        仔细检查你的结论,并尝试应用于别的题目.
            这样做我能得到什么呢?
                        你也许能找到一个更好的新解答,找出新的有趣的事实.
                        无论如何,如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯,你将会获得一些条理分明,随时可以使用的知识,并且将会提高你的解题能力