AIME 2023 瞎游没记

我 惊奇 不惊奇地发现我数学水平已经直线下滑，上一次数学水平最高峰还是 AMC 的时候。

感觉现在算什么都能算错…… 昨天做卷子我 \(5\) 个 \(3\) 乘起来喜提 \(27\)，几何题不会，大讨论题多数了一点点…… 反正就什么毛病都有，人菜实锤。

总共 \(15\) 题要做 \(3\) 个小时，感觉时间还是充裕的，但是也不能在前面题上停留太久。如果前 \(5\) 题做法很麻烦可以先跳过，过会再回来想简单的方法。感觉其实要和其他选手比的是稳健程度，因为就算会做也很容易算错，就和 OI 一样，不搭拍就容易 fst。在保证做的对的情况下，再去冲难题。

接下来是一些做题笔记，选了一些易错的题，欢迎大家鉴赏。

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2021 AIME I Problem 6

Segments \(\overline{AB}, \overline{AC},\) and \(\overline{AD}\) are edges of a cube and \(\overline{AG}\) is a diagonal through the center of the cube. Point \(P\) satisfies \(BP=60\sqrt{10}\), \(CP=60\sqrt{5}\), \(DP=120\sqrt{2}\), and \(GP=36\sqrt{7}\). Find \(AP.\)

硬算也是有方法的！第一个方法就是把这么大的数全部除以 \(12\)，真是太高明了！

首先想必可以建系，但是注意到最后求 \(AP\)，所以以 \(A\) 为坐标原点。可以列出方程：

\[\begin{align*} (s-x)^2+y^2+z^2&=\left(5\sqrt{10}\right)^2, \\ x^2+(s-y)^2+z^2&=\left(5\sqrt{5}\right)^2, \\ x^2+y^2+(s-z)^2&=\left(10\sqrt{2}\right)^2, \\ (s-x)^2+(s-y)^2+(s-z)^2&=\left(3\sqrt{7}\right)^2. \end{align*} \]

稍微化简一下发现这个式子太对称了！前三个加一下减第四个就是要的答案了。

2021 AIME I Problem 7

Find the number of pairs \((m,n)\) of positive integers with \(1\le m<n\le 30\) such that there exists a real number \(x\) satisfying

\[\sin(mx)+\sin(nx)=2. \]

首先这个三角函数一看就是诈骗，显然是要两个 \(\sin\) 都是 \(1\)。写成 \(\pi\) 就是 \(mx=\frac{\pi}2+2k\pi,nx=\frac{\pi}2+2q\pi\)，约掉个 \(\pi\) 大概就是得到：

\[\frac{1+4k}{1+4q}=\frac mn \]

但是注意到 \(k,q\) 不一定是正整数，要求是整数。所以如果是负的想必还要讨论一下。到这里就是 \(O(n^2)\) 的了，但是我还是算的很痛苦——最后算错了。好像其实也没啥技巧了，就是数数的事情。感觉这就是 MO 比 OI 无聊的地方，要手算很多麻烦的东西…… 我只能想到手算枚举所以情况，答案是 \(63\)。

2021 AIME I Problem 8

Find the number of integers \(c\) such that the equation

\[\left||20|x|-x^2|-c\right|=21 \]

has \(12\) distinct real solutions.

这种给你个高次方程，求根（或者个数）的题，一定要考虑一下画图。一种方法是先画出一个人尽皆知的图像，再在这个图像上做一些翻转、对称操作。这道题我们先转化成 \(20|x|-x^2=c\pm 21\)，然后我们就尝试画出 \(f(x)=20|x|-x^2\) 的图像：

其实就是在二次函数基础上，翻折两次。注意到等式右边不管是啥，都最多 \(6\) 个根，所以 \(12\) 个根拉满了。那么算范围就把上图那个蓝色的线移动一下就行。答案是 \(21<c<79\)。

2021 AIME I Problem 9

Let \(ABCD\) be an isosceles trapezoid with \(AD=BC\) and \(AB<CD.\) Suppose that the distances from \(A\) to the lines \(BC,CD,\) and \(BD\) are \(15,18,\) and \(10,\) respectively. Let \(K\) be the area of \(ABCD.\) Find \(\sqrt2 \cdot K.\)

这个题感觉比较简单，属于初中相似几何练习题，作图想必还是必要的。

对于等腰梯形这样很好的结构，我们可以随便设几个量，找到一些相似关系解方程即可。要注意的是方程不要解错了，很容易出错！尤其是填空题，没有了选项，一不小心就失误了还不知道怎么挂了，还搭不了拍，所以应该要拿中考数学 11~16 题的态度去做这些填空题。

2021 AIME I Problem 10

Consider the sequence \((a_k)_{k\ge 1}\) of positive rational numbers defined by \(a_1 = \frac{2020}{2021}\) and for \(k\ge 1\), if \(a_k = \frac{m}{n}\) for relatively prime positive integers \(m\) and \(n\), then

\[a_{k+1} = \frac{m + 18}{n+19}. \]

Determine the sum of all positive integers \(j\) such that the rational number \(a_j\) can be written in the form \(\frac{t}{t+1}\) for some positive integer \(t\).

这个题出的还可以，不过比较简单，可以出成 OI 的签到题（

首先肯定是手摸，摸到第一个就是 \(\frac{1019}{1020}\)，然后连摸好几个都不行。这个时候就考虑找一下式子，想想什么时候是可以的。注意到分子分母在进行 \(k\) 次变化后差为 \(k+1\)，再观察到每次约分后分子分母差一定为 \(1\)（大概可以反证，我稍微证了一下，懒得写了），那么在计算 \(1020\) 的时候，要求其实就是

\[1020+19k\equiv 0\equiv 1020-19\equiv1001\pmod {(k+1)} \]

所以每次找到最小的质数即可。而且每次找到的其实就是 \(7\times 11\times 13\)，感觉应该也是好推的。这样就节省了每次一个个因数去找的时间。

到这里就是一场的 6~10 题了，感觉也没那么困难，但是要全做对还是很有难度的，需要很仔细，有足够的耐心与信心。

2021 AIME I Problem 11

Let \(ABCD\) be a cyclic quadrilateral with \(AB=4,BC=5,CD=6,\) and \(DA=7.\) Let \(A_1\) and \(C_1\) be the feet of the perpendiculars from \(A\) and \(C,\) respectively, to line \(BD,\) and let \(B_1\) and \(D_1\) be the feet of the perpendiculars from \(B\) and \(D,\) respectively, to line \(AC.\) The perimeter of \(A_1B_1C_1D_1\) is \(\frac mn,\) where \(m\) and \(n\) are relatively prime positive integers. Find \(m+n.\)

很坑的一点是考试的时候几乎不提供图片，所以很多图需要自己手画。由于好的图对几何题来说很关键，所以画图这方面也不能乱画。

从这题开始就很困难了，考场里能在 11~15 做出一题就是胜利！

不妨设 \(\overline{AC}\) 和 \(\overline{BD}\) 交在 \(E\)。首先这一堆垂线肯定有一堆四点共圆，根据四点共圆的一些基本知识可以得到 \(\triangle A_1B_1E \sim \triangle ABE\)。那么写成式子就是

\[\frac{A_1B_1}{AB}=\underbrace{\frac{A_1E}{AE}}_{\substack{\text{right} \\ \triangle A_1AE}}=\underbrace{\frac{B_1E}{BE}}_{\substack{\text{right} \\ \triangle B_1BE}}=\cos\theta. \hspace{15mm}(1) \]

这里注意到有直角的限制，我们可以直接把比值表示为一个 \(\cos\)。定义 \(\angle AEB=\theta\)。跟上面同理，我们可以得到：

\[\frac{C_1D_1}{CD}=\underbrace{\frac{C_1E}{CE}}_{\substack{\text{right} \\ \triangle C_1CE}}=\underbrace{\frac{D_1E}{DE}}_{\substack{\text{right} \\ \triangle D_1DE}}=\cos\theta. \hspace{14.75mm}(2) \]

注意到两个式子结果都是 \(\cos \theta\)，我们可以联立。那么就有 \(\frac{B_1E}{BE}=\frac{C_1E}{CE}=\cos\theta,\) 所以 \(\triangle B_1C_1E \sim \triangle BCE\)。同理 \(\triangle D_1A_1E \sim \triangle DAE\)。

这两个相似是很重要的，这样我们要求的边长就可以用最外层四边形的边长表示了。这里也可以直接猜结论：内层四边形和外层四边形是相似的。我们得到答案就是 \(22\cos \theta\)，问题变成了求解 \(\cos \theta\)。想到 \(\cos\) 就想到余弦定理，那么代入四个：

\[\begin{alignat*}{12} &&&AE^2+BE^2-2\cdot AE\cdot BE\cdot\cos\angle AEB&&=AB^2&&\quad\implies\quad AE^2+BE^2-2\cdot AE\cdot BE\cdot\cos\theta&&=4^2, \hspace{15mm} &(1\star) \\ &&&BE^2+CE^2-2\cdot BE\cdot CE\cdot\cos\angle BEC&&=BC^2&&\quad\implies\quad BE^2+CE^2+2\cdot BE\cdot CE\cdot\cos\theta&&=5^2, \hspace{15mm} &(2\star) \\ &&&CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot\cos\angle CED&&=CD^2&&\quad\implies\quad CE^2+DE^2-2\cdot CE\cdot DE\cdot\cos\theta&&=6^2, \hspace{15mm} &(3\star) \\ &&&DE^2+AE^2-2\cdot DE\cdot AE\cdot\cos\angle DEA&&=DA^2&&\quad\implies\quad DE^2+AE^2+2\cdot DE\cdot AE\cdot\cos\theta&&=7^2. \hspace{15mm} &(4\star) \\ \end{alignat*} \]

接下来用 \(2+4-1-3\)，那么就是：

\[\begin{align*} 2\cdot AE\cdot BE\cdot\cos\theta+2\cdot BE\cdot CE\cdot\cos\theta+2\cdot CE\cdot DE\cdot\cos\theta+2\cdot DE\cdot AE\cdot\cos\theta&=22 \\ 2\cdot\cos\theta\cdot(\phantom{ }\underbrace{AE\cdot BE+BE\cdot CE+CE\cdot DE+DE\cdot AE}_{\text{Use the result from }\textbf{Remark}\text{.}}\phantom{ })&=22 \\ 2\cdot\cos\theta\cdot59&=22 \\ \cos\theta&=\frac{11}{59}. \end{align*} \]

就做完了。感觉还是很困难的。这个 Remark 其实是一个比较经典的结论，用托勒密定理可以证明：

\[\begin{align*} AE\cdot BE+BE\cdot CE+CE\cdot DE+DE\cdot AE &= (AE+CE)(BE+DE) &&\hspace{10mm}\text{Factor by Grouping} \\ &=AC\cdot BD &&\hspace{10mm}\text{Segment Addition} \\ &=AB\cdot CD+BC\cdot DA &&\hspace{10mm}\text{Ptolemy's Theorem} \\ &=59. &&\hspace{10mm}\text{Substitution} \end{align*} \]

几何就完全不是长项啊，在考场上碰到几何题要么直接放弃了？但其实也是碰运气，说不定就能推出来。

2021 AIME I Problem 12

Let \(A_1A_2A_3\ldots A_{12}\) be a dodecagon (\(12\)-gon). Three frogs initially sit at \(A_4,A_8,\) and \(A_{12}\). At the end of each minute, simultaneously, each of the three frogs jumps to one of the two vertices adjacent to its current position, chosen randomly and independently with both choices being equally likely. All three frogs stop jumping as soon as two frogs arrive at the same vertex at the same time. The expected number of minutes until the frogs stop jumping is \(\frac mn\), where \(m\) and \(n\) are relatively prime positive integers. Find \(m+n\).

期望虽然在国内 MO 并没那么常见，但是你看美国的 MO 还是会见到很多的。我希望期望和概率题能成为 OIer 的优势题。（你说得对，但是 AMC 我做错了概率题 qwq）

但是这个期望题也没那么好算，状态比较繁琐。但是放到 OI 里绝对是可以秒杀的。

注意到只有 \(3\) 种状态：\(E(4,4,4)\)，\(E(2,4,6)\)，\(E(2,2,8)\)。我们只要枚举每个状态的转移，最后解个方程就行了。枚举转移的过程比较痛苦…… 但是算清楚也还好。因为只有 \(8\) 个转移，同时可以利用对称性优化一点。

\[\begin{align*} E(4,4,4)&=1+\frac{2}{8}E(4,4,4)+\frac{6}{8}E(2,4,6), \\ E(2,4,6)&=1+\frac{4}{8}E(2,4,6)+\frac{1}{8}E(4,4,4)+\frac{1}{8}E(2,2,8), \\ E(2,2,8)&=1+\frac{2}{8}E(2,2,8)+\frac{2}{8}E(2,4,6). \end{align*} \]

最后千万不能栽在解方程上，前功尽弃。这种题绝对是比 T11 那种几何题简单太多了，但是要做对还是真的要非常谨慎的。毕竟时间挺足的，多算几遍吧（

2021 AIME I Problem 13

我想先定个计划，在 T13~15 的几何题我就直接放弃吧。感觉是反人类的几何题。

2021 AIME I Problem 14

For any positive integer \(a, \sigma(a)\) denotes the sum of the positive integer divisors of \(a\). Let \(n\) be the least positive integer such that \(\sigma(a^n)-1\) is divisible by \(2021\) for all positive integers \(a\). Find the sum of the prime factors in the prime factorization of \(n\).

是数论题，但好像比 OI 的数论题难好多诶…… 记得以前初中的时候还在李卓伦那边上过高难度数论，那个时候反正一堆巨大困难的题，几乎做不出来，最后都是听老师讲的，所以让我给 MO 里的数论留下了痛苦印象……

首先有个我不会的 Dirichlet's Theorem：

for any coprime integers \(k\) and \(r\), there is a prime \(p\) congruent to \(r\pmod{k}\).

观察到 \(2021=43\times 47\)（题外话，今年也有 \(2023=7\times 17^2\)），那就先找一个质数 \(a\) 满足 \(a \neq 0,1 \pmod{43}\)。根据 Dirichlet's Theorem，我们一定能找到。接下来直接代进去，就是：

\[\sigma(a^n)-1 = \sum_{i=1}^n a^i = a\left(\frac{a^n - 1}{a-1}\right) \]

所以我们需要 \(a^n - 1 \equiv 0 \pmod{43}\)。根据阶（？），得到 \(n\) 必须要是 \(42\) 的倍数。同理 \(n\) 也是 \(46\) 的倍数。

我们接下来声称：\(n\) 必须是 \(43\) 的倍数。找一个质数 \(a\) 满足 \(a \equiv 1 \pmod{43}\)，那么有 \(\sigma(a^n) \equiv n+1 \pmod{43}\)，这样就得到 \(n\equiv 0\pmod {43}\)。同理 \(n\) 必须是 \(47\) 的倍数。

最后我们直接猜一手当 \(n = \text{lcm}(42, 46, 43, 47)\) 时，符合题意。证明先鸽了吧，毕竟我在考场不大可能做出。不过官方也给了这样一句话：似乎没有任何其他奇数“数字”需要检查，因此我们可以希望假设答案是 \(n = \text{lcm}(42, 46, 43, 47)\)。好好好，MO 也是讲究猜结论的！

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大概看完了一张卷子吧，我也不大确定我最终能对多少题，毕竟很多题都太容易算错了…… 最终目标大概是 \(12\) 题，但是这个只有在完全不算错 \(+\) 脑子不糊涂 \(+\) 题目不算很难 的情况下可能达成，所以先给自己预留一点吧，那就以 \(10\) 题为目标？反正朝这个方向努力就行。很多题真的非常容易算错，还是多算几遍吧。

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update on 2023.2.8

今天考完了，感觉有点起飞。

开场发现考点好像不是很正规，跟旁边人隔的很近…… 但是反正没啥影响。然后发卷子不发草稿纸差评，过了一会才把一些多的打印纸当草稿纸下发。

2023 AIME I Problem 1

Five men and nine women stand equally spaced around a circle in random order. The probability that every man stands diametrically opposite a woman is \(\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are relatively prime positive integers. Find \(m+n.\)

T1 就出概率题！冷静想了一下好像只要把男的依次填进去，算一下每个人合法的概率就行了。于是乘起来。检查的时候还推了一种用总合法数除以总方案数，也是对的。答案是 \(\dfrac{48}{143}\)，填入 \(191\)，喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 2

Positive real numbers \(b \not= 1\) and \(n\) satisfy the equations

\[\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n} \qquad \text{and} \qquad b \cdot \log_b n = \log_b (bn). \]

The value of \(n\) is \(\frac{j}{k},\) where \(j\) and \(k\) are relatively prime positive integers. Find \(j+k.\)

这个题就基础很多，稍微学过点 \(\log\) 想必就能做了。设 \(\log_b n=x\)，解个方程就好了。答案是 \((\dfrac 45)^4=\dfrac{625}{256}\)，填入 \(881\)，喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 3

A plane contains \(40\) lines, no \(2\) of which are parallel. Suppose that there are \(3\) points where exactly \(3\) lines intersect, \(4\) points where exactly \(4\) lines intersect, \(5\) points where exactly \(5\) lines intersect, \(6\) points where exactly \(6\) lines intersect, and no points where more than \(6\) lines intersect. Find the number of points where exactly \(2\) lines intersect.

这个题看上去很简单，但是好像打倒了一车人…… 首先总交点个数是 \(\binom{40}{2}=780\)，那么对于其他每个条件，减掉这些不满足条件的点就行了。所以最后仔细算一下就是 \(780-9-24-50-90=607\)，喜提 \(1\) 分。怎么有些人是 \(300\) 多的啊，不知道怎么算的。

2023 AIME I Problem 4

The sum of all positive integers \(m\) such that \(\frac{13!}{m}\) is a perfect square can be written as \(2^a3^b5^c7^d11^e13^f,\) where \(a,b,c,d,e,\) and \(f\) are positive integers. Find \(a+b+c+d+e+f.\)

小学奥数题（确信）。这种拆乘法的形式其实在 OI 里挺多的吧。考虑先把 \(13!\) 分解了，发现 \(3,7,11,13\) 出现奇数次，最终要求每个数都偶数次，那么就可以列出式子：

\[(2^0+2^2+2^4+2^6+2^8+2^{10})(3^1+3^3+3^5)(5^0+5^2)\cdot7\cdot11\cdot13 = 1365\cdot273\cdot26\cdot7\cdot11\cdot13 = 2\cdot3^2\cdot5\cdot7^3\cdot11\cdot13^4. \]

答案是 \(12\)。一开始算成 \(14\) 了，可能是加错了，检查的时候改过来了，真惊险。喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 5

Let \(P\) be a point on the circle circumscribing square \(ABCD\) that satisfies \(PA \cdot PC = 56\) and \(PB \cdot PD = 90.\) Find the area of \(ABCD.\)

这题可能是我整张卷子做的最久的题，因为几何水平实在是不行…… 一开始在疯狂倒面积，后来又解方程加什么什么定理，啥也不会。于是第一遍做的时候奋战二十分钟后弃了。后来回过来看，最后突然想把给定的两个数据比一下，这样就是高之比。抱着必死的心算了一下 \(28^2+45^2\)，结果真是完全平方数，\(53^2\)。这下发现可以直接列一个方程解决我要的东西了！做了很久确实有点菜。第一次还算成 \(212\) 了，后来突然发现不对赶紧改成了 \(106\)。喜提 \(1\) 分。虽然可能只有中考难度，但卡了很久！

2023 AIME I Problem 6

Alice knows that \(3\) red cards and \(3\) black cards will be revealed to her one at a time in random order. Before each card is revealed, Alice must guess its color. If Alice plays optimally, the expected number of cards she will guess correctly is \(\frac{m}{n},\) where \(m\) and \(n\) are relatively prime positive integers. Find \(m+n.\)

发现我做过 [AGC019F] Yes or No，这题完全一致。但是这题很蠢，手算 \(O(n^2)\) 解决每个 \(dp\) 的值就好了。算的时候注意一点。答案是 \(\dfrac{41}{10}\)，喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 7

Call a positive integer \(n\) extra-distinct if the remainders when \(n\) is divided by \(2, 3, 4, 5,\) and \(6\) are distinct. Find the number of extra-distinct positive integers less than \(1000\).

简单数论讨论题。首先肯定是在模 \(60\) 意义下算答案，然后大概讨论一下 \(n\) 的奇偶性就行了。事实上 \(60\) 以内只有 \(35,58,59\) 满足，再到 \(1000\) 里算答案是简单的。这样算出来有 \(49\) 个数，喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 8

Rhombus \(ABCD\) has \(\angle BAD < 90^\circ.\) There is a point \(P\) on the incircle of the rhombus such that the distances from \(P\) to the lines \(DA,\) \(AB,\) and \(BC\) are \(9,\) \(5,\) and \(16,\) respectively. Find the perimeter of \(ABCD.\)

这题我也做了很久，看来确实不擅长几何题。可能是利用数据性质算出来的…… 先发现了 \(P\) 到剩下一条边也可以算，接下来就不大会了，卡了很久。画图找着找着正好发现了一个中垂线，然后一波倒角发现 \(\angle BAD\) 是 \(3:4:5\) 的角，那么分成两半就是 \(1:2:\sqrt 5\) 的角。然后发现就可以算了。最后算出来边长是 \(25+\frac{25}4\)，周长是 \(125\)，喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 9

Find the number of cubic polynomials \(p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,\) where \(a, b,\) and \(c\) are integers in \(\{-20,-19,-18,\ldots,18,19,20\},\) such that there is a unique integer \(m \not= 2\) with \(p(m) = p(2).\)

这个题我一开始完全蒙古，不知道怎么判断是不是只有一个整数满足条件。后来突然想到，两个根都是整数，那么不是第三个根也是整数吗？于是只有可能有两个 \(2\) 或者两个 \(x\)，接下来分类讨论。我算了一通，解出来分别有 \(11\) 个和 \(9\) 个，但重复一个，所以 \(19\) 个。注意到 \(c\) 是任意的，所以 \(19\times 41=779\) 了。但是答案给的是 \(738\)，不大懂哪里算错了，它说是 \(18\) 个，就差 \(1\)，感觉挺可惜的…… 喜提 \(0\) 分。

2023 AIME I Problem 10

There exists a unique positive integer \(a\) for which the sum

\[U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor \]

is an integer strictly between \(-1000\) and \(1000\). For that unique \(a\), find \(a+U\). (Note that \(\lfloor x\rfloor\) denotes the greatest integer that is less than or equal to \(x\).)

我浅浅估算了一下，发现这个 \(a\) 很难让他打到 \(-1000\sim 1000\) 啊，感觉怎么都是在 \(10^6\) 级别的，不知道怎么搞。然后就弃了。喜提 \(0\) 分。

2023 AIME I Problem 11

Find the number of subsets of \(\{1,2,3,\ldots,10\}\) that contain exactly one pair of consecutive integers. Examples of such subsets are \(\{\mathbf{1},\mathbf{2},5\}\) and \(\{1,3,\mathbf{6},\mathbf{7},10\}.\)

这个题可能放到 OI 就普及组难度…… 如果他开大数据范围另当别论。考虑 DP，令 \(dp_i\) 表示放了前 \(i\) 个且第 \(i\) 个必须放的方案数，算几项发现是 Fib 数列。最后求答案就是把这个序列求个卷积，简单算一下就行了。感觉难度完全不在 T11 啊！经过小心计算得出答案 \(235\)，喜提 \(1\) 分。

2023 AIME I Problem 12

Let \(\triangle ABC\) be an equilateral triangle with side length \(55.\) Points \(D,\) \(E,\) and \(F\) lie on \(\overline{BC},\) \(\overline{CA},\) and \(\overline{AB},\) respectively, with \(BD = 7,\) \(CE=30,\) and \(AF=40.\) Point \(P\) inside \(\triangle ABC\) has the property that

\[\angle AEP = \angle BFP = \angle CDP. \]

Find \(\tan^2(\angle AEP).\)

根据赛前定的计划，这个位置的几何题我是肯定直接放弃的。但可能也还好？我不清楚，反正卡了很多人，放弃也是对的。后面的题目我也直接放弃去检查前面的了，事实上这个策略也是正确的。

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结束以后发现自己只做了 \(10\) 题，对答案发现对了 \(9\) 题。感觉在几何上还是太菜了，T5 感觉很多人做的很快，当时他们在哗啦哗啦翻页的时候我还在冥思苦想，想不出来啊！解了很多方程还是不行，当时心态有点绷，赶紧跳了。后来回来看了好久突然就会了，发现做法还很简洁，这下是我 SB 了。有几个期望题感觉可能 OIer 会更擅长一点，不过这些题也被其他选手看做是简单题，没能体现出优势。感觉 \(9\) 题这个成绩可能也就一般般吧，没有那么优秀，肯定是到不了 USAMO 的线的了。就算是给以前学 MO 的自己一个交代吧，明年还来！

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和某数竞同学聊天的时候发现我可能考的比一些数竞的人要高，感觉不如搞数竞！

zsr：你会数学期望吗？

我： 废话，OI 里全是这种。

zsr：我还以为你连期望都没听过呢。