AMC 简单题选做

目录

• AMC 12 2021 Fall Test B
  • T7 简单代数题，完美公式
  • T10 三角函数，单位圆，两圆一线
  • T14 构造，多项式的根
  • T16 简单数论
  • T17 概率期望
  • T18 数列，收敛
  • T19 几何，找规律
  • T20 计数，Burnside
  • T21 复数，三角函数
  • T23 期望，贡献
  • T24 几何，解三角形
  • T25 数论
  • AMC 12 2021 Fall Test B 总结
• AMC 10 2021 Fall Test A
  • T4 计算
  • T14 函数图像
  • T17 立体几何
  • T22 立体几何，平面几何
  • T23 数论，分类讨论
  • T24 组合计数
  • T25 方程的根
• AMC 10 2021 Spring Test A
  • T10 公式
  • T12 圆锥体积计算
  • T17 平面几何，相似，全等
  • 【T19】明天来补。
  • T20 组合计数
  • 【T21】明天来补。
  • 【T22】明天来补。
  • 【T23】明天来补。
  • 【T24】明天来补。
  • 【T25】明天来补。
• 2020 AMC 12A
  • T9 三角函数的图像
  • T10 对数函数
  • T11 概率期望
  • T15 复数，复平面，平面几何
  • T16 概率，几何
  • T17 对数函数，几何，鞋带定理（行列式）
  • T18 平面几何，相似
  • T19 多项式，公式
  • T20 计数
  • T21 数论
  • T22 代数，数列，极限，虚数，等比数列求和，构造
  • T23 概率，组合计数
  • T24 平面几何，旋转
  • T25 代数
• 2019 AMC 12A
  • T4 简单代数
  • T7 平均数，中位数，众数
  • T11 进制转化
  • T12 对数函数
  • T18 立体几何
  • T19 三角函数
  • T21 虚数
  • T22 平面几何
  • T23 对数函数，数列
  • T24 数论
• 2018 AMC 12A
  • T9 三角函数，不等式
  • T10 函数图像
  • T13 进制转化
  • T14 对数函数
  • T15 组合计数
  • T16 图像，代数
  • T18 平面几何，面积
  • T19 极限，求和
  • T21 多项式，求根，比大小
  • T22 虚数，面积
  • T23 几何，三角函数
  • T24 概率
  • T25 代数

AMC 12 2021 Fall Test B

T7 简单代数题，完美公式

这个东西我应该是初一学的，叫当时好像叫他完美公式，现在忘掉了！

很好推：$2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$。有这个公式就很好选了。

T10 三角函数，单位圆，两圆一线

easy 题，但是我漏了一种，小丑行为。不要看到 $\sin 40^\circ$ 就害怕，显然这些点都在单位圆上，用初中学过的“两圆一线”可以轻松算出答案。

T14 构造，多项式的根

构造题？！首先根据代数基本定理，不可能有 $0$ 个根。考虑构造 $1$ 个根的情况。

$$\begin{align*} P(z)&=z^2+1, \\ Q(z)&=z^3+2, \\ R(z)&=(z+1)^6 + P(z) \cdot Q(z). \end{align*}$$

此时满足 $(z+1)^6=0$，必须有 $z=-1$。好高妙啊。

T16 简单数论

看起来是数论题，但是直接手算是可以的。首先发现 $\gcd$ 没有偶数，然后发现 $9$ 只有三种：$1+1+7$，$1+3+5$ 和 $3+3+3$，每种算一下就行了。

T17 概率期望

OI 选手最擅长的应该还是概率期望题。这个比较简单，其实是一个矩阵乘法的形式，一般写出递推式就行了。

T18 数列，收敛

题还可以。首先很好算出收敛的值时 $\dfrac{1}{2}$。然后考虑题目给的式子，所以理所当然写出 $b_n=a_n-\dfrac12$，那么有 $a_n=b_n+\dfrac12$。带回原式子可以得到 $b_{n+1}=-2b_n^2$，这个东西的分母相比是指数型变化的，容易发现 $10$ 次就足以到达 $2^{1000}$。

T19 几何，找规律

手摸了小数据，然后猜了结论对了！$a$ 边形和 $b$ 边形相交的点数是 $2\min(a,b)$。证明其实也没有很难，考虑 $a<b$，先放置一个 $a$ 边形，在放 $b$ 变形的时候，对 $a$ 的每一条边，都会进去 $1$ 次再出来 $1$ 次。所以必然是正确的。

T20 计数，Burnside

看起来是组合数学，结果是图论 or Burnside。感觉考场上碰到像我这样的人还是没有优势，无语了！

有一种拓扑等价的理解方法，但是我不大会。可以考虑枚举，画成这样的图有利于理解：

也可以 Burnside Lemma，但是我不会！

T21 复数，三角函数

我认为这道题做不出来最主要问题是以前背的三角函数公式忘光光了。这里简单列一点，回顾一下。

三倍角公式：

$$\sin 3x=3\sin x -4\sin^3 x$$

$$\cos 3x=-3\cos x +4\cos^3 x$$

三倍角公式的变形：（也许不用背，可以现场推，但是要熟悉这个形式）

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$$

$$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$$

回到这道题，容易发现虚部为 $0$，可以得到 $\sin x+\sin 3x=\sin 2x$。然后我就不会了。事实上左边的形式可以直接带进去，得到 $2\sin 2x\cos x=\sin 2x$，那么要么 $\sin 2x=0$，要么 $2 \cos x=1$。带进实部检验都不正确，所以没有根。

T23 期望，贡献

期望题对于 OIer 应该直接拿下！随便拆拆贡献就好了吧。

T24 几何，解三角形

算了半天，感觉速度完全起不来。首先初中就学过，给定一个三角形的三边长，你可以算出任何一个高。这很显然，但是我做着做着又忘了！sol 好像都是相似，但是我是纯全等和一些计算。首先导角啊，发现 $AC=AF$，此时得到了 $BF=9$，那么求 $CF$ 事实上解个三角形就行了，但是我又看了半天，还以为要导个相似。没手感了！！

T25 数论

数论题压轴，但是不难，希望速度要快。先把 $R(n+1)-R(n)$ 写成更好看的形式：$\sum _{i=2}^{10}1-i[(n+1)\bmod i=0]$。拆一下，统计一下可能包含 $2\sim 10$ 的因数，排除后只能是 $2+7$。所以得到只有 $14$ 和 $98$。

AMC 12 2021 Fall Test B 总结

整体做题速度还是太慢，考试时间只有 75 min，在考场上一分钟也不能耽误。几何题想不出来可以直接跳过。平均一题 3min，但我肯定有很多题远超 3min。怎么说呢，很久没练习了，也没啥手感，一些公式也忘掉了。应当抓紧复健！

AMC 10 2021 Fall Test A

vp 喜提错 $4$ 题空 $3$ 题 $112.5$ 垃圾成绩。

T4 计算

小学计算题算错了，好似。

路线 A 长 $6$ 英里，他沿着这条路线的平均速度是每小时 $30$ 英里。路线 B 全长 $5$ 英里，他沿着这条路线的平均速度为 $40$ 英里每小时，除了在学校区域的$\frac{1}{2}$ 英里路段，他的平均速度为每小时 $20$ 英里。B 路比 A 路快多少分钟？

A：$6$ 英里，$30$ 英里 / $60$ 分钟，需要 $12$ 分钟。

B：$4.5$ 英里 $2$ 英里 / $3$ 分钟；$0.5$ 英里 $1$ 英里 / $3$ 分钟。需要 $\frac {27}4+\frac 32=\frac{33}4$ 分钟。相差 $\frac{15}4$ 分钟。

真小学题，绷不住了。

T14 函数图像

分类讨论结果小寄了。考虑一种更稳妥的方法：画出图像。

显然 $5$ 个交点！

T17 立体几何

牛逼题。

取中心点记为 $G$，由于 $B$ 到 $A$ 上升 $3$，所以 $C$ 到 $G$ 也上升 $3$，所以 $G$ 是 $13$，可以推出 $E$ 是 $17$。

T22 立体几何，平面几何

我图画错了，导致整个计算都不正确了。

圆和 BC 没有交点的！其实这种题应该从不同视角多画几张图，就会清晰很多。从俯视角度可以算出 EC。最后就是随便相似一下的事情。

T23 数论，分类讨论

理论上是简单数论题，但是一不小心就会漏掉情况。首先考虑 $12$ 构成是 $a^2b$，这里我就漏了两个数：$44,28$。还有 $a^5$ 的构成 $32$。以及可以推出 $a^2b^2$ 也是满足的，剩下的步骤是好算的。这种题应当仔细啊，不能漏。

T24 组合计数

我的评价是，很难啊。

T25 方程的根

其实冷静一下可能也不难，条件一个个分析过去就好了…

$p(p(x))=0$ 有 $3$ 个根，就把它拆成两个方程，一个有一个根，一个有两个根。这样用一个根的那个判别式 $=0$ 来做文章就行了。

AMC 10 2021 Spring Test A

做题速度太慢了，前期很多简单题卡了很久。几何的基本功不行。

后面的难题也来不及想了，最后对 $18$ 个空 $7$ 个收场。这样的成绩也许也还行，但是可以更好的对吧。

T10 公式

做题的时候就算了第一项，然后根据选项就能选了。但是正确的做法是在式子前面拼一个 $(3-2)$，然后一路推下去就行了。感觉其实也不难看出来，但是可能太急了就没管了。

T12 圆锥体积计算

很怪啊，算了一会发现算不出来。至少浪费了 5min 宝贵时间，最后选了跳过。

首先很好算出现在的高度比是 $4:1$。然后考虑到最后的体积还是相等的，由于对于同一个圆锥，半径和高度始终是成比例的，所以可以列式子推出来两个圆锥增大的倍数是一样的，所以 $h$ 的变化量也是 $4:1$ 的。其实想想也不难，可能需要反应能力。当时硬算了一堆乱七八糟的东西，不知道在搞什么。

T17 平面几何，相似，全等

感觉是考察几何基本功的题目，做的有点慢，应该是可以更快一点的。

画图很重要。首先等腰和中点推出直角，直角和直角推出平行，平行和平行推出平行四边形，平行四边形和中点推出相似，直角再导一个勾股，结合相似就能算答案了。其实题目是不难的，放在中考都是可以的，主要是观察一些基础性质的能力和简单的勾股运算能力。

【T19】明天来补。

T20 组合计数

OI 选手只能做做组合计数题了。还算错了很多次，难受。

考虑容斥，总共 $5!=120$ 种。减掉有 $3$ 个上升和下降的，再加上同时有 $3$ 个上升和下降的。上升和下降是对称的所以只算一个。考虑 $3$ 个上升，是用钦定 $3$ 个上升减掉钦定 $4$ 个上升，两个分别是 $A_5^2\times 3-A_5^1\times 2=50$，最后答案就是 $120-100+12=32$ 个。

【T21】明天来补。

【T22】明天来补。

【T23】明天来补。

【T24】明天来补。

【T25】明天来补。

2020 AMC 12A

今天做了 12A，感觉还是非常困难的啊！几何功底还是很不扎实，三角函数感觉忘光光了，还有一些基础函数（log）的计算公式都不会了。还有不到一周，再不抓紧，考场上就急急国王了。

T9 三角函数的图像

需要对 $\cos$ 和 $\tan$ 的函数图像很熟悉，而且要对函数变换 $f(x)\to f(2x)$ 比较熟悉，然后把图像画出来就是简单题了。

T10 对数函数

学不会对数函数，这里留个坑，过会来补公式。但是我硬算对了。

T11 概率期望

本应该拿手的概率期望题，我做了很久！计算过程中还发现自己推出来一个悖论，真是无语了。首先会发现这个网格里除去边角只有三类点不知道概率：$(1,2)$，$(1,1)$ 和 $(2,1)$。这里需要熟练运用对称性，我因为脑抽以为 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 是一样的，搞笑了。然后列三个方程就可以解这三个未知数了。提醒一下不要自己开发乱七八糟的期望公式。

T15 复数，复平面，平面几何

这里一个我不大会的点是解方程。比如 $z^3-8=0$，我按常识就觉得有 $z=2$，剩下两个根应该在单位圆三等分点上。这样是正确的，但是对于其他的三次方程，可以考虑因式分解。例如 $z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4)$，这样就有一个根 $z=8$，另外两个根可以解出来的。另一个方程也是因式分解，算出三个实根就可以说明没有虚根了。然后画个图就很容易算出最远点对。

T16 概率，几何

这个是真的简单，但是我又犯低级错误了！！！下次再犯我是小狗！！

观察可知 $d\le 0.5$，然后可以列方程：$\pi d^2=\dfrac 12$。可得 $d^2=\dfrac{1}{2\pi}$，结果我忙着估计精度忘了开根了！哈哈我是小丑。

T17 对数函数，几何，鞋带定理（行列式）

不要被题面吓到了，其实和对数函数关系不大。这里要知道一个鞋带公式，可以求多边形的面积。（感觉就是叉积？）把公式套进去就可以列出式子，然后化简，再利用 ln 的性质，就可以求答案了。

T18 平面几何，相似

还好初中数学还记得一点，反应过来了，不然寄了。

先画正确的图。我一开始看错条件，以为是个梯形，然后寻思这不是傻逼题吗，算出答案找不到选项！看到两个垂直，那就再做一个。然后发现有个相似，但是能干嘛呢。注意到还有一个垂直没用到，这不是摄影定理吗！然后快速列个方程就可以了。

T19 多项式，公式

首先假设 $2^{17}=x$，那么原式可以转成 $\dfrac{x^{17}-1}{x-1}$，这个公式想必是会的，是 $x^{16}-x^{15}+....+x^2-x^1+x^0$。先考虑 $x^{15}(x-1)$，考虑把 $x-1$ 展开，就是 $x^{15}(2^{16}+..+2^1+2^0)$。每个这样的拆开就是 $17$ 项，有 $8$ 个再带个 $x^0$，总共 $8\times 17+1=137$。

T20 计数

淦，暴力硬算，算到最后一步，多加了一个 $5$，结果怎么有选项啊。寄！直接算两遍方案数就行了，很无聊。有一个群论做法，感觉也不大行。

T21 数论

OI 里的常见套路：质因子独立，拆开算。然后基本就好了，注意一下 $5$ 的情况，最好写成 $\min$ 和 $\max$ 的形式，这样自己看起来清楚一点。阶乘拆成质因子的时候不要搞错了！

T22 代数，数列，极限，虚数，等比数列求和，构造

这是人能想到的东西吗？？我开局二项式定理，然后喜提 GG。

考虑把等式平方一下。$(3+4i)^n=(a_n+b_ni)^2=(a_n^2-b_n^2)+2a_nb_ni$，然后你会发现，右边的虚部是 $2a_nb_ni$，可以利用这个算出 $a_nb_n$ 了！所以 $a_nb_n=\frac 12\text{Im}((3+4i)^n)$。有了这个再带进原来的公式，用等比数列求和公式算出和，再计算虚部就可以了。

T23 概率，组合计数

这题真不好算，我可能搞了接近 $10$ 分钟，场上显然是没有这个时间的。先考虑找性质，重扔 $3$ 个的成功概率是 $\dfrac 5{72}$，再算重扔两个，如果之前的和是 $1,2,3$，那么概率分别是 $\dfrac 5{36},\dfrac 4{36},\dfrac 3{36}$。剩下的肯定会选择扔 $3$ 个。还剩扔 $1$ 个，发现只要剩下两个和小于等于 $6$，那么概率是 $\dfrac 16$。然后可以发现条件是排序后第一个 $\le 3$，第一个和第二个的和 $>6$。直接算就行了。

T24 平面几何，旋转

平面几何的压轴怎么是小学难度？这比 $23$ 甚至上面的几何都简单很多吧，感觉初中也做过很多次这个了。没开这题很可惜，所以考场里还是要遍览题目！考虑旋转，等边三角形有绝妙的旋转性质，转完以后可以找到一个直角，所以得到了一个角是 $150$ 度，求边长就随便算了吧。

T25 代数

很难，鸽了吧。

2019 AMC 12A

T4 简单代数

“整数”看成“正整数”了！考场上千万别犯浑就好。我还在想这题怎么这么傻逼，肯定是 $1+2+...+9$ 啊。

T7 平均数，中位数，众数

可以直接硬算，但是我们可以寻求一种更快捷的方式。考虑由于只需要比较大小关系，可以先算出 $M=16$。考虑 $d$ 肯定是小于 $M$ 的，因为扔掉了后面三个大的。$\mu$ 应当也是小于 $M$ 的，因为后面三个大的数的出现次数不多。

T11 进制转化

考虑设它是 $\dfrac 1k$ 进制。然后可以列式子，这个无线循环要想清楚再列。然后其实不用解，观察一下分母就可以在选项里选出来了。

T12 对数函数

只能说对数函数是真的不熟了！考虑换底公式先把第一个式子处理一下，可以得到 $\log _2x\log _2y=4$，右边的式子可以推出 $xy=64\to \log _2x+\log _2y=6$。这两个式子足以算出最后答案，就是 $(\log _2x-\log _2y)^2$。

T18 立体几何

想了一会才发现取出切面是个圆，感觉自己很傻逼。考虑用 $S=rp$ 算出内切圆的半径，再根据球的半径就可以勾股出距离了。

T19 三角函数

属于是很简单的三角函数了，但是我还是不会！我在那里瞎搞余弦定理，没啥用啊。考虑正弦定理，因为 $\cos$ 给你了，而且三角形中 $\sin$ 肯定是正的，可以很简单地算出 $\sin$ 的值，然后正弦一下三条边的比就出来了。

T21 虚数

考虑这个 $z$ 肯定有什么性质，除了 $|z|=1$，还可以找到 $z^4=-1$。利用这个可以消掉很多元，最后剩下奇数项，左右两边乘起来就是 $36$ 了。找到性质后应该是容易的。

T22 平面几何

不给图，太坏了。导致按照常规理解整个图都错了。要是图画对的，其实还是没有很难的。

T23 对数函数，数列

怎么又是对数函数，好烦啊！其实仔细推推也不是很难，就是要熟练掌握一些基础知识。

首先有 $a_n = \left(n^{\dfrac1{\log_7(n-1)}}\right)^{\log_7(a_{n-1})}=n^{\dfrac{\log_7(a_{n-1})}{\log_7(n-1)}}$。这个就是换底的形式。换完之后啥也不是，考虑等式做个 $\log$。就可以得到一个 key observation：$\log _n a_n=\log _{n-1} a_{n-1}$。接下来算一下 $a_3$ 的这个值，就可以推到 $a_n$ 了。后面的估算是容易的。

T24 数论

好难啊，鸽了吧。T25 也鸽了！

2018 AMC 12A

就空了 $3$ 个错了 $0$ 个，赢麻了！要是 11 号考试也能这样就好了！

T9 三角函数，不等式

其实是一个很简单的题，但是也提醒我要注意三角函数公式。首先有 $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$，由于范围在 $[0,\pi]$ 所以 $\sin$ 始终是正的。而且 $\cos$ 范围应该在 $[-1,1]$，但是恒成立啊！考场也可以直接带几个数进去，怎么方便怎么来吧。

T10 函数图像

之前已经吃过亏了，所以看到这种东西就直接画图像吧！精准作图务必。画完图有几个交点就很显然了。

T13 进制转化

首先可以先把它加一个数变成三进制，那么可以得到 $3^8$ 个数。但是还有一个条件是要非负。考虑这些数肯定是连续的，所以正好有一半正一半负，还有一个 $0$。所以除以 $2$ 再 $+1$ 就行了。

T14 对数函数

我一开始不会，跳过了。到最后发现前面还有个 $14$ 题没做，才做出来。考虑 $\dfrac{\log _{3x}64}{\log_{2x}64}=\dfrac 32$，所以可以换底得到 $\log _{3x}2x=\dfrac 32$。然后随便解一下。这里对数运算还是不熟练。更简单的方法是直接用 $\log_2$ 换底。

T15 组合计数

OI 刚做过这种计数题。考虑如果两个块的颜色必须相同，就连一条边。最后答案就是 $2$ 的连通块个数次方。然后你算一下有几个连通块就行了。题目还要求不能全黑或全白，这个减个 $2$ 就好了。

T16 图像，代数

首先有一个看起来很简单的图像方法，这两个图像是圆和二次函数，画出来看一下交点就好了。不过也有直接算了方法，把二次函数的方程代入圆的方程，然后因式分解再看根的个数。就容易发现 $a$ 是有一定范围的，否则会导致无解（没有交点）。

T18 平面几何，面积

我一开始以为是个三角函数，结果算了一下发现导一下面积就好了。角平分线定理想必我是会的，所以就可以算出每一块的面积。再根据中位线推出面积比有 $3:1$。

T19 极限，求和

看到无穷其实不用慌，首先是 OI 里这种拆拆贡献的多了去了，其次是如果真的不会解决无穷的话想必其他人也不是很会的。这道题先把式子写成 $\dfrac{1}{2^x3^y5^z}$ 求和的形式，然后随便拆一下贡献就可以了。

T21 多项式，求根，比大小

我觉得很难啊！先看一眼五个多项式，只有 E 会解。怎么办？考虑先比较 ABCD，取最大的和 E 比。由于都是严格单调递增函数，所以只有一个根。可以发现 B 函数总是在 ACD 函数的下方，所以可知 B 在 ABCD 中有最大的实根。那么怎么比较 BE 呢？考虑取一个 $-\dfrac 12$，代到 B 里去，发现非常接近 $0$ 啊，说明根就在附近。那么 B 的根就大了。

T22 虚数，面积

我以前没解过复数方程啊，第一次解，对了！考虑设 $x=a+bi$，然后虚部实部算一算可以了。这道题要稍微凑一下，但是根十字相乘一样简单。然后算出来以后得到了 $4$ 个坐标，那么鞋带定理就好了，不要忘了乘那个 $\frac 12$！二合一题，看来也会有 T22<T21 的情况。

T23 几何，三角函数

又是很难的题，对我来说。看起来直接算是很难的，考虑建系。因为你知道了两条边是 $1$，可以用三角函数表示出一些边的长度，一些点的坐标。这样根据中点就可以量化出所有点的坐标了。最后算一下斜率。结果是 $\dfrac{\sin(36)+\sin(56)}{\cos(36)-\cos(56)}$。这个和差化积一下就可以得到是 $\tan 80$ 了。再次提醒三角函数公式！

T24 概率

哈哈，傻逼题放在 T24 被我发现了。所以要先检查后面的题有没有自己拿手的题，不能后面直接摆烂。直接设它取了 $x$，然后计算一下 Alice 和 Bob 在她的同一侧的概率，这是容易的。得到她胜利的概率是一个关于 $x$ 的二次函数，那么最值是简单的。

T25 代数

其实并没有很难，但是很容易被劝退。考虑这个数肯定是表示为 $a(10^n-1)\frac 19$。三个数都写成这个然后列个等式，然后想想怎么解这个。先化简得到 $(9c-a^2)10^n = 9b-9c-a^2$，考虑令 $y=10^n$。由于 $y$ 和 $n$ 是一一映射的，所以至少有两个 $y$。但这是一元一次方程，哪来两个啊？所以这是个恒等式，两个系数都是 $0$ 才符合。然后就可以算出 $a,b,c$ 的关系了。最后求答案是很简单的。