P8508 做不完的作业 验题人题解

我是验题人。我和出题人的两种贪心其实不大一样，然后有挺多人反应看不懂我的代码，原因是 5ab 把我的巨丑代码挂到题解上去了。

首先说一说贪心。我的贪心是：按顺序考虑每个任务，每个任务安排在其最早能放的那一天。

有人可能有疑惑：有可能第 $x$ 天原本安排的其中一个任务 $y$，将其替换为睡觉，将任务 $y$ 往后推，会不会更优。事实上是不会的：如果你把 $y$ 推到了 $x+1$ 天，那么你有可能会增多一天消耗，但是对于第 $x+1$ 天及以后的天，你没有增加任何的前缀睡觉时间（因为做任务的总量恒定，睡觉量也恒定）。所以不可能减少一天。

然后怎么写这个贪心。直接模拟？很遗憾，被毒瘤的出题人卡掉了，你会 TLE 几个点。因为直接模拟你需要模拟每一天的情况，这样的复杂度和总天数相关。所以我们需要加一个小优化：对于一个任务，如果你需要先睡好几天才能完成它，那么计算出睡的天数，而不一天一天地模拟。

容易发现这样的复杂度是线性的。

在计算天数的时候，可能需要稍微推一下式子，接下来是一些简单的推导。

以下用 $m$ 表示一天的总时间，与题面不同。假设当前面对的是第 $tot$ 个任务，需要 $a_{tot}$ 的时间，目前总睡觉时间是 $sl$，现在是第 $j$ 天。那么当 $m-a_{tot}+sl<m⋅j⋅\dfrac{p}{q}$ 的时候，这一天内肯定完成不了任务。我们计算需要连续睡几天觉，假设要再睡 $i$ 天，那么有 $m-a_{tot}+sl+i⋅m\ge m⋅(i+j)⋅\dfrac{p}{q}$，简单移项可得：$i\ge \dfrac{j⋅m⋅p-q⋅(m-a_{tot}+sl)}{m⋅(q-p)}$，取最小的 $i$ 即可。

稍微修缮了一下的代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1000005;
ll n,m,p,q; 
ll a[N];

int main()
{
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin >> n >> m >> p >> q;
	for (int i=1;i<=n;i++) cin >> a[i];
	ll tot=1,sl=0;
	for (ll j=1;;j++)
	{
		if ((m-a[tot]+sl)*q<m*p*j)
		{
			ll i=(m*p*j-(m-a[tot]+sl)*q+(m*(q-p))-1)/(m*(q-p));
			j+=i,sl+=i*m;
		}
		ll x=m;
		while (1)
		{
			if (tot==n+1) break;
			if (x<=a[tot]) break;
			if ((x-a[tot]+sl)*q<m*p*j) break;
			x-=a[tot],tot++;
		}
		sl+=x;
		if (tot==n+1)
		{
			cout << j;
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}