题解 AT5042 Edge Ordering

题意：给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，前 $n-1$ 条边构成一个生成树。现在要给 $m$ 条边分别赋值 $1,2,...,m$，使得前 $n-1$ 条边构成一个最小生成树。求方案数，模 $10^9+7$。

先想暴力。全排列枚举前 $n-1$ 条边的顺序，接下来容易发现是每条非树边都有个要求，是要在某条树边之后才能加入。考虑倒着加边。可以转化为：一个空序列，每次会收到一个黑/白球，黑球只能插入到序列开头，白球可以插入到任意位置。黑球的位置之和对应原题答案。

我们记录四元组 $(n,b,c,s)$ 表示 $n$ 个球，$b$ 个黑球，方案数 $c$，黑球位置和 $s$。容易转移：

• 加入白球：$(n,b,c,s)\to (n+1,b,(n+1)c,(n+2)s)$
• 加入多个白球同理可推，是带个阶乘的。
• 加入黑球：$(n,b,c,s)\to (n+1,b+1,c,s+(b+1)c)$

这样就可以 $O(n!)$ 做了。然而过不去，考虑状压。

我们先预处理对于每一个边集 $S$（当前倒着加入的边），有几条非树边是可以加入的。也就是此时白球的数量。容易发现每条非树边对应树上的一条路径，这个路径上任何一条边存在，这个非树边都不能加入。于是可以 FWT 或者高维前缀和解决了。

接下来按照上面的转移做状压 DP 就好了。复杂度是 $O(nm+n2^n)$。

// By: Little09
// Problem: AT5042 Edge Ordering
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/AT5042
// Memory Limit: 1000 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
const int N=408,M=21,S=(1<<M);
int res,n,m; 
ll dp[S],ans[S][4];
int a[N],b[N];
int h[N],nxt[N],cnt,v[N],t[N];
void add(int x,int y,int z)
{
	t[++cnt]=y;
	v[cnt]=z;
	nxt[cnt]=h[x];
	h[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int f,int y,int dis)
{
	if (y==x)
	{
		res=dis;
		return;
	}
	for (int i=h[x];i;i=nxt[i])
	{
		if (t[i]==f) continue;
		dfs(t[i],x,y,(dis|(1<<(v[i]))));
	}
}

ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll res=1;
	while (y)
	{
		if (y&1) res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
ll jc[N+5],inv[N+5];
void init()
{
	jc[0]=1;
	for (int i=1;i<=N;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	inv[N]=ksm(jc[N],mod-2);
	for (int i=N-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
inline int read()
{
    int F=1,ANS=0;
	char C=getchar();
    while (C<'0'||C>'9')
	{
		if (C=='-') F=-1;
		C=getchar();
	}
    while (C>='0'&&C<='9')
	{
		ANS=ANS*10+C-'0';
		C=getchar();
	}
    return F*ANS;
}

int main()
{
	init();
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		int x=read(),y=read();
		a[i]=x,b[i]=y;
		add(x,y,i-1),add(y,x,i-1);
	}
	int s=(1<<(n-1))-1;
	for (int i=n;i<=m;i++)
	{
		int x=read(),y=read();
		dfs(x,0,y,0);
		//cout << res << endl;
		dp[s-res]++;
	}
	for (int i=0;i<n-1;i++)
	{
		for (int j=(1<<(n-1))-1;j>=0;j--)
		{
			if (!(j&(1<<i))) dp[j]=(dp[j]+dp[j^(1<<i)])%mod;
		}
	}
	ans[0][0]=0,ans[0][1]=0,ans[0][2]=1,ans[0][3]=0;
	for (int i=1;i<=s;i++)
	{
		int u=i;
		ans[i][1]=__builtin_popcount(i);
		ans[i][0]=ans[i][1]+m-n+1-dp[i];
		while (u)
		{
			int v=(u&(-u)),w=(i^v);
			u^=v;
			int l=dp[w]-dp[i];
			ans[i][2]=(ans[i][2]+ans[w][2]*inv[ans[w][0]]%mod*jc[ans[w][0]+l]%mod)%mod;
			ans[i][3]=(ans[i][3]+ans[w][3]*inv[ans[w][0]+1]%mod*jc[ans[w][0]+l+1]%mod)%mod;
		}
		ans[i][3]=(ans[i][3]+ans[i][1]*ans[i][2]%mod)%mod;
	}
	cout << ans[s][3];
	return 0;
}