题解 P8274 [USACO22OPEN] Balancing a Tree G

神仙题。

我们探究一下 $ans$ 的下界。当然有个前提 $ans\ge 0$。

• 如果节点 $x$ 是 $y$ 的祖先，那么显然 $ans\ge l_x-r_y$，$ans\ge l_y-r_x$。

如果是链就已经做完了，$ans$ 的下界是能取到的，让每个点都在 $[r_{min},l_{max}]$ 就行了。

但是树的答案是错的。仔细想想，同一个点不能有多种取值，因此没有祖先关系的点之间也有限制：

• 对于任意 $x,y$，满足 $ans\ge \frac{l_x-r_y}{2}$。考虑 $x\to 1\to y$ 的路径就行了，当 $1$ 的取值在 $l_x$ 和 $r_y$ 的正中间取到等号。

这个时候看起来 $ans$ 比较正确了，交一下 $B=0$ 发现它过了。因此 $ans$ 的下界我们找到了，只要能构造方案可以说明 $ans$ 是最小值了。

官方题解给出的构造方案：令 $mid=\lfloor\dfrac{r_{min}+l_{max}}{2}\rfloor$，那么每个点的答案 $s_i=\max(\min(mid,r_i),l_i)$，直白的说就是如果 $mid$ 在 $[l_i,r_i]$ 内就取 $mid$，否则取接近 $mid$ 的端点。

证明这个方案的合法性。考虑每一对存在祖先关系的点对 $(x,y)$：

• 若 $s_x\le mid,s_y\le mid$，那么 $|s_x-s_y|\le mid-r_{min}\le \lceil\dfrac{l_{max}-r_{min}}{2}\rceil\le ans$。
• 若 $s_x\ge mid,s_y\ge mid$，同理。
• 若 $s_x\le mid,s_y\ge mid$，说明 $s_x=r_x,s_y=l_y$，所以 $|s_x-s_y|=l_y-r_x\le ans$。

所以这个构造的方案是正确的。因此我们找到了 $ans$ 的最小值。

代码难度远低于思维难度。

void work()
{
	n=read();
	for (int i=2;i<=n;i++) fa[i]=read();
	int minr=inf,maxl=0,ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		L[i]=read(),R[i]=read();
		minr=min(R[i],minr);
		maxl=max(L[i],maxl);
		if (fa[i]!=0)
		{
			a[i][0]=max(a[fa[i]][0],L[i]);
			a[i][1]=min(a[fa[i]][1],R[i]);
		}
		else
		{
			a[i][0]=L[i],a[i][1]=R[i];
		}
		ans=max(ans,a[i][0]-a[i][1]);
	}
	ans=max(ans,(maxl-minr+1)/2);
	printf("%d\n",ans);
	if (B==0) return;
	if (maxl<=minr)
	{
		for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",maxl);
		return;
	}
	int mid=(maxl+minr)/2;
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",max(min(mid,R[i]),L[i]));
	cout << endl;
}