题解 CF1654F Minimal String Xoration

难点：这题让你求找到一个 $x$ 使得字符串字典序最小，但是事实上是可以求出第 $k$ 小的。

令 $f(x,k)$ 表示取 $x$ 作为 xor 的值，得到字符串的前 $2^k$ 个字符的子串。那么有一个很重要的性质：

$$f(x,k)=f(x,k-1)+f(x\text{ xor } 2^{k-1},k-1)$$

加号表示字符串的拼接。证明比较简单，对于前 $2^{k-1}$ 位的 $i$，满足 $i\text{ xor }x=(i+2^{k-1})\text{ xor }(x \text{ xor } 2^{k-1})$，所以拼接是可行的。

所以我们倍增地做。枚举 $k$，每次对所有 $x$ 按字符串的字典序排序。拼接时先考虑前面的字符串，再考虑后面的就行了。

复杂度是 $O(n^2\times 2^n)$。两个 $n$ 其中一个是枚举 $k$，另一个是对 $2^n$ 个数排序的 $\log$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
char s[N];
int a[N],v[N];
int t[N],n,m;
int l;
bool cmp(int x,int y)
{
	if (v[x]==v[y]) return v[x^l]<v[y^l];
	return v[x]<v[y];
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%s",&s);
	m=(1<<n);
	for (int i=0;i<m;i++) a[i]=i;
	for (int i=0;i<m;i++) v[i]=s[i]-'a';
	sort(a,a+m,cmp);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		l=(1<<(i-1));
		sort(a,a+m,cmp);
		int cnt=0;
		for (int j=0;j<m;j++)
		{
			if (j==0||cmp(a[j-1],a[j])) t[a[j]]=++cnt;
			else t[a[j]]=cnt;
		}
		for (int j=0;j<m;j++) v[j]=t[j];
	}
	int ans=a[0];
	for (int i=0;i<m;i++) printf("%c",s[i^ans]);
	return 0;
}