题解 CF1553F Pairwise Modulo

题意

给定长度为 $n$ 的数列 $a$。

定义 $p_k = \sum_{1 \le i, j \le k} a_i \bmod a_j$。你需要输出 $p_1,p_2,\ldots,p_n$。

$2\le n\le 10^5$，$1\le a_i\le 3\times 10^5$，保证 $a$ 中的元素互不相同。

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初步解法

首先看一眼应该能想到显然的 $O(n\sqrt n\log n)$ 的做法。

我们从 $1$ 到 $n$ 计算 $p_k$。对于每个算到的 $k$，我们只要计算 $1,2,\ldots,k-1$ 与 $k$ 之间产生的贡献。考虑正在计算 $i(1\le i\le k-1)$ 与 $k$ 的贡献。

• 当 $a_i<a_k$ 时，有 $a_i\bmod a_k=a_i$。我们把小于 $a_k$ 的 $a_i$ 累加起来，树状数组即可。考虑 $a_k\bmod a_i$ 的值，你会发现这和 P2261 [CQOI2007]余数求和 很相似，所以我们套用它的整除分块，在计算时要用树状数组统计符合区间的个数。此部分复杂度 $O(\sqrt n\log n)$。

• 当 $a_i>a_k$ 时，有 $a_k\bmod a_i=a_k$。我们求出大于 $a_k$ 的 $a_i$ 个数，树状数组即可。考虑 $a_i\bmod a_k$ 的值，$a_i\bmod a_k=a_i-\lfloor\dfrac{a_i}{a_k}\rfloor\times a_k$，所以我们只要计算 $\lfloor\dfrac{a_i}{a_k}\rfloor$ 的和。考虑区间 $[a_k\times j,a_k\times(j+1)-1]$ 之间的数贡献为 $j$，所以枚举每个区间，树状数组计算个数。由于 $a$ 互不相同，复杂度是均摊 $O(\log^2 n)$ 的。

总复杂度 $O(n\sqrt n\log n)$。提交上去！

$\text{Time limit exceeded on pretest 7}$ $\text{[pretests] }$

优化解法

发现瓶颈是整除分块的 $\sqrt n$，考虑把它替换掉。也就是考虑 $a_k\bmod a_i(a_k>a_i)$ 的另一种算法。注意到正着做是 $O(\sqrt n\log n)$，倒着却 $O(\log^2 n)$。那么能不能在计算 $a_i$ 的时候就算好 $a_k$ 呢？自然是可以的。

在计算 $a_i$ 的时候，再用一个数据结构维护桶，与上面的方式类似，找到 $[a_i\times j,a_i\times(j+1)-1]$ 区间，容易发现这一段区间 $a_i$ 的贡献是 $-a_i\times j$，所以对这一段区间加上 $a_i\times j$。在到 $a_k$ 时，查询一下 $a_k$ 这个点的权值，在答案中减掉即可。

容易发现区间总个数仍然是 $O(n\log n)$ 级别。这个数据结构要求支持区间加，单点查，还是树状数组即可。这部分的复杂度由 $O(\sqrt n\log n)$ 优化到 $O(\log^2 n)$了。

$\text{Accepted}$

巨丑无比的代码：link。为了快速用了一个树状数组和一个线段树，主要内容在 main 函数中。