【物理】天体运动专题

天体运动

牛顿说过 有种东西叫万有引力

我因为你开始相信 那些大道理

万有引力

牛顿提出的万有引力定律：

$$F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$$

式子中的 $G$ 是万有引力常量，卡文迪许测得：$G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2\cdot kg^{-2}$。

开普勒三大定律

1. 轨道定律：轨道为椭圆
2. 面积定律：相同时间内连线扫过面积相等（本质为角动量守恒 $L=mvr$）
3. 周期定律：$a^3$ 与 $T^2$ 成正比

万有引力与重力

容易推出：

$$gR^2=GM$$

引理势能

定义无穷远出引理势能为 $0$，根据做功可以推出引力势能公式。容易发现，$E$ 是负值。

$$E=-\dfrac{GMm}{r}$$

一般的天体运动满足机械能守恒，也就是动能与引力势能的和相等。容易据此列式。

圆周运动

当天体在圆周运动时，一部分量的关系如下：

$$a=G\dfrac{M}{r^2}$$

$$v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$$

$$w=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}$$

$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$$

容易发现，当 $a$ 增大时，$w$ 增大，$v$ 增大，$r$ 减小，$T$ 减小。这些量都与卫星质量 $m$ 无关。

人造卫星的椭圆圆心与地心重合。

宇宙速度

• 第一宇宙速度：卫星发射的最小速度 $v_1=\sqrt{gR}=7.9\text{ km/s}$
• 第二宇宙速度：脱离地球引力，又称脱离速度 $v_2=\sqrt{2} v_1=11.2\text{ km/s}$
• 第三宇宙速度：脱离太阳引力，又称逃逸速度 $v_3=16.7\text{ km/s}$

双星系统问题

显然 $w_1=w_2$。

对两颗星分别分析：以 $m_1$为例，$\dfrac{Gm_1m_2}{L^2}=m_1\dfrac{4\pi^2}{T^2}r_1$

条件：$r_1+r_2=L$

可以等效为重心有一颗质量为 $m'$ 的星体，列得 $F=\dfrac{Gm_1m'}{r_1^2}$

椭圆轨道

椭圆轨道的焦点之一是地心。

在椭圆轨道上，假设左焦点是中心天体，考虑左右两个顶点，满足机械能守恒与角动量守恒。故：

$$E=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{GMm}{r}$$

$$L=mvr$$

根据两根为 $r1=a-c$，$r2=a+c$。用韦达定理即可得：

$$E=-\dfrac{GMm}{2a}$$

$$v=\sqrt{2GM(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{2a})}$$

上述两个公式经常使用，加快运算，我暂且称为 「椭圆轨道上的能量公式」和「椭圆轨道上的速度公式」。

设椭圆的上顶点为 $\text{D}$。根据上面的公式易得：

$$v_D=\sqrt{\dfrac{GM}{a}}$$

实际解题时：

• 最常用的方法是找到两个特殊点 $\text{A B}$，代入机械能守恒与角动量守恒。如果方便可以直接套用上方公式，加快解题速度。

• 有时考虑可以椭圆的几何意义，求出最值。

• 对于两个物体在某轨道上运行后分开，各自分到不同轨道上的类型题目：

  • 对于初始轨道，列圆周运动向心力： $F_引=m \dfrac{v^2}{r}$ ①
  • 对于脱离瞬间，列动量守恒： $m_总v_0=m_1v_1+m_2v_2$ ②
  • 对于脱离之后轨道，对两个物体分别列 「椭圆轨道上的能量公式」：$-\dfrac{GMm}{2a}=E_p+E_k$ ③
  • 对于两次或三次周期，列开普勒第三定律：$\dfrac{T_1^2}{r_1^3}=\dfrac{T_2^2}{r_2^3}$ ④

• 对于一般的变轨问题（例如加速，由圆周变为椭圆），也可套用上面的公式 ①③④。

• 如果给定是 $r,T$ 而非 $M$，考虑通过 $\dfrac{GMm}{r^2}=m \dfrac{4\pi^2}{T^2}{r}$ 替代 $GM$，同时 $v=\dfrac{2\pi r}{T}$。