ARC122D XOR Game

ARC122D XOR Game

首先看出这个博弈是假的。考虑两两配对后的最大异或和最小值为 $v$ 的话，一方面 Bob 无法做到比这更小了，另一方面 Bob 可以随着 Alice 操作使得控制正好为 $v$。

原问题转化为把元素两两配对使得每对的异或和的最大值最小。我们按位从高到低考虑，假设现在考虑第 $i$ 位：

• 有偶数个 $1$ 和偶数个 $0$：最小情况肯定是 $0$ 对 $0$，$1$ 对 $1$。于是分组递归下去下一位。

• 有奇数个 $1$ 和奇数个 $0$：最小情况肯定是有一个 $0$ 对 $1$ 充当最大值，其他 $0$ 对 $0$，$1$ 对 $1$。于是问题是有两组整数，我们必须从每一组整数中选择一个元素来最小化它们的异或值——这不就是一个 trie 能解决的吗？

至此问题完美解决。不要问我做的时候怎么没想到。