【学习笔记】支配树

前言

萌新刚开始学图论入门，今天来学习一下支配树（灭绝树）这个东西。有问题请指出啊。

支配与支配点

在一张有向图 $G$ 中，对于任意两个点 $u$, $v$，若从起点 $s$ 出发到达顶点 $v$ 的所有路径都需要经过顶点 $u$，则称顶点 $u$ 支配顶点 $v$（$u$ 为 $v$ 的支配点）。特别地，每个顶点支配其自身。

另一种更形象的定义是，$u$ 被删除后，$s$ 无法到达 $v$，则称顶点 $u$ 支配顶点 $v$（$u$ 为 $v$ 的支配点）。

很显然这两种定义是等价的。

支配树

对于非根节点 $x$，设距离 $x$ 最近的支配点为 $y$，那么从 $y$ 向 $x$ 连一条有向边。形成的树叫做支配树。

支配树最明显的性质：在支配树上，从 $s$ 走向任意一点 $u$ 所路过的所有点就是 $u$ 的支配点。

树的支配树

对于一棵树来说，它本身就是自己的支配树。

DAG 的支配树

我们需要做的，是对于任意非根节点 $u$，找到它的最近支配点。

由于是 DAG，考虑先对其进行拓扑排序。接下来按照拓扑序建树。

我们假设考虑到节点 $u$，即拓扑序在 $u$ 之前的节点已经建好了支配树。

我们找到所有存在边 $v\to u$ 的节点 $v$，我们的任务变成了从 $s$ 到达所有 $v$ 中的必经点。这个时候会发现，如果我们找到所有 $v$ 在支配树上的 $\text{LCA}$，这个点就是我们要求的 $u$ 的最近支配点。这一点可以画个图理解。

$\text{LCA}$ 可以用倍增求出。

注意，需要反向建边才能找到所有 $v\to u$。

• P2597 [ZJOI2012]灾难

  模板题。先拓扑，把所有生产者连向一个超级源点 $s$，然后建出支配树，输出 $size$ 即可。

• CF757F Team Rocket Rises Again

  先跑最短路，建出最短路图。由于最短路图是个 DAG，然后和上题一样即可。

一般有向图的支配树

先咕着。