题解 P7099 [yLOI2020] 灼

自己推的好像有一点点麻烦，而且和现有题解相比都要麻烦……

但是只是一道可以用初中数学知识解决的数学题。

题目很显然可以转化为：有 $1$ 到 $n$ 共 $n$ 个点，一个人在点 $x$，每次等概率向左或向右走 $1$ 个点，求走出这 $n$ 个点（即到 $0$ 或 $n+1$ ）的期望步数。（此句中的 $n$ 与题目的 $n$ 不同）

考虑设 $f_i$ 表示在第 $i$ 个点的期望步数，显然地：

$$f_0=f_{n+1}=0$$

由对称性：

$$f_i=f_{n-i+1}$$

根据期望的定义可知：

$$f_i=\dfrac{1}{2}(f_{i-1}+f_{i+1})+1(1\le i\le n)$$

稍微转化一下：

$$2\times f_i=f_{i-1}+f_{i+1}+2$$

$$(f_{i+1}-f_{i})-(f_{i}-f_{i-1})=-2$$

所以说 $f$ 的二阶差分一个非零常数 $-2$。

设函数 $g$ 为 $f$ 的差分，即 $g_i=f_{i}-f_{i-1}$。继续推：

$$g_{i+1}-g_{i}=-2$$

$$g_{i}=g_1-2\times (i-1)$$

由于 $f_i=g_i+f_{i-1}$，带入 $g_i$：

$$f_i=f_1-2\times (i-1)+f_{i-1}$$

当 $i=n+1$ 时：

$$f_{n+1}=f_1-2\times n+f_{n}$$

$$0=2\times f_1-2\times n$$

$$f_1=n$$

再推：

$$f_i=\sum_{j=1}^ig_j$$

代入 $g_j$：

$$f_i=\sum_{j=1}^i(f_1-2\times(j-1))$$

$$f_i=i\times f_1-i\times(i-1)$$

由于 $f_1=n$，代入就得到最终答案：

$$f_i=-i^2+(n+1)\times i$$

所以代入，对于飞入坐标 $x$，上一个虫洞坐标 $l$，下一个虫洞坐标 $r$，答案为：

$$ans=-(x-l)^2+(r-l)\times (x-l)$$

$$ans=(r-x)\times (x-l)$$

代码已经很简单了，不必放了吧。