凸壳上的单调队列：斜率优化

凸壳上的单调队列：斜率优化

一、性质：一种动态规划的优化。

二、前置：dp、单调队列。

三、适用：$dp[i]=a[i]*b[j]+c[i]+d[j]$。$a[i]$单调递增。

四、方法：

移项：$-a[i]b[j]+dp[i]-a[i]=d[j]$，把$b[j]$看作$x$，把$d[j]$看作$y$，把$-a[i]$看作$k$：$kx+dp[i]-a[i]=y$。此直线过$(x,y)$且斜率已知为$k$，要求截距最小。维护一个下凸壳。对于每个$i$，要求的是第一个满足$slope(P_j,P_{j+1})>k$的。单调队列维护即可。

五、步骤：

设队首$head$队尾$tail$。

1、对于队首：$while(slope(P_{head},P_{head+1})<k) head++$

2、队首为最优，计算$dp[i]$

3、队尾：$while(slope(P_{tail-1},P_{tail})>slope(P_{tail-1},P_{i})) tail--$

4、在队尾加入$P_i$

六、例题

[HNOI2008]玩具装箱 模板题。

摆渡车 列出dp方程后展开直接优化。

丝之割 先把弦转为为二维平面上的点，去掉无用状态后发现dp方程可以斜率优化。这里的斜率是负数。