【模拟赛题解】0418-years

零、前言

我这个数学菜鸡决定写一下这道变态的巧妙的数学题的题解。

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一、题目

链接：years

题目大意：求$\frac{1}{2}∑_{k=0}^m \frac{C_m^k}{C_n^k}$

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二、前置知识

比较简单的几个组合数公式，不过多赘述。

·公式1：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$（定义）

·公式2：$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}$（展开即证毕）

·公式3：$C_n^m*C_m^k=C_n^k*C_{n-k}^{m-k}$（展开即证毕）

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三、推导

我感觉我写的有些啰嗦了，大佬们不要嫌弃哦

设

$$S=\frac{1}{2}∑_{k=0}^m \frac{C_m^k}{C_n^k}$$

$$2S=∑_{k=0}^m \frac{C_m^k}{C_n^k}$$

(移项)

$$2S=∑_{k=0}^m \frac{C_m^k*C_n^m}{C_n^k*C_n^m}$$

(右边上下同乘$C_n^m$)

$$2S=∑_{k=0}^m \frac{C_n^k*C_{n-k}^{m-k}}{C_n^k*C_n^m}$$

(代入公式3)

$$2S=∑_{k=0}^m \frac{C_{n-k}^{m-k}}{C_n^m}$$

(消元)

$$C_n^m*2S=∑_{k=0}^m C_{n-k}^{m-k}$$

($C_n^m$不含$k$，提出来并移项)

$$C_n^m*2S=∑_{k=0}^m C_{n-(m-k)}^{m-(m-k)}$$

(把$k$用$m-k$代入，发现式子值不变)

$$C_n^m*2S=∑_{k=0}^m C_{n-m+k}^{k}$$

(括号展开)

$$C_n^m*2S=C_{n-m}^{0}+C_{n-m+1}^{1}+C_{n-m+2}^{2}+...+C_{n}^{m}$$

(展开$∑$)

$$C_n^m*2S=C_{n-m+1}^{0}+C_{n-m+1}^{1}+C_{n-m+2}^{2}+...+C_{n}^{m}$$

($C_{n-m}^{0}=C_{n-m+1}^{0}=1$，等量代换)

$$C_n^m*2S=C_{n-m+2}^{1}+C_{n-m+2}^{2}+...+C_{n}^{m}$$

($C_{n-m+1}^{0}+C_{n-m+1}^{1}=C_{n-m+2}^{1}$，代入公式3)

·相信读者已经看出来了，接下来就是经典的多米诺骨牌操作（也就是连环马）

$$C_n^m*2S=C_{n+1}^{m}$$

(代入多次公式3)

$$\frac{n!}{m!(n-m)!}*2S=\frac{(n+1)!}{m!(n+1-m)!}$$

(展开$C$)

$$2S=\frac{n+1}{n+1-m}$$

(消元)

$$∴S=\frac{n+1}{(n+1-m)*2}$$

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四、尾声

推导已经推出了答案的表达式，可用 $O(1)$ 完成。代码就不用放了吧。谢谢观看啦。