单调性优化：单调栈与单调队列

单调性优化：单调栈与单调队列

一、单调栈

单调栈，就是要维护一个栈，单调递增或递减。一般地，放入元素时，如果栈顶的元素不符合单调递增（或递减），那就把它弹出，再查栈顶。直到符合或栈空了，再把元素放入。

适用于快速求每个数两侧比它大（或小）的数的位置。

例题-柱状图中最大的矩形

算法

·其实很简单
·在这种方法中，我们维护一个栈。
·一开始，我们把 -1 放进栈的顶部来表示开始。
·按照从左到右的顺序，我们不断将柱子的序号放进栈中，保证栈的单调性。
·当元素出栈时，说明这个新元素是出栈元素向后找第一个比其小的元素
·当元素出栈后，说明新栈顶元素是出栈元素向前找第一个比其小的元素

那么这题就做完了，答案也就很好推了。

练习-良好的感觉

加个前缀和优化，就是单调栈的模板题了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[1000001];
long long sum[1000001];
stack <int> t;
long long ans;
inline long long s(int x,int y)
{
	return sum[y]-sum[x-1];
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i=1;i<=n;i++) 
	{
		cin >> a[i];
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	n++;
	a[n]=0;
	t.push(0);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		while (!t.empty()&&a[t.top()]>a[i]) 
		{
			long long res=a[t.top()];
			t.pop();
			ans=max(ans,s(t.top()+1,i-1)*res);
		}
		t.push(i);
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

二、单调队列

单调队列，就是要维护一个队列，单调递增或递减。一般地，放入元素时，先弹出末尾无效元素。如果队列首的元素不符合单调递增（或递减），那就把它弹出，再查队列首。直到符合或队列空了，再把元素放入。

如果一个oier比你小又比你强，那你就废了没用了

解决的问题：

$f(x)=opt_{i=bound[x]}^{x-1}(const[i])$

对于这样一类动态规划问题，我们可以运用单调队列来解决：
其中$bound[x]$随着x单调不降，而$const[i]$则是可以根据i在常数时间内确定的唯一的常数。这类问题，一般用单调队列在很优美的时间内解决。

例题-【模板】单调队列

·队列中的元素其对应在原来的列表中的顺序必须是单调递增的。
·队列中元素的大小必须是单调递增(减/甚至是自定义也可以)

练习-好消息，坏消息

·破环成链+单调队列

练习-课后期末考试滑溜滑溜补习班

·简单的推柿子+单调队列