机器学习 —— 概率图模型（学习：最大似然估计）

　　最大似然估计的目标是获取模型中的参数。前提是模型已经是半成品，万事俱备只欠参数。此外，对样本要求独立同分布（参数就一套）

　　上图中x ~ B(theta). 样本数为M.

　　最大似然估计用似然函数作为优化目标，参数估计的过程为寻优过程。一般情况下认为，如果该参数使得数据发生的可能性最大，则该参数为最可能的一组参数。数学表达为下图：

1、充分统计

　　充分统计是从样本映射到某个向量的一个公式。这个公式必须满足甲样本映射结果的和，必须与乙样本映射结果的和相同。而且这个必须成立，与总体分布的参数无关。例子：样本均值，样本方差。 

　　这种求和一致性如果设计合理的情况下， 可以直接导出参数的 表达式

　　比如在投硬币的统计模型中，T与H各自的数目就是充分统计量

　　又比如在估计骰子的bias的统计模型中，我们只在乎各个数字出现的次数，而不在乎顺序。此时的充分统计量为骰子的数字

　　在高斯模型中，可做以下分解：

　　

　　如果观测到x不同的值，则可断定，1，x,x^2，是充分统计量。

2、参数的极大似然估计

　　在充分统计的条件下，参数的极大似然估计有着优雅的解析解。

3、贝叶斯网络中的极大似然估计

3.1、独立参数的贝叶斯网络

　　在极大似然估计的观点中，参数是随机变量，其有着自己的模型。如果考虑一个概率图模型，那么在对参数进行估计时就必须考虑随机变量之间的交互关系。一个简单的未知参数贝叶斯网络如图所示：

　　

　　待估计的参数为theta_x,theta_y|x. 其中theta_x有两个取值，theta_y|x有四个取值。其解析表达式如下图：

　　

　　第二步使用了链式分解，第四步将参数进行分开表达。更一般的，有下式：

　　

　　　第三部对调乘法，则后面简化为局部似然函数（某个随机变量的似然函数）。如果每个节点都有自己的独立参数，则最终的似然函数为局部似然函数的乘积。如果为表式CPD,则概率值就是参数值，那么又可简化为下式：

　　

　　故对于表式CPD的贝叶斯网络，theta_x|parents = x出现的次数/父节点总数（边际所有x的可能性）

3.2 共享参数贝叶斯网络

　　共享参数贝叶斯网络往往描述一个转移过程。机器人直走有一定概率走偏，方向偏了继续直走，下次走偏的模式依旧是一定的。估计“走偏函数”的参数实际上是用的就是共享参数贝叶斯网络。

　　共享参数贝叶斯网络不能直接看作独立参数贝叶斯网络的特例。因为其要多一条限制即参数均相等。如果依旧使用独立参数贝叶斯模型，则参数无法统一。

　　

　　上述模型中s~B(0,1)，故theta共有4种：0-1，0-0，1-1，1-0.

　　第二步中，总次数T被分解成上述四种情况。ij实际表达的是i->j。一个更复杂些的共享参数贝叶斯网络如图：

　　

4、小技巧

　　当样本不大时，使用简单而错误的网络效果可能比复杂但正确的网络好。原因是网络复杂了容易对数据进行过拟合。